中考数学解题策略：阅读理解题的解题策略

               中考数学解题策略：阅读理解题的解题策略

　　阅读理解能力是初中数学课程的主要目标，是改变学生学习方式，实现自主探索主动发展的基础。

题型特点：

　　阅读理解型问题一般篇幅较长，涉及内容丰富、构思新颖别致，这类问题主要考查问题者的心理素质、自学能力和阅读理解能力、考查解题者的观察分析能力，判断辩别能力.类比操作能力，抽象概括能力、数字归纳能力、以及数字语言表达能力。这就要求同学们在平时学习活动中，逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑、会创新和独立获取知识的习惯。

题型分类：

1   、考查掌握新知识能力的阅读理解问题

   此类题，是给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题,这类题能考查我们自学能力和阅读理解能力，能考查我们接收、加工、利用信息的能力。

2   、考查问题思维过程的的阅读理解题

    数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础.言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在。是提高数学水平的前提.这类试题就是为检验我们理解解题过程.掌握基本数学方法和辩别是非能力而设置的。

3   、考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题

    理解知识不是拘泥于形式的死记硬背，而是要把握知识的内涵或实质.理解知识间的相互联系，形成知识脉络，从而整体地获取知识。这类试题意在检测我们对知识的理解以及认识解决问题的能力。

4   .考查归纳、探索规律能力的阅读理解题

对材料信息加工提炼和运用；对规律的归纳和发现能反映出我们应用数学、发展数学和进行数学创新意识的能力。这类题在检测我们的“数学化”能力及驾驭数学的创新意识和才能。

方法技巧：

    解决阅读题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”

具体做法：

   ①认真读材料，把握题意，注意材料中的一些数据、关键名词。

   ②全面分析，理解材料中所蕴含的基本概念、原理、思索方法、提取有价值的数学信息。

   ③对有关信息进行归纳整合，并且和方程、不等式、函数、几何模型结合来解答。

 典例剖析

典例一：考查掌握新知识能力的阅读理解问题

例1—1.【阅读材料】

现定义：一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做等对边四边形．

【理解应用】

  （1）请你画出一个等对边四边形并说明理由；

  （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，∠A＝30°，点P在AB边上，且PB＝8．在AC上是否存在一点Q，使四边形PBCQ为等对边四边形？若存在，请求出CQ的长；若不存在，请说明理由．

例1—2阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC＝，AB＝2，求GE的长．

典例二：考查问题思维过程的的阅读理解题

例2.阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：

（1）如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；

（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．

典例三：考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题

      例3.阅读材料：

问题背景：数学活动课上，老师提出问题：用式子表示十位上的数是a，个位上的数字是b的两位数，再把这个两位数的十位数与个位数交换位置，计算所得数与原数的和．这个和能够被11整除吗？

解决思路：原数是，交换位置后，两个两位数相加的结果是：

；由于a与b均为整数，所以这个和能够被11整除．

问题提出：某同学根据上述解题思路提出一个猜想；把一个三位正整数的百位上的数与个位上的数交换位置，十位上的数不变，原数与所得数的差等于99乘原数的百位上的数与个位上的数的差．例如：．

请聪明的你来回答问题：

(1)这位同学的猜想是否正确？若正确，对任意情况进行说明；若不正确，说明理由．

(2)已知一个五位正整数的万位上的数为m，个位上的数为n，把万位上的数与个位上的数交换位置，其余数位上的数不变，原数与所得数的差等于___________．(直接用含m，n的式子表示

典例四：考查归纳、探索规律能力的阅读理解题

例4 阅读与理解

阅读并观察下列相应等式，探究其中的规律：

＝1﹣＝，

＝1﹣+﹣＝，

++＝1﹣+﹣+﹣＝，

按规律填空：

（1）+++＝　　　　　　；

（2）++++…+　　　　　　；

（3）如果n为正整数，请你计算：

++++…+．

解析

例1—1.【阅读材料】

现定义：一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做等对边四边形．

【理解应用】

  （1）请你画出一个等对边四边形并说明理由；

  （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，∠A＝30°，点P在AB边上，且PB＝8．在AC上是否存在一点Q，使四边形PBCQ为等对边四边形？若存在，请求出CQ的长；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图①②所示，四边形ABCD即为所求；

理由：如图①，∵BC＝AD＝，AB＝1，CD＝3，

∴AB≠CD，

∴四边形ABCD为等对边四边形；

（2）存在，

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，∠A＝30°，

∴AB＝20，AC＝10，

∴AP＝12，

过P作PE⊥AC与E，

∴PE＝6，AE＝6，

∴CE＝4，

∴PC＝＝2＜10，

如图所示，

当PB＝CQ时，此时点Q位于Q1位置，CQ1＝PB＝8；

当BC＝PQ＝10时，此时点D位于Q2位置，

∴QE＝＝8，

∴CQ＝CE+EQ＝4+8，

综上所述：CQ的长为：8或8+4．

     【知识点】含30度角的直角三角形、多边形

例1—2阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC＝，AB＝2，求GE的长．

【解答】解：（1）如图2，四边形ABCD是垂美四边形；

理由如下：

连接AC、BD交于点E，

∵AB＝AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB＝CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（2）猜想结论：AB2+CD2＝AD2+BC2，

证明：如图1，在四边形ABCD中，

∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2＝AO2+BO2+OD2+OC2

∴AB2+CD2＝AD2+BC2，

（3）如图3，连接CG，BE，

∵∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

FMNG图 3EDCAB

∴△GAB≌△CAE（SSS），

∴∠ABG＝∠AEC，

∵∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠BMN＝90°，

∴∠BNC＝90°，即BG⊥CE，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得：EG2+BC2＝CG2+BE2

∵，AB＝2，

∴BC＝1，，，

∴EG2＝CG2+BE2﹣BC2＝6+8﹣2＝13，

∴．

【知识点】四边形综合题

典例二：考查问题思维过程的的阅读理解题

例2.阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：

（1）如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；

（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．

（1）点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．理由见解析；（2）作图见解析；（3）

【解析】

（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．

（2）以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．

（3）由点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根据相似三角形的对应角相等，可求得∠BCE=∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性质可得BE与AB，数量关系，利用三角函数得出AB与BC边之间的数量关系．

（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

理由：∠A＝45°，

∴∠ADE+∠DEA=135°．

∵∠DEC=45°，

∴∠BEC+∠DEA=135°．

∴∠ADE=∠BEC．

∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC．

∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．

（2）作图如下：

图2①DA=2，AE=1，∠DAE=90°，DE=，EB=4，CB=2，∠EBC=90°，EC=，

∴，

∴△DEC为直角三角形，∠DEC=90°

∵，∠DAE=∠EBC =90°

∴△DAE∽△EBC，

∵，∠DAE=∠DEC =90°，

∴△DAE∽△CED，

∴△DAE∽△EBC∽△CED，

图2②图2①DA=2，AE=4，∠DAE=90°，DE=，EB=1，CB=2，∠EBC=90°，EC=，

∴，

∴△DEC为直角三角形，∠DEC=90°

∵，∠DAE=∠EBC =90°

∴△DAE∽△EBC，

∵，∠DAE=∠CED=90°，

∴△DAE∽△CED，

∴△DAE∽△EBC∽△CED，

（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．

由折叠可知：△ECM≌△DCM，

∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，

∴∠BCE=∠ECM=∠DCM，

∴∠BCE=∠BCD=30°，

∴BE=CE=AB．

在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°，

∴，

∴．

典例三：考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题

      例3.阅读材料：

问题背景：数学活动课上，老师提出问题：用式子表示十位上的数是a，个位上的数字是b的两位数，再把这个两位数的十位数与个位数交换位置，计算所得数与原数的和．这个和能够被11整除吗？

解决思路：原数是，交换位置后，两个两位数相加的结果是：

；由于a与b均为整数，所以这个和能够被11整除．

问题提出：某同学根据上述解题思路提出一个猜想；把一个三位正整数的百位上的数与个位上的数交换位置，十位上的数不变，原数与所得数的差等于99乘原数的百位上的数与个位上的数的差．例如：．

请聪明的你来回答问题：

(1)这位同学的猜想是否正确？若正确，对任意情况进行说明；若不正确，说明理由．

(2)已知一个五位正整数的万位上的数为m，个位上的数为n，把万位上的数与个位上的数交换位置，其余数位上的数不变，原数与所得数的差等于___________．(直接用含m，n的式子表示

解：(1)猜想正确，说明见解析

(2)

【分析】（1）设这个三位正整数的百位数字，十位数字，个位数字分别为a、b、c（），分别表示出原数和所得数，然后求出它们的差即可得到答案；

（2）设这个五位正整数的千位数字，百位数字，十位数字分别为a、b、c，分别表示出原数和所得数，然后求出它们的差即可得到答案．

【详解】（1）解：这位同学的猜想正确，说明如下：

设这个三位正整数的百位数字，十位数字，个位数字分别为a、b、c（），

∴这个三位正整数为，

∴交换位置后的正整数为，

∴原数与所得数的差为，

∴原数与所得数的差等于99乘原数的百位上的数与个位上的数的差；

（2）解：设这个五位正整数的千位数字，百位数字，十位数字分别为a、b、c，

∴这个五位正整数为，

∴交换位置后的正整数为，

∴原数与所得数的差为：

，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，正确理解题意表示出原数和所得数是解题的关键

典例四：考查归纳、探索规律能力的阅读理解题

例4 阅读与理解

阅读并观察下列相应等式，探究其中的规律：

＝1﹣＝，

＝1﹣+﹣＝，

++＝1﹣+﹣+﹣＝，

按规律填空：

（1）+++＝　　　　　　；

（2）++++…+　　　　　　；

（3）如果n为正整数，请你计算：

++++…+．

【解答】解：（1）原式＝1﹣+﹣+﹣+﹣＝1﹣＝；

（2）原式＝1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；

（3）原式＝1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．

【知识点】有理数的混合运算