2017年贵港市中考数学试卷及答案解析

这是一份2017年贵港市中考数学试卷及答案解析，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017年广西贵港市中考数学试卷
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．7的相反数是（　　）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
2．数据3，2，4，2，5，3，2的中位数和众数分别是（　　）
A．2，3 B．4，2 C．3，2 D．2，2
3．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
4．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A．3a2+a=3a3 B．2a3•（﹣a2）=2a5 C．4a6+2a2=2a3 D．（﹣3a）2﹣a2=8a2
6．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．下列命题中假命题是（　　）
A．正六边形的外角和等于360°
B．位似图形必定相似
C．样本方差越大，数据波动越小
D．方程x2+x+1=0无实数根
8．从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
9．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（　　）

A．45° B．60° C．75° D．85°
10．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）

A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=2（x﹣1）2+1 D．y=2（x+1）2+1
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5[来源:Z#xx#k.Com]
　
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
13．计算：﹣3﹣5=　 　．
14．中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为　 　．
15．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE：∠EFB=3：4，∠ABF=40°，那么∠BEF的度数为　 　．

16．如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为　 　．

17．如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作交OB于点E，若OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留π）

18．如图，过C（2，1）作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y=﹣x+6上，若双曲线y=（x＞0）与△ABC总有公共点，则k的取值范围是　 　．

　
三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（1）计算：|﹣3|+（+π）0﹣（﹣）﹣2﹣2cos60°；
（2）先化简，在求值：（﹣）+，其中a=﹣2+．
20．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
已知线段a和∠AOB，点M在OB上（如图所示）．
（1）在OA边上作点P，使OP=2a；
（2）作∠AOB的平分线；
（3）过点M作OB的垂线．

21．如图，一次函数y=2x﹣4的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
x§k§b 1
22．在开展“经典阅读”活动中，某学校为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题：
频率分布表
阅读时间
（小时）
频数
（人）
频率
1≤x＜2
18
0.12
2≤x＜3
a
m
3≤x＜4
45
0.3
4≤x＜5
36
n
5≤x＜6
21
0.14
合计
b
1
（1）填空：a=　 　，b=　 　，m=　 　，n=　 　；
（2）将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）；
（3）若该校由3000名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数．

23．某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．
（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
24．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．

25．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．
（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．

26．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．

（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．
①写出BP，BD的长；
②求证：四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．
　

2017年广西贵港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．7的相反数是（　　）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
【考点】14：相反数．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：7的相反数是﹣7，
故选：B．
　
2．数据3，2，4，2，5，3，2的中位数和众数分别是（　　）
A．2，3 B．4，2 C．3，2 D．2，2
【考点】W5：众数；W4：中位数．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列：2，2，2，3，3，4，5，
最中间的数是3，
则这组数据的中位数是3；
2出现了3次，出现的次数最多，则众数是2．
故选：C．
　
3．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选：B．
　
4．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含分母，故C不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：A．
　
5．下列运算正确的是（　　）
A．3a2+a=3a3 B．2a3•（﹣a2）=2a5 C．4a6+2a2=2a3 D．（﹣3a）2﹣a2=8a2
【考点】49：单项式乘单项式；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】运用合并同类项，单项式乘以单项式，幂的乘方等运算法则运算即可．
【解答】解：A.3a2与a不是同类项，不能合并，所以A错误；
B.2a3•（﹣a2）=2×（﹣1）a5=﹣2a5，所以B错误；
C.4a6与2a2不是同类项，不能合并，所以C错误；
D．（﹣3a）2﹣a2=9a2﹣a2=8a2，所以D正确，
故选D．
　
6．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】D1：点的坐标．
【分析】分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解．
【解答】解：①m﹣3＞0，即m＞3时，﹣2m＜﹣6，
4﹣2m＜﹣2，
所以，点P（m﹣3，4﹣2m）在第四象限，不可能在第一象限；
②m﹣3＜0，即m＜3时，﹣2m＞﹣6，
4﹣2m＞﹣2，
点P（m﹣3，4﹣2m）可以在第二或三象限，
综上所述，点P不可能在第一象限．
故选A．
　
7．下列命题中假命题是（　　）
A．正六边形的外角和等于360°
B．位似图形必定相似
C．样本方差越大，数据波动越小
D．方程x2+x+1=0无实数根
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行分析即可．
【解答】解：A、正六边形的外角和等于360°，是真命题；
B、位似图形必定相似，是真命题；
C、样本方差越大，数据波动越小，是假命题；
D、方程x2+x+1=0无实数根，是真命题；
故选：C．
　
8．从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【考点】X6：列表法与树状图法；K6：三角形三边关系．
【分析】列举出所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4种，
其中能构成三角形的情况有：3，5，7；5，7，10，共2种，
则P（能构成三角形）==，
故选B
　
9．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（　　）

A．45° B．60° C．75° D．85°
【考点】M5：圆周角定理；M4：圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断．
【解答】解：∵B是的中点，
∴∠AOB=2∠BDC=80°，
又∵M是OD上一点，
∴∠AMB≤∠AOB=80°．
则不符合条件的只有85°．
故选D．

　
10．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）

A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=2（x﹣1）2+1 D．y=2（x+1）2+1
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】根据平移规律，可得答案．
【解答】解：由图象，得
y=2x2﹣2，
由平移规律，得
y=2（x﹣1）2+1，
故选：C．
　
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】如图连接PC．思想求出PC=2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．
【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，
∴A′P=PB′，
∴PC=A′B′=2，
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选B．

　
12．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2；⑤若AB=2，则S△OMN的最小值是，其中正确结论的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．
【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，
∴∠BCN+∠DCN=90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，
∴∠BCN=∠CDM，
又∵∠CBN=∠DCM=90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；

根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，
又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM=ON，∠COM=∠BON，
∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，
又∵DO=CO，
∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；

∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，
∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴△OMN∽△OAD，故③正确；

∵AB=BC，CM=BN，
∴BM=AN，
又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，
∴AN2+CM2=MN2，故④正确；

∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN=x=CM，则BM=2﹣x，
∴△MNB的面积=x（2﹣x）=﹣x2+x，
∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，
此时S△OMN的最小值是1﹣=，故⑤正确；
综上所述，正确结论的个数是5个，
故选：D．

　
二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
13．计算：﹣3﹣5=　﹣8　．
【考点】1A：有理数的减法．
【分析】根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：﹣3﹣5=﹣8．
故答案为：﹣8．
　
14．中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为　3.7×105　．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值，由于370 000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．
【解答】解：370 000=3.7×105，
故答案为：3.7×105．
　
15．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE：∠EFB=3：4，∠ABF=40°，那么∠BEF的度数为　60°　．

【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质，得到∠CFB的度数，再根据∠CFE：∠EFB=3：4以及平行线的性质，即可得出∠BEF的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ABF=40°，
∴∠CFB=180°﹣∠B=140°，
又∵∠CFE：∠EFB=3：4，
∴∠CFE=∠CFB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠CFE=60°，
故答案为：60°．
　
16．如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为　　．

【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】连接PP′，如图，先利用旋转的性质得CP=CP′=6，∠PCP′=60°，则可判定△CPP′为等边三角形得到PP′=PC=6，再证明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10，接着利用勾股定理的逆定理证明△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，然后根据正弦的定义求解．
【解答】解：连接PP′，如图，
∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，
∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，
∴△CPP′为等边三角形，
∴PP′=PC=6，
∵△ABC为等边三角形，
∴CB=CA，∠ACB=60°，
∴∠PCB=∠P′CA，
在△PCB和△P′CA中
，
∴△PCB≌△P′CA，
∴PB=P′A=10，
∵62+82=102，
∴PP′2+AP2=P′A2，
∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，
∴sin∠PAP′===．
故答案为．

　
17．如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作交OB于点E，若OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为　π+2　．（结果保留π）

【考点】MO：扇形面积的计算；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】连接OD、AD，根据点C为OA的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO为等边三角形，求出扇形AOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白ADC即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接O、AD，
∵点C为OA的中点，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△ADO为等边三角形，
∴S扇形AOD==π，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD）
=﹣﹣（π﹣×2×2）
=π﹣π﹣π+2
=π+2．
故答案为π+2．
　
18．如图，过C（2，1）作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y=﹣x+6上，若双曲线y=（x＞0）与△ABC总有公共点，则k的取值范围是　2≤k≤9　．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】把C的坐标代入求出k≥2，解两函数组成的方程组，根据根的判别式求出k≤9，即可得出答案．
【解答】解：当反比例函数的图象过C点时，把C的坐标代入得：k=2×1=2；
把y=﹣x+6代入y=得：﹣x+6=，
x2﹣6x+k=0，
△=（﹣6）2﹣4k=36﹣4k，
∵反比例函数y=的图象与△ABC有公共点，
∴36﹣4k≥0，
k≤9，
即k的范围是2≤k≤9，
故答案为：2≤k≤9．
　
三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（1）计算：|﹣3|+（+π）0﹣（﹣）﹣2﹣2cos60°；
（2）先化简，在求值：（﹣）+，其中a=﹣2+．
【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数以及负整数指数幂的意义即可求出答案；
（2）先化简原式，然后将a的值代入即可求出答案．
【解答】解：（1）原式=3+1﹣（﹣2）2﹣2×=4﹣4﹣1=﹣1
（2）当a=﹣2+
原式=+
=
=
=7+5
　
20．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
已知线段a和∠AOB，点M在OB上（如图所示）．
（1）在OA边上作点P，使OP=2a；
（2）作∠AOB的平分线；
（3）过点M作OB的垂线．

【考点】N3：作图—复杂作图．
【分析】（1）在OA上截取OP=2a即可求出点P的位置；
（2）根据角平分线的作法即可作出∠AOB的平分线；
（3）以M为圆心，作一圆与射线OB交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于D点，连接MD即为OB的垂线；
【解答】解：（1）点P为所求作；
（2）OC为所求作；
（3）MD为所求作；

　
21．如图，一次函数y=2x﹣4的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把x=3代入一次函数解析式求得A的坐标，利用待定系数法求得反比例函数解析式；
（2）解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得B的坐标．
【解答】解：（1）把x=3代入y=2x﹣4得y=6﹣4=2，
则A的坐标是（3，2）．
把（3，2）代入y=得k=6，
则反比例函数的解析式是y=；
（2）根据题意得2x﹣4=，
解得x=3或﹣1，
把x=﹣1代入y=2x﹣4得y=﹣6，则B的坐标是（﹣1，﹣6）．
　
22．在开展“经典阅读”活动中，某学校为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题：
频率分布表
阅读时间
（小时）
频数
（人）
频率
1≤x＜2
18
0.12
2≤x＜3
a
m
3≤x＜4
45
0.3
4≤x＜5
36
n
5≤x＜6
21
0.14
合计
b
1
（1）填空：a=　30　，b=　150　，m=　0.2　，n=　0.24　；
（2）将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）；
（3）若该校由3000名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数．

【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．
【分析】（1）根据阅读时间为1≤x＜2的人数及所占百分比可得，求出总人数b=150，再根据频率、频数、总人数的关系即可求出m、n、a；
（2）根据数据将频数分布直方图补充完整即可；
（3）由总人数乘以时间不足三小时的人数的频率即可．
【解答】解：（1）b=18÷0.12=150（人），
∴n=36÷150=0.24，
∴m=1﹣0.12﹣0.3﹣0.24﹣0.14=0.2，
∴a=0.2×150=30；
故答案为：30，150，0.2，0.24；
（2）如图所示：
（3）3000×（0.12+0.2）=960（人）；
即估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数为960人．

　
23．某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．
（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；8A：一元一次方程的应用．
【分析】（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，利用甲队在初赛阶段的积分为18分，进而得出等式求出答案；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据积分超过15分才能获得参赛资格，进而得出答案．
【解答】解：（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据题意可得：
2x+10﹣x=18，
解得：x=8，
则10﹣x=2，
答：甲队胜了8场，则负了2场；

（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意可得：
2a+（10﹣a）≥15，
解得：a≥5，
答：乙队在初赛阶段至少要胜5场．
　
24．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．

【考点】ME：切线的判定与性质；L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；
（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根据勾股定理得到AD==2，求得AE=，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图，
∵PA=PD，
∴弧AP=弧DP，
∴OP⊥AD，AE=DE，
∴∠1+∠OPA=90°，
∵OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA，
∴∠1+∠OAP=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠OAP=90°，
∴OA⊥AB，
∴直线AB与⊙O相切；

（2）连结BD，交AC于点F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴DB与AC互相垂直平分，
∵AC=8，tan∠BAC=，
∴AF=4，tan∠DAC==，
∴DF=2，
∴AD==2，
∴AE=，
在Rt△PAE中，tan∠1==，
∴PE=，
设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，
在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，
∴R2=（R﹣）2+（）2，
∴R=，
即⊙O的半径为．

　
25．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．
（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．

【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；
（2）令y=0可求得A、B的坐标，结合D点坐标可求得△ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，由C、D坐标，利用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出△BCD的面积，可求得k的值；
（3）由B、C、D的坐标，可表示出BC2、BD2和CD2，分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得抛物线的解析式．
【解答】解：
（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，
∴C（0，3a），
∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，
∴D（2，﹣a）；
（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3﹣1=2，
∴S△ABD=×2×a=a，
如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，

把C、D的坐标代入可得，解得，
∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，
∴E（，0），
∴BE=3﹣=
∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，
∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，
∴k=3；
（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），
∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，
∵∠BCD＜∠BCO＜90°，
∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，
①当∠CBD=90°时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；
②当∠CDB=90°时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x2﹣2x+；
综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+．
　
26．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．

（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．
①写出BP，BD的长；
②求证：四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；
②想办法证明DP∥BC，DP=BC即可；
（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x=，推出DN==，由△BDN∽△BAM，可得=，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得=，由此求出AE=，可得EC=AC﹣AE=4﹣=由此即可解决问题．
【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，
∴AB==2，
∵AD=CD=2，
∴BD==2，
由翻折可知，BP=BA=2．

②如图1中，

∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∴∠ADB=∠BDP=135°，
∴∠PDC=135°﹣45°=90°，
∴∠BCD=∠PDC=90°，
∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，
∴四边形BCPD是平行四边形．

（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．

设BD=AD=x，则CD=4﹣x，
在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，
∴x2=（4﹣x）2+22，
∴x=，
∵DB=DA，DN⊥AB，
∴BN=AN=，
在Rt△BDN中，DN==，
由△BDN∽△BAM，可得=，
∴=，
∴AM=2，
∴AP=2AM=4，
由△ADM∽△APE，可得=，
∴=，
∴AE=，
∴EC=AC﹣AE=4﹣=，
易证四边形PECH是矩形，
∴PH=EC=．
　

2017年7月4日