广东省潮州市2023届高三二模数学试题

广东省潮州市2023届高三二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，，则（    ）

A． B．或

C． D．或

2．（    ）

A． B． C． D．

3．若，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知圆，则下列说法正确的是（    ）

A．点在圆内

B．若圆与圆恰有三条公切线，则

C．直线与圆相离

D．圆关于对称

5．若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

6．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（    ）

A． B． C． D．

7．设双曲线的右焦点为，，两点在双曲线上且关于原点对称，若，，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数，，若与图像的公共点个数为，且这些公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

二、多选题

9．设向量，则（    ）

A． B．

C． D．在上的投影向量为（1，0）

10．根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有（    ）

A．平均数小于4 B．平均数小于4且极差小于或等于3

C．平均数小于4且标准差小于或等于4 D．众数等于5且极差小于或等于4

11．对于一个事件E，用表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D中，，，则（    ）

A．A与D不互斥 B．A与B互为对立 C．A与C相互独立 D．B与C相互独立

12．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（    ）

A．当平面时，与所成夹角可能为

B．当时，的最小值为

C．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为

D．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为

三、填空题

13．的展开式中的系数为______（用数字表示）.

14．已知函数（其中是自然对数的底数，）是奇函数，则实数的值为______.

15．过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于两点，点在抛物线准线上的射影分别为，，点P在抛物线的准线上.若AP是的角平分线，则点P到直线l的距离为______.

16．将数列中的项排成下表：

，

，，，

，，，，，，，

…

已知各行的第一个数，，，，…构成数列，且的前项和满足（且），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若，则第6行的所有项的和为______.

四、解答题

17．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知.

(1)求角的大小；

(2)求的取值范围.

18．新冠病毒引发的肺炎疫情在全球发生，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图.潜伏期不高于天的患者，称“短潜伏者”，潜伏期高于天的患者，称“长潜伏者”.

(1)求这名患者中“长潜伏者”的人数，并估计样本的分位数（精确到）；

(2)研究发现，有种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是元，设所需要的试验费用为，求的分布列与数学期望.

19．图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.

(1)证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；

(2)求图2中的直线与平面所成角的正弦值.

20．已知数列满足，.

(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)若，数列的前项和，求证：.

21．已知椭圆过点和点，的上顶点到直线的距离为2，如图过点的直线与，轴的交点分别为，，且，点，关于原点对称，点，关于原点对称，且.

(1)求的长度；

(2)求四边形面积的最大值.

22．已知函数（是自然对数的底数）有两个零点.

(1)求实数的取值范围；

(2)若的两个零点分别为，，证明：.

参考答案：

1．B

【分析】根据补集的定义计算可得.

【详解】解：因为全集，，

所以或.

故选：B

2．A

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数模的计算公式计算可得.

【详解】解：，

所以.

故选：A

3．A

【分析】利用弦化切可求得的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.

【详解】因为，解得，

所以，.

故选：A.

4．B

【分析】由点与圆的位置关系判断A；由两圆外切，结合圆与圆的位置关系判断B；由距离公式判断C；由圆心不在直线上判断D.

【详解】圆可化为，圆心为，半径为.

对于A：因为，所以点在圆外，故A错误；

对于B：若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，

圆可化为，圆心为，

半径为，因为，所以，

解得，故B正确；

对于C：到直线的距离为，则直线

与圆相切，故C错误；

对于D：显然圆心不在直线上，则圆不关于

对称，故D错误；

故选：B

5．D

【分析】根据题意，结合正弦型函数的单调区间列出不等式，然后结合条件代入计算，即可得到结果.

【详解】令，

所以，

所以函数的单调增区间为，

又因为在上单调递增，

则是，的一个子区间，

当时，即，

若是的子集，

则

故选:D．

6．D

【分析】根据题意求出圆台上下底面半径，圆台的高，代入圆台的体积计算公式即可求解.

【详解】设圆台上下底面的半径分别为，由题意可知，解得，

，解得：，作出圆台的轴截面，如图所示：

图中，，

过点向作垂线，垂足为，则，

所以圆台的高，

则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得：

，

故选：.

7．A

【分析】设双曲线左焦点为，点在双曲线右支，根据对称性知四边形是平行四边形，，根据双曲线的定义可推得，，.又，可知四边形为矩形，根据勾股定理得到的关系式，进而得到的关系式，即可求出渐近线方程.

【详解】

设双曲线左焦点为，点在双曲线右支，根据对称性知四边形是平行四边形.

由已知可得，又由双曲线的定义知，，所以，.

又，所以四边形是矩形，所以.

在中，有，即，

所以，，所以，.

所以，双曲线的渐近线方程为，整理可得.

故选：A.

8．B

【分析】对于A，根据函数与方程的关系，两函数作差构造新函数，利用导数研究其零点个数，可得答案；对于B，由题意，作图，可得函数在处相切，可得方程，结合三角恒等式，可得答案；对于C，由题意，作图，根据对称性以及公共点所在区间，可得答案；对于D，利用三角函数的值域与周期性，可得答案.

【详解】对于A：当时，令，则，即函数在定义域上单调递减，

又当时，所以函数有且仅有一个零点为，

同理易知函数有且仅有一个零点为，即与也恰有一个公共点，故A错误；

对于B：当时，如下图：

易知在，且，与图象相切，

由当时，，则，，

故，从而，

所以，故B正确；

对于C：当时，如下图：

则，，所以，又图象关于对称，

结合图象有，即有，故C错误；

对于D：当时，由，

与的图象在轴右侧的前个周期中，每个周期均有个公共点，共有个公共点，故D错误.

故选：B.

9．ACD

【分析】根据平面向量的运算法则，向量与向量垂直、平行的坐标表示，平面向量数量积的几何意义判断.

【详解】，，，A对.

，所以B错，C对.

向量在向量上的投影为：，投影向量为.所以D对.

故答案为：ACD.

10．BD

【分析】分析每个选项数据是否有可能大于10，选出符合题意选项.

【详解】对于A，举反例：0，0，0，0，15平均数为3小于4，但不符合入冬标准，A错误；

对于B，假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3知，此组数据最小值为大于或等于7，与平均值小于4矛盾，故假设不成立，B项正确；

对于C，举反例：1，1，1，1，11平均数为3，且标准差为4，但不符合入冬标准，C错误；

对于D，众数等于5且极差小于或等于4时，最大数不超过9，D项正确；

故选：BD.

11．BCD

【分析】利用古典概型相关知识，以及互斥事件，对立事件概率计算公式即可求解.

【详解】对于A：，，

，

与互斥，故A错误；

对于B：

A与B互为对立，故B正确；

对于C：，，

，

，

A与C相互独立，故C正确；

对于D：

,

，

，

又，，

，

B与C相互独立，故D正确；

故选：BCD.

12．AC

【分析】A选项，建立空间直角坐标系，得到，求出平面的一个法向量，由，求出，再根据列出方程，求出或1，得到A正确；

B选项，先根据，得到点在棱上，将平面与平面沿着展成平面图形，结合余弦定理求出答案；

C选项，先得到为与平面所成角，根据所成角的大小得到，从而得到点的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，求出轨迹长度；

D选项，先确定点在上，作出辅助线得到平行四边形即为正方体过点､P､C的截面，设，求出点到直线的距离，配方后得到其最大值与最小值，从而得到截面的最大值与最小值，得到取值范围.

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

所以，

则，设平面的一个法向量为，

所以，

令，则，即平面的一个法向量为，

若平面，则，即，

故，故，其中，

令，

解得：或1，

故与可能是，A正确；

B选项，因为，故点在棱上，

如图，将平面与平面沿着展成平面图形，

线段即为的最小值，

利用余弦定理可得：

，

所以，B错误；

C选项，因为⊥平面，连接，则即为与平面所成角，

若与平面所成角为，则，所以，

即点的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，

于是点的轨迹长度为，C正确；

D选项，当时，点在上，过点作交于点，连接，

则，所以平行四边形即为正方体过点､P､C的截面，

设，

所以，则，，

所以点到直线的距离为，

于是当时，，的面积取得最小值，此时截面面积最小为，

当或1时，，的面积取得最大值，此时截面面积最大为，

故截面面积的取值范围为，D错误.

故选：AC

【点睛】立体几何中截面的处理思路：

（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；

（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；

（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；

（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.

13．210

【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.

【详解】的通项为,

令，所以展开式中的系数为,

故答案为：210

14．

【分析】利用奇函数的性质可得出，结合对数运算可得出实数的值.

【详解】对于函数，，解得或，

所以，函数的定义域为，

因为函数为奇函数，则，即，

即，解得.

故答案为：.

15．5

【分析】连，，根据抛物线的定义以及，证明，从而推出和，可得就是点P到直线l的距离，再根据，推出，结合，可得.

【详解】如图，连，，

由抛物线的定义可知，，又，，

所以，所以，，即，

所以就是点P到直线l的距离，

因为，，，

所以，所以，

所以，又，所以.

故点P到直线l的距离为.

故答案为：

16．1344

【分析】根据所满足的条件，求出数列，由在表中的位置，得，所以每行等差数列公差，即可求第6行所有项的和．

【详解】解：∵(且)，

∴，即，

∴数列的通项公式为，（且），

观察表中各行规律可知，第n行的最后一项是数列的第项，

 ，∴在表中第8行第3列，

∵，且，∴公差；

∴第6行共有32个元素，则第6行所有项的和为

故答案为：1344．

【点睛】思路点睛：由的前项和满足，构造法求数列的通项公式，观察数列的规律，找到在表中的位置，结合的通项公式可求得表中每一行的公差，继而可求第6行所有项的和．

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据两角和的正切公式和诱导公式即可求解，

（2）根据三角函数的性质即可求解.

【详解】（1），

又,所以,

由于为三角形的内角，所以,

（2）由于，所以,

故,

由于为锐角三角形，所以且，故，

则，故，

故的取值范围为

18．(1)这名患者中“长潜伏者”的人数为人，样本的分位数为

(2)分布列答案见解析，

【分析】（1）根据频率分布直方图可计算出“长潜伏者”的人数，然后利用百分位数的概率可求得样本的分位数；

（2）分析可知所有可能的取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.

【详解】（1）解：这名患者中“长潜伏者”的频率为，

所以，“长潜伏者”的人数为人，

由频率分布直方图可知，潜伏期不高于天的患者所占的比例为，

潜伏期不高于天的患者所占的比例为，

因此，分位数一定位于内，

由，所以可估计样本的分位数约为.

（2）解：所有可能的取值为、、，

，，

，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

所以，.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明即可证得，，，四点共面，根据，证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；

（2）连接，取的中点，连接，根据面面垂直的性质证明平面，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）在图2中，由题意得，

所以，

所以图2中的，，，四点共面，

由已知得，

又平面，

所以平面，

又因平面，所以平面平面；

（2）连接，在菱形中，，则为等边三角形，

取的中点，连接，则，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，

则，

设平面的法向量，

则有，可取，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．(1)证明见解析，

(2)证明见解析

【分析】（1）根据递推公式证明为定制，即可证明数列为等比数列，再根据等比数列得通项即可得解；

（2）由，得，则，则，再利用裂项相消法求出数列的前项和，即可得证.

【详解】（1）因为，所以，

则，

又，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

则，

所以；

（2）由，得，

则，

所以，

所以，

所以

，

因为，所以，

所以.

21．(1)

(2)

【分析】先根据点到直线的距离求出，再根据椭圆所过的点求出，即可求出椭圆方程为，根据点在椭圆上，可得，设过点的直线方程为，分别求出两点的坐标，再根据两点之间的距离公式即可得解；

（2）根据，结合（1）可得直线的方程为，联立方程，求出，再利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再根据四边形面积化简整理即可得解.

【详解】（1）的上顶点到直线的距离，解得，

又椭圆过点，

则，解得，

所以椭圆方程为，

因为点在椭圆上，所以，

由题意直线的斜率存在，

设过点的直线方程为，

令，则，令，则，

即，

由，得，

所以，所以，

所以

；

（2）由（1）得直线的斜率，

因为，所以，

所以直线的方程为，即，

联立，解得，所以，

所以，

点到直线的距离，

又因，所以，

由椭圆的对称性可得四边形，

所以四边形面积，

,

当且仅当，即时取等号，

则，，所以，

即四边形面积的最大值为.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

22．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1） 有两个零点，等价于有两个零点，等价于有两个零点，利用导数研究单调性，判断零点存在的条件，求实数的取值范围；

（2）要证 只需证，即证，

由（1）知，，所以只需证，只需证，构造函数，利用导数研究单调性，取最值得证.

【详解】（1） 有两个零点，

等价于有两个零点，

令，则，在时恒成立，所以在时单调递增，

所以有两个零点，等价于有两个零点，

因为 ，所以

①当时，，单调递增，不可能有两个零点；

②当时，令，得，单调递增，令，得，单调递减，

所以，

若，得，此时恒成立，没有零点；

若，得，此时有一个零点；

若，得，因为，，，

所以在，上各存在一个零点，符合题意，

综上，a的取值范围为.

（2）要证 只需证，即证，

由（1）知，，所以只需证

因为，，所以，，

所以 ，只需证，

设，令， 则，所以只需证 即证 ，

 令，，则 ，，

即当时， 成立，

所以，即，即.

【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.