22.1 二次函数的图象和性质-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（人教版）

22.1二次函数的图象和性质

培优第一阶——基础过关练

一、单选题

1．若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是（　   　）

A．a≠2 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠0

2．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（          ）

A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3

C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3

3．抛物线的顶点坐标为（          ）

A． B． C． D．

4．已知抛物线，下列结论错误的是（          ）

A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 

C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大

5．将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（         ）

A． B． C． D．

6．抛物线的对称轴为直线m，下列各点在直线m上的是（           ）

A．（3，－4） B．（－3，0） C．（3，4） D．（－4，0）

二、填空题

7．将抛物线y＝3x2向上平移4个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的函数解析式为__________．

8．二次函数y=（x-1）2+2的最小值是__________．

9．在同一个平面直角坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为_________．

10．二次函数（，a，c均为常数）的图象经过、、三点，则，，的大小关系是___________．

三、解答题

11．如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．

12．如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点A(3，1)，点B(0，4)，点C(m，n)在该二次函数图象上．

(1)求该二次函数的解析式和其图象的顶点坐标；

(2)若m≤x≤2时，n的最大值为5，最小值为4，请结合图象求m的取值范围；

(3)若点C在直线AB的上方，且S△ABC=3，求点C的坐标．

培优第二阶——拓展培优练

一、单选题

1．二次函数y=x2的图象如图所示，点A0 位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2023在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2023A2023都是等边三角形，则△A2022B2023A2023的周长是（          ）

A．6069 B．6066 C．6063 D．6060

2．如图，在正方形中，，点P从点A出发沿路径向终点C运动，连接，作的垂直平分线与正方形的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（          ）

A．               B．

C． D．

3．在同一坐标中，一次函数y＝﹣kx+2与二次函数y＝x2+k的图象可能是(　   　)

A．   B．  C．  D．

4．如图，二次函数的图象与轴交于A，两点，点位于、之间，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于，两点，点在轴上方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③其中为任意实数；④，其中正确的是（          ）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④

5．二次函数，当时，对应的y的整数值有4个，则a的取值范围是（         ）

A． B．

C．或 D．或

6．二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：①2a﹣b＝0；②a+b+c＞0；③c＝﹣3a；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有三个．其中正确结论是（         ）

A．③④ B．①③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤

二、填空题

7．抛物线经过点，当时，当时，则的取值范围是__________.

8．函数的最小值是_____．

9．如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线交二次函数y＝x2(x＞0)的图象于点P1，P2，P3，…，Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去，则S3＝________，最后记△Pn－1Bn－1Pn(n＞1)的面积为Sn，则Sn＝________．

10．如图所示，抛物线与x轴交于点A 和点B，与y轴交于点C，且OA=OC，点M、N是直线x=-1上的两个动点，且MN=2（点N在点M的上方），则四边形BCNM的周长的最小值是______．

三、解答题

11．如图：已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．

(1)求二次函数的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；

(3)有一个点M在线段CB上运动，作MN⊥x轴交抛物线于点N，问当M、N点位于何处时，△BCN的面积最大，求最大面积.

12．如图，把两个全等的RtAOB和RtCOD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A(2，4)，抛物线经过O，A，C三点．

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)点G为OC上方的抛物线上一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；

(3)点P为线段OC上一个动点（不与O，C 重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，是否存在点P，使线段AM与BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

13．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线与直线只有一个交点，求m的值；

(3)Q是抛物线上除点P外一点，BCQ与BCP的面积相等，求点Q的坐标；

(4)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．

培优第三阶——中考沙场点兵

一、单选题

1．（2005·浙江台州·中考真题）函数是（         ）

A．一次函数 B．二次函数 C．正比例函数 D．反比例函数

2．（2014·广西河池·中考真题）点均在抛物线上，下列说法正确的是（       ）

A．若，则     B．若，则

C．若，则 D．若，则

3．（2020·四川南充·中考真题）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（          ）

A． B． C． D．

4．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（           ）

A．5 B． C．5或1 D．或

5．（2022·陕西·中考真题）已知二次函数的自变量对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（        ）

A． B． C． D．

6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①；②；③；④若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m>4；⑤当x<0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（          ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题

7．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线y＝x2﹣2x＋3向左平移2个单位长度，所得抛物线为__________．

8．（2021·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系中，已知点，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为___________．

9．（2021·贵州黔东南·中考真题）如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有___________．（填写正确的序号）

10．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，抛物线的解析式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物线于点、…：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是_________．

三、解答题

11．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，点．点在此抛物线上，其横坐标为．

(1)求此抛物线的解析式；

(2)当点在轴上方时，结合图象，直接写出的取值范围；

(3)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．

①求的值；

②以为边作等腰直角三角形，当点在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标．

12．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为，抛物线的对称轴交直线于点E．

(1)求抛物线的表达式；

(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值；

(3)M是（1）中抛物线上一点，N是直线上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

13．（2022·四川德阳·中考真题）抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称．

(1)如图①，求射线的解析式；

(2)在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（），求的值；

(3)如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值．