25.2 用列举法求概率-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（人教版）

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25.2用列举法求概率
课后培优练

培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．现有3包同一品牌的饼干，其中2包已过期，随机抽取2包，2包都过期的概率是（        ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：把1包不过期的饼干记为A，2包已过期的饼干记为B、 C，
画树状图如图：

共有6种等可能的结果，两包都过期的结果有2种，
∴两包都不过期的概率为，
故选：D．
2．活动课上，小林、小军、小强3位同学和其他6位同学一起进行3人制篮球赛，他们将9人随机抽签分成三组，则小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是（        ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：记三组分别为A，B，C，画树状图如下：


所以所有的等可能的情况数有27种，符合条件的情况数有6种，
所以小林、小军、小强三人恰好分在3个不同组的概率是
故选B
3．如图①为三等分的圆形转盘，图②为装有小球（小球除颜色不同外，其他均相同）的不透明口袋，随机转动转盘一次，然后再从不透明的口袋中随机摸出一个球，则指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的概率是（        ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：根据题意，列表如下：

蓝球1
蓝球2
红球
红1
（红1，蓝球1）
（红1，蓝球2）
（红1，红球）
红2
（红2，蓝球1）
（红2，蓝球2）
（红2，红球）
蓝
（蓝，蓝球1）
（蓝，蓝球2）
（蓝，红球）

由表可知，共有9种等可能的结果，其中指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色的结果有2种，
（指针指向区域的颜色和摸出的球的颜色均为蓝色），
故选：B．
4．把分别画有“冰墩墩”、“雪融融”的两张形状、大小相同的图片，全部从中间剪成相同的两段，再把这四张形状相同的小图片混合在一起，从这四张图片中随机抽出两张，则这两张小图片恰好能组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片的概率为（        ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：用、表示“冰墩墩”图片被剪成的两半，用、表示“雪融融”图片被剪成的两半，列树状图为：


故有12种等可能结果，符合恰好能组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片有4种，
∴．
5．如图，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率为（        ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的有2种情况，
∴能让两个小灯泡同时发光的概率为；
故选：D．
6．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会接力比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么，其中恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：根据题意，画树状图得：

所以一共有24种跑步顺序，而恰好由甲将接力棒交给乙的有6种， 所以恰好由甲将接力棒交给乙的概率是：．
故选：A．
二、填空题
7．小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现两个正面向上和一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上和两个反面向上，则小文赢．有下列说法：①小强赢的概率最小；②小文和小亮赢的概率相等；③小文赢的概率是；④这是一个公平的游戏．其中，正确的是__________（填序号）．
【答案】①②③
【详解】
解：画树状图得：

所以共有8种可能的情况.
三个正面向上或三个反面向上的情况有2种，所以P（小强赢）==；
出现2个正面向上一个反面向上的情况有3种，所以P（小亮赢）=；
出现一个正面向上2个反面向上的情况有3种，，所以P（小文赢）=，
∵，
∴小强赢的概率最小，①正确；
小亮和小文赢的概率均为，②正确；
小文赢的概率为，③正确；
三个人赢的概率不一样，这个游戏不公平，④错误；
故答案为：①②③．
8．如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．

若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是________．（只填一种方案即可）
【答案】   甲     取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一）
【详解】
解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜；
若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜，
故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）．
9．有4张除数字外无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4．随机抽取一张记作a，放回并混合在一起，再随机抽一张记作b，组成有序实数对（a，b），则点（a，b）在直线y＝x+2上的概率为 _________．
【答案】
【详解】
解：列表法如下：

1
2
3
4
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）

由表可知，一共有14种等可能的结果，其中点（a，b）在直线y＝x+2上的有：（1，3）、（2，4），
∴P（点（a，b）在直线y＝x+2上）=，
故答案为：．
10．在一个不透明的袋子里装有4张数字卡片，数字分别是1，-3，0，2，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1张不放回，再摸出1张．如果把第一次摸出的数字作为横坐标，第二次摸出的数字作为纵坐标，那么组成的点在坐标轴上的概率是____________．
【答案】
【详解】
解：列表得：

1
-3
0
2
1

1,-3
0,1
1,2
-3
-3,1

0,-3
-3,2
0
1,0
-3,0

2,0
2
2,1
2,-3
0,2

所有情况有12种，符合要求的一共有6种，
故组成的点在坐标轴上的概率为：．
故答案为：．
三、解答题
11．学校决定每班选取4名同学参加12.2全国交通安全日“细节关乎生命•安全文明出行”主题活动启动仪式，班主任决定从名同学（小明、小山、小月、小玉）中通过抽签的方式确定2名同学去参加该活动．
抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．
(1)“小刚被抽中”是_________事件，“小明被抽中”是_________事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小玉的概率是_________；
(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小月被抽中的概率．
【答案】(1)不可能；随机；；(2)
【解析】
（1）解：该班同学“小刚被抽中”是不可能事件，“小明被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小玉被抽中”的概率为，故答案为：不可能、随机、；
（2）解：根据题意可画树状图如下：

共有12种等可能结果，其中小月被抽中的有6种结果．所以.
12．为巩固防疫成果，确保校园平安，某市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小亮和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园，利用画树状图或列表的方法，求小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率．
【答案】图表见解析，
【详解】
解：列表：

由表可知，共有9种等可能的结果，其中小亮和小丽从同一个测温通道通过的有3种可能，
所以小亮和小丽从同一个测温通道通过的概率为．
13．小董利用均匀的骰子和同桌做游戏，规则如下：
两人同时做游戏，各自投掷一枚骰子，也可以连续投掷几次骰子；
当掷出的点数和不超过，如果决定停止投掷，那么你的得分就是掷出的点数和；当掷出的点数和超过，必须停止投掷，并且你的得分为；
比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜．
在一次游戏中，同桌连续投掷两次，掷出的点数分别是、，同桌决定不再投掷；小董也是连续投掷两次，但是掷出的点数分别了、，小董决定再投掷一次．请问：

(1)最终小董的得分为分的概率多大？并说明原因．
(2)小董获胜的概率多大？并说明原因．
(3)做这个游戏时应该注意什么才能使游戏公平？
【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析
(3)在游戏过程中应注意轮流投掷骰子，先小董或同桌投掷第一次，如需投掷第二次，再同桌或小董投掷第二次，这样即可保证游戏公平．
【解析】
（1）解：由题意可知：小董投掷骰子的点数为、、时，得分为，小董得零分的概率为：小董得分为零．
（2）解：根据题意得：小董再次投掷骰子，点数为或时得分为或，小董获胜，小董获胜的概率为：小董获胜．
（3）根据游戏规则，前一个人投掷的骰子点数总和大小会影响后一个人是否再次投掷第二次骰子，在游戏过程中应注意轮流投掷骰子，先小董或同桌投掷第一次，如需投掷第二次，再同桌或小董投掷第二次，这样即可保证游戏公平．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．《田忌赛马》原文：忌数与齐诸公子驰逐重射．孙子见其马足不甚相远，马有上、中、下辈．于是孙子谓田忌曰：“君弟重射，臣能令君胜．”田忌信然之，与王及诸公子逐射千金．及临质，孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷．”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金．
小建同学用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马的战斗力分别用数字标记如下表．每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．若齐王的三匹马和田忌的三匹马都随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（    ）
马匹等级
下等马
中等马
上等马
齐王



田忌



A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：画树状图如图所示，

从图中可以看出，齐王与田忌赛马，共有种等可能的情况，其中田忌能赢有种情况，
．
故选：B．
2．某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验、甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（        ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，
画树状图如下：

∵一共有16种等可能的结果，两名同学恰好在同一岗位体验有4种，
∴这两名同学恰好在同一岗位体验的概率=4÷16=，
故选A．
3．如图所示，甲乙两个转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针同时落在偶数上的概率是（        ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：列表得：

∴一共有25种等可能的结果，两个指针同时落在偶数上的有4种情况，
∴两个指针同时落在偶数上的概率是．
故选：A．
4．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到白球的概率是（            ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】
解：根据题意，列出表格，如下：

黑
白
黑
黑黑
白黑
白
黑白
白白
一共得到4种等可能结果，其中两次都摸到白球的有1种，
∴两次都摸到白球的概率是．
故选：D
5．小军旅行箱的密码是一个六位数（密码的每位数字通常用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字），由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开旅行箱的概率是(      )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：∵一共有10种等可能的结果0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，小军能一次打开该旅行箱的只有1种情况，
∴小军能一次打开该旅行箱的概率是：．
故选：D．
6．已知一次函数，从2，-3中随机取一个值，从1，-1，-2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率为（        ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：根据题意，画出树状图，如下：

∵该一次图数的图象经过二、三、四象限时，k