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第二次月考卷-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（人教版）
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第二次月考卷课后培优练
一元二次方程、二次函数、旋转、圆（以圆为主）（时间120分钟，满分120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．以下标志是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥2 C．m<-2 D．m<2
【答案】A
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：m≤2．
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为：．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．π+2 C．2π+2 D．4π+1
【答案】A
【详解】解：连接OD、AD，
在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是Rt△BAC，
∵BC=4，AB=AC
∴，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，，
∵OD=OB，∠B=45°，
∴∠B=∠BDO=45°，
∴∠DOA=∠BOD=90°，
∴阴影部分的面积．
故选：A．
5．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示：
输水管的半径为，水面宽为，水的最大深度为，
，
，，
，
∴
水的最大深度为：．
故选：C．
6．如图，已知AB为⊙O的弦，C为的中点，点D在优弧上一点，连接AD下列式子一定正确的是（ ）
A．∠ADC＝∠B B．∠ADC+2∠B＝90° C．2∠ADC+∠B＝90° D．∠B＝30°
【答案】C
【详解】∵C为的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠A+∠AOC＝90°，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴2∠ADC+∠A＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∴2∠ADC+∠B＝90°．
故选：C．
7．如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植区域是矩形，
由题干可知，大的矩形长40米、宽34米，小路宽为米，所以种植区域的长为（）米，宽为（）米，
根据矩形面积公式可得，（40﹣2x）（34﹣x）＝960．
故选：A．
8．如图，△ABC内接于⊙O，EF为⊙O直径，点F是BC弧的中点，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠AFE的度数（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A
【详解】
连接AE，设AB交EF于点D
∵∠B＝40°，∠C＝60°
∴∠BAC＝80°，
∵EF为⊙O直径，
∴∠EAF＝90°，
∵点F是BC弧的中点，
∴弧BF = 弧CF
，∠BAF＝∠CAF＝40°，
是的外角
故选：A．
9．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，若点A坐标为(1，0)，点B坐标为(5，0)，则下列结论中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④当时，；⑤对于任意的实数m，均有；⑥若，则关于x的方程一定有4个实数根．
A．②③⑤ B．②③⑤⑥ C．①④⑥ D．②③⑥
【答案】B
【详解】解：∵抛物线开口向下，与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴，
∴a＜0，c＜0，a，b异号，
∴b＞0．
∴abc＞0，
∴①错误，③正确；
∵抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，若点A坐标为(1，0)，点B坐标为(5，0)，
∴抛物线的对称轴直线为：，又，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵抛物线开口向下，与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴，
∴当时，抛物线有最大值，
∵，
∴当时，且，
当时，，
∴当时，，故④错误；
∵当时，抛物线有最大值，
∴对于任意的实数m，均有，即，
故⑤说法正确；
∵抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，若点A坐标为(1，0)，点B坐标为(5，0)，
∴函数的图象应为
故当时，直线与该图象始终有4个交点，即关于x的方程一定有4个实数根，故⑥正确，
综上可得正确的说法有：②③⑤⑥，
故选：B
10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，取BC的中点F，连接EF，CE，AF．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4
∴AC＝BC＝
∵F是BC的中点
∴CF＝
∴AF＝
∵CD是直径
∴∠CED＝∠CEB ＝90°
∴△CEB是直角三角形
∵F是BC的中点
∴
∵AE≥AF-EF=
故选D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．某件商品连续两次降价后，零售价由原来的元降为元，设此商品平均每次降价的百分率为，则恨据题意列出的方程是__________________．
【答案】
【详解】解：根据题意得．
故答案为：．
12．二次函数在时随增大而减小，则的取值范围是____________．
【答案】
【详解】解：，
二次函数开口向上，
二次函数的对称轴是直线，
当时随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
．
故答案为：．
13．将直角边长为1cm的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△，则图中阴影部分的面积是______________．
【答案】
【详解】解：如图所示，设AB与交于D点，
根据旋转性质得∠=15°，而∠CAB=45°，
∴∠=∠CAB-∠=30°，
又∵=AC=1cm，∠=∠C=90°，
∴AD=2，
由勾股定理得，，
即，
∴=，
∴阴影部分的面积=（）．
故答案为：．
14．如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠AOB＝120°，则AB＝_____．
【答案】6
【详解】解：∵PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，
∴ PA ＝PB ，CA ＝CE ，DB ＝DE ，
∵△PCD的周长为12，
∴ PC + CE + PD + DE ＝PC + CA + PD + DB ＝PA + PB ＝12 ，
∴ PA ＝PB ＝6 ，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB＝PA＝6，
故答案为：6．
15．实心球是一项以力量为基础，以动作速度为核心的投掷项目．如图，某次比赛中运动员站在O处将实心球从B处抛出，它的运动路线可以看作是抛物线的一部分．若实心球在运动过程中最高离地面3米，此时与运动员的水平距离为4米，则该运动员投掷实心球的水平距离OA为______米．
【答案】10
【详解】解：∵实心球在运动过程中最高离地面3米，此时与运动员的水平距离为4米，
∴的项点坐标是（4，3），
∴，
解得：，
∴抛物线关系式为
将（4，3）代入得：
解得：，
所以抛物线的解析式为．
令y=0，可得，
解得（舍去）．
∴OA的长是10米.
故答案为：10．
16．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，，AB=8，M是AB上的一动点，CM+DM的最小值是_____________．
【答案】8
【详解】解：如图，作点C关于AB的对称点，连接D与AB相交于点M，则CM＝M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理，，
∴，
∵，AB为直径，
∴D为直径，
即CM+DM=D＝AB，
∵AB=8，
∴CM+DM的最小值是8．
故答案为：8．
17．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝_____，弓形ACB的面积为_____．
【答案】 π-2
【详解】解：在优弧上取点D，连接AD、BD、OA、OB，
∵四边形ADBC为圆内接四边形，
∴∠D=180°-∠ACB=45°，
由圆周角定理得，∠AOB=2∠D=90°，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴AB=OA=2，
弓形ACB的面积==π-2，
故答案为：2，π-2．
18．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，求水面深度的最大值______．
【答案】8
【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=24cm，
∴BD=AB=12（cm），
∵OB=OC=13cm，
在Rt△OBD中，（cm），
∴CD=OC-OD=13-5=8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故答案为：8．
19．已知m是方程式的根，则式子的值为________．
【答案】2020
【详解】∵m是方程式的根，
∴，
∴，．
，
将代入，得：，
再将代入，得：．
故答案为：2020．
20．如图，过点A折叠边长为2的正方形ABCD，使B落在，连接D，点F为D的中点，则CF的最小值为__________．
【答案】-1
【详解】解：连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵折叠边长为2的正方形ABCD，使B落在，
∴A＝AB，
∴A＝AD，
∵F为D的中点，
∴AF⊥D，
∴∠AFD＝90°，
∴F在以AD为直径的圆上，取AD的中点G，连接CG交圆于点F，则CF为最小值，
∵DG＝AD＝1，CD＝2，
∴，
∴．
故答案为：-1．
三、解答题（每小题10分，共60分）
21．华贸商城销售某品牌电饭锅，每台进价为320元，标价为400元．
(1)中秋节期间商城举行促销活动，经过两次降价后，每台售价为324元，若每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
(2)经市场调研发现：当每台售价为380元时，平均每天能售出6台，当每台售价每降5元时，平均每天就能多售出3台，若商城要想使该冰箱的销售利润平均每天达到720元，则每台冰箱的售价应为多少元？
【答案】(1)每次降价的百分率是10%．(2)每台冰箱的售价应为360元或350元．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，依题意得
，
解得，（不合题意，舍去），
答：每次降价的百分率是10%．
（2）设应降价a个5元，依题意得
(380﹣5a﹣320)(6+3a)＝720，
解得，，
所以380﹣5a=360或350，
因此每台冰箱的售价应为360元或350元．
22．如图，△ABC是直角三角形，，，以点C为旋转中心，将△ABC旋转到的位置，且使经过点A．
(1)求的度数，并判断的形状；
(2)求线段AC与线段AB的数量关系．
【答案】(1)60°，等边三角形；(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴∠BAC=60°，
由旋转可知，CA=，，，
∵经过点A，
∴是等边三角形，
∴．
（2）解：由（1）得，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
23．如图，已知抛物线的顶点为A(4，3)，与y轴相交于点B(0，﹣5)，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；
(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．
【答案】(1)；(2)M（2，﹣1），y＝2x﹣5
(3)P、Q的坐标分别为(6，1)或(2，1)、(4，﹣3)或(4，1)或(4，5)
【详解】（1）解：函数表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：∵、，
∴点，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入上式得：，解得：，
故直线的表达式为：；
（3）解：设点、点，
①当是平行四边形的一条边时，
当点在的下方时，
点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，
同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，
即：，，
解得：，，
即点的坐标为、点的坐标为，
故当点在点上方时，，
同理可得点的坐标为、点的坐标为，
②当是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：，，
解得：，，
故点、的坐标分别为、；
综上，、的坐标分别为或，或或．
24．如图，⊙O的两条弦互相垂直，垂足为E，且．
(1)求证：．
(2)若于F，于G，问，四边形是何特殊四边形？并说明理由．
(3)若，求的半径．
【答案】(1)，证明见解析；(2)四边形是正方形，理由见解析；(3)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：四边形是正方形.
理由如下：∵，，，
∴，
∴四边形是矩形．
如图，连接OA，OD．
∵，，
∴CF=DF，AG=BG．
∵CD=AB，
∴AG=DF．
∵，，OA=OD，
∴OG=OF，
∴四边形是正方形；
（3）解：∵CE=1，DE=3，
∴CD=4，
∴CF=DF=2，
∴EF=CF-CE=2-1=1．
∵四边形是正方形，
∴OF=EF=1．
在Rt中，，
∴⊙O的半径为．
25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，∠D＝2∠A．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：DE＝DC；
(3)若OD＝5，CD＝3，求AE的长．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)AE＝2
【详解】（1）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，
又∵∠D＝2∠A，
∴∠D＝∠COB．
又∵OD⊥AB，
∴∠COB+∠COD＝90°，
∴∠D+∠COD＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥DC，
又点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠DCO＝90°，
∴∠DCE+∠ACO＝90°，
又∵OD⊥AB，
∴∠AEO+∠A＝90°，
又∵∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC；
（3）解：∵∠DCO＝90°，OD＝5，DC＝3，
∴OC＝＝＝4，
∴OA＝OC＝4，
又DE＝DC＝3，
∴OE＝OD﹣DE＝2，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：，
∴AE＝2．
26．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
(1)求证：DG是⊙O的切线；
(2)求证：DE＝CD；
(3)若，BC＝8，求⊙O的半径．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)5
【详解】(1)证明：如图1，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴，
∴，
∴OD⊥BC，
∵，
∴，
∵是⊙O的半径，
∴DG是⊙O的切线．
(2)证明：如图2，连接BD，
∵点E是△ABC的内心，
∴，
∵，
∴，
∴．
(3)解：如图3，连接OB、，连接交于
由（2）可知，
由题意知，，
在中，由勾股定理得，
设半径为，则，，
在中，由勾股定理得即，
解得，
∴⊙O的半径为5．
第二次月考卷课后培优练
一元二次方程、二次函数、旋转、圆（以圆为主）（时间120分钟，满分120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．以下标志是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m≥2 C．m<-2 D．m<2
【答案】A
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：m≤2．
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为：．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．π+2 C．2π+2 D．4π+1
【答案】A
【详解】解：连接OD、AD，
在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是Rt△BAC，
∵BC=4，AB=AC
∴，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，，
∵OD=OB，∠B=45°，
∴∠B=∠BDO=45°，
∴∠DOA=∠BOD=90°，
∴阴影部分的面积．
故选：A．
5．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为，水面宽为，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示：
输水管的半径为，水面宽为，水的最大深度为，
，
，，
，
∴
水的最大深度为：．
故选：C．
6．如图，已知AB为⊙O的弦，C为的中点，点D在优弧上一点，连接AD下列式子一定正确的是（ ）
A．∠ADC＝∠B B．∠ADC+2∠B＝90° C．2∠ADC+∠B＝90° D．∠B＝30°
【答案】C
【详解】∵C为的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠A+∠AOC＝90°，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴2∠ADC+∠A＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∴2∠ADC+∠B＝90°．
故选：C．
7．如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长40米、宽34米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为960平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】如图，把三条小路平移到边上，构造完整的种植区域是矩形，
由题干可知，大的矩形长40米、宽34米，小路宽为米，所以种植区域的长为（）米，宽为（）米，
根据矩形面积公式可得，（40﹣2x）（34﹣x）＝960．
故选：A．
8．如图，△ABC内接于⊙O，EF为⊙O直径，点F是BC弧的中点，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠AFE的度数（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A
【详解】
连接AE，设AB交EF于点D
∵∠B＝40°，∠C＝60°
∴∠BAC＝80°，
∵EF为⊙O直径，
∴∠EAF＝90°，
∵点F是BC弧的中点，
∴弧BF = 弧CF
，∠BAF＝∠CAF＝40°，
是的外角
故选：A．
9．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，若点A坐标为(1，0)，点B坐标为(5，0)，则下列结论中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④当时，；⑤对于任意的实数m，均有；⑥若，则关于x的方程一定有4个实数根．
A．②③⑤ B．②③⑤⑥ C．①④⑥ D．②③⑥
【答案】B
【详解】解：∵抛物线开口向下，与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴，
∴a＜0，c＜0，a，b异号，
∴b＞0．
∴abc＞0，
∴①错误，③正确；
∵抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，若点A坐标为(1，0)，点B坐标为(5，0)，
∴抛物线的对称轴直线为：，又，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵抛物线开口向下，与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴，
∴当时，抛物线有最大值，
∵，
∴当时，且，
当时，，
∴当时，，故④错误；
∵当时，抛物线有最大值，
∴对于任意的实数m，均有，即，
故⑤说法正确；
∵抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，若点A坐标为(1，0)，点B坐标为(5，0)，
∴函数的图象应为
故当时，直线与该图象始终有4个交点，即关于x的方程一定有4个实数根，故⑥正确，
综上可得正确的说法有：②③⑤⑥，
故选：B
10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，取BC的中点F，连接EF，CE，AF．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4
∴AC＝BC＝
∵F是BC的中点
∴CF＝
∴AF＝
∵CD是直径
∴∠CED＝∠CEB ＝90°
∴△CEB是直角三角形
∵F是BC的中点
∴
∵AE≥AF-EF=
故选D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．某件商品连续两次降价后，零售价由原来的元降为元，设此商品平均每次降价的百分率为，则恨据题意列出的方程是__________________．
【答案】
【详解】解：根据题意得．
故答案为：．
12．二次函数在时随增大而减小，则的取值范围是____________．
【答案】
【详解】解：，
二次函数开口向上，
二次函数的对称轴是直线，
当时随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
．
故答案为：．
13．将直角边长为1cm的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△，则图中阴影部分的面积是______________．
【答案】
【详解】解：如图所示，设AB与交于D点，
根据旋转性质得∠=15°，而∠CAB=45°，
∴∠=∠CAB-∠=30°，
又∵=AC=1cm，∠=∠C=90°，
∴AD=2，
由勾股定理得，，
即，
∴=，
∴阴影部分的面积=（）．
故答案为：．
14．如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠AOB＝120°，则AB＝_____．
【答案】6
【详解】解：∵PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，
∴ PA ＝PB ，CA ＝CE ，DB ＝DE ，
∵△PCD的周长为12，
∴ PC + CE + PD + DE ＝PC + CA + PD + DB ＝PA + PB ＝12 ，
∴ PA ＝PB ＝6 ，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB＝PA＝6，
故答案为：6．
15．实心球是一项以力量为基础，以动作速度为核心的投掷项目．如图，某次比赛中运动员站在O处将实心球从B处抛出，它的运动路线可以看作是抛物线的一部分．若实心球在运动过程中最高离地面3米，此时与运动员的水平距离为4米，则该运动员投掷实心球的水平距离OA为______米．
【答案】10
【详解】解：∵实心球在运动过程中最高离地面3米，此时与运动员的水平距离为4米，
∴的项点坐标是（4，3），
∴，
解得：，
∴抛物线关系式为
将（4，3）代入得：
解得：，
所以抛物线的解析式为．
令y=0，可得，
解得（舍去）．
∴OA的长是10米.
故答案为：10．
16．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，，AB=8，M是AB上的一动点，CM+DM的最小值是_____________．
【答案】8
【详解】解：如图，作点C关于AB的对称点，连接D与AB相交于点M，则CM＝M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理，，
∴，
∵，AB为直径，
∴D为直径，
即CM+DM=D＝AB，
∵AB=8，
∴CM+DM的最小值是8．
故答案为：8．
17．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝_____，弓形ACB的面积为_____．
【答案】 π-2
【详解】解：在优弧上取点D，连接AD、BD、OA、OB，
∵四边形ADBC为圆内接四边形，
∴∠D=180°-∠ACB=45°，
由圆周角定理得，∠AOB=2∠D=90°，
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴AB=OA=2，
弓形ACB的面积==π-2，
故答案为：2，π-2．
18．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，求水面深度的最大值______．
【答案】8
【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=24cm，
∴BD=AB=12（cm），
∵OB=OC=13cm，
在Rt△OBD中，（cm），
∴CD=OC-OD=13-5=8（cm），
即水的最大深度为8cm，
故答案为：8．
19．已知m是方程式的根，则式子的值为________．
【答案】2020
【详解】∵m是方程式的根，
∴，
∴，．
，
将代入，得：，
再将代入，得：．
故答案为：2020．
20．如图，过点A折叠边长为2的正方形ABCD，使B落在，连接D，点F为D的中点，则CF的最小值为__________．
【答案】-1
【详解】解：连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵折叠边长为2的正方形ABCD，使B落在，
∴A＝AB，
∴A＝AD，
∵F为D的中点，
∴AF⊥D，
∴∠AFD＝90°，
∴F在以AD为直径的圆上，取AD的中点G，连接CG交圆于点F，则CF为最小值，
∵DG＝AD＝1，CD＝2，
∴，
∴．
故答案为：-1．
三、解答题（每小题10分，共60分）
21．华贸商城销售某品牌电饭锅，每台进价为320元，标价为400元．
(1)中秋节期间商城举行促销活动，经过两次降价后，每台售价为324元，若每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
(2)经市场调研发现：当每台售价为380元时，平均每天能售出6台，当每台售价每降5元时，平均每天就能多售出3台，若商城要想使该冰箱的销售利润平均每天达到720元，则每台冰箱的售价应为多少元？
【答案】(1)每次降价的百分率是10%．(2)每台冰箱的售价应为360元或350元．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，依题意得
，
解得，（不合题意，舍去），
答：每次降价的百分率是10%．
（2）设应降价a个5元，依题意得
(380﹣5a﹣320)(6+3a)＝720，
解得，，
所以380﹣5a=360或350，
因此每台冰箱的售价应为360元或350元．
22．如图，△ABC是直角三角形，，，以点C为旋转中心，将△ABC旋转到的位置，且使经过点A．
(1)求的度数，并判断的形状；
(2)求线段AC与线段AB的数量关系．
【答案】(1)60°，等边三角形；(2)
【详解】（1）解：∵，，
∴∠BAC=60°，
由旋转可知，CA=，，，
∵经过点A，
∴是等边三角形，
∴．
（2）解：由（1）得，，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
23．如图，已知抛物线的顶点为A(4，3)，与y轴相交于点B(0，﹣5)，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)写出点M的坐标并求直线AB的表达式；
(3)设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．
【答案】(1)；(2)M（2，﹣1），y＝2x﹣5
(3)P、Q的坐标分别为(6，1)或(2，1)、(4，﹣3)或(4，1)或(4，5)
【详解】（1）解：函数表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：∵、，
∴点，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入上式得：，解得：，
故直线的表达式为：；
（3）解：设点、点，
①当是平行四边形的一条边时，
当点在的下方时，
点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，
同样点向左平移2个单位、向下平移4个单位得到，
即：，，
解得：，，
即点的坐标为、点的坐标为，
故当点在点上方时，，
同理可得点的坐标为、点的坐标为，
②当是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：，，
解得：，，
故点、的坐标分别为、；
综上，、的坐标分别为或，或或．
24．如图，⊙O的两条弦互相垂直，垂足为E，且．
(1)求证：．
(2)若于F，于G，问，四边形是何特殊四边形？并说明理由．
(3)若，求的半径．
【答案】(1)，证明见解析；(2)四边形是正方形，理由见解析；(3)
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：四边形是正方形.
理由如下：∵，，，
∴，
∴四边形是矩形．
如图，连接OA，OD．
∵，，
∴CF=DF，AG=BG．
∵CD=AB，
∴AG=DF．
∵，，OA=OD，
∴OG=OF，
∴四边形是正方形；
（3）解：∵CE=1，DE=3，
∴CD=4，
∴CF=DF=2，
∴EF=CF-CE=2-1=1．
∵四边形是正方形，
∴OF=EF=1．
在Rt中，，
∴⊙O的半径为．
25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，∠D＝2∠A．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：DE＝DC；
(3)若OD＝5，CD＝3，求AE的长．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)AE＝2
【详解】（1）证明：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，
又∵∠D＝2∠A，
∴∠D＝∠COB．
又∵OD⊥AB，
∴∠COB+∠COD＝90°，
∴∠D+∠COD＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥DC，
又点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠DCO＝90°，
∴∠DCE+∠ACO＝90°，
又∵OD⊥AB，
∴∠AEO+∠A＝90°，
又∵∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC；
（3）解：∵∠DCO＝90°，OD＝5，DC＝3，
∴OC＝＝＝4，
∴OA＝OC＝4，
又DE＝DC＝3，
∴OE＝OD﹣DE＝2，
在Rt△AEO中，由勾股定理得：，
∴AE＝2．
26．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
(1)求证：DG是⊙O的切线；
(2)求证：DE＝CD；
(3)若，BC＝8，求⊙O的半径．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)5
【详解】(1)证明：如图1，连接OD，
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴，
∴，
∴OD⊥BC，
∵，
∴，
∵是⊙O的半径，
∴DG是⊙O的切线．
(2)证明：如图2，连接BD，
∵点E是△ABC的内心，
∴，
∵，
∴，
∴．
(3)解：如图3，连接OB、，连接交于
由（2）可知，
由题意知，，
在中，由勾股定理得，
设半径为，则，，
在中，由勾股定理得即，
解得，
∴⊙O的半径为5．
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