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2023届四川省内江市高三第三次模拟考试数学(文)试题含解析
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这是一份2023届四川省内江市高三第三次模拟考试数学(文)试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023届四川省内江市高中高三第三次模拟考试题数学(文)试题 一、单选题1.已知复数,其中i是虚数单位,是z的共轭复数,则( )A. B. C. D.【答案】B【分析】设,,根据,解出即可.【详解】设,,,解得,所以,故选:B2.已知全集,,,( )A. B. C. D.【答案】A【分析】化简集合M,根据集合的并集、补集运算即可得解.【详解】,,,,故选:A3.空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字,空气质量指数划分为和六档,分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级,如图是某市4月1日至14.日连续14天的空气质量指数趋势图,则下列说法中正确的是( )A.从2日到5日空气质量越来越差B.这14天中空气质量指数的中位数是214C.连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日D.这14天中空气质量指数的平均数约为189【答案】D【分析】观察数据变化可判断A项;将14天的空气质量指数由小到大依次排列,即可得出中位数,判断B项;根据折线图及方差的概念可判断C项;根据数据计算平均数可判断D项.【详解】对于A选项:从2日到5日空气质量指数逐渐降低,空气质量越来越好,A选项错误;对于B选项:由图象可知,14天的空气质量指数由小到大依次为:80,83,138,155,157,165,179,214,214,221,243,260,263,275,所以中位数为,B选项错误;对于C选项:方差表示数据波动情况,根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日,所以方差最小的是9日到11日,C选项错误;对于D选项:这14天中空气质量指数的平均数约为 ,D选项正确;故选:D.4.我国古代数学名著《九章算术》中几何模型“阳马”意指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.某“阳马”的三视图如图所示,则该四棱锥中棱长的最大值为( )A. B. C. D.2【答案】C【分析】先由三视图得到几何体的直观图,再分别求得棱长比较下结论.【详解】解:由三视图得该几何体如图所示:由图知:,,故选:C5.函数的部分图像大致为( )A. B.C. D.【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性排除选项C、D;再由,即可求解.【详解】函数的定义域为,且,所以函数是奇函数,其函数图像关于对称,所以选项C、D错误;又,所以选项B错误;故选:A.6.已知函数和有相同的极大值,则( )A.2 B.0 C.-3 D.-1【答案】B【分析】利用导数法求得和的极大值,然后根据与有相同的极大值建立方程求解即可.【详解】,则,令,解得,令,解得,所以在上单调递增,在上单调递减,所以在处取得极大值,又,则,令,解得,令,解得,所以在上单调递增,在上单调递减,所以在处取得极大值,依据题意,和有相同的极大值,故,所以,所以.故选:B.7.一个人连续射击次,则下列各事件关系中,说法正确的是( )A.事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B.事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件C.事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件D.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件【答案】D【分析】根据对立事件和互斥事件的概念,分析各个选项的内容即可得到答案.【详解】一个人连续射击次,其可能结果为击中次,击中次,击中次,其中“至少一次击中”包括击中一次和击中两次,事件“两次均击中”包含于事件“至少一次击中”,故A错误;事件“第一次击中”包含第一次击中且第二次没有击中,或第一、二次都击中,事件“第二次击中” 包含第二次击中且第一次没有击中,或第一、二次都击中,故B错误;事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”可以同时发生,故C错误;事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件,故D正确;故选:D8.位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图,已知郑州市冬至正午太阳高度角(即)约为32.5°,夏至正午太阳高度角(即)约为79.5°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即的长)为14米,则表高(即的长)约为( )(其中,)A.9.27米 B.9.33米 C.9.45米 D.9.51米【答案】C【分析】根据题意,,进而代入数据求解即可.【详解】解:如图,,设表高,则由题知,,所以,因为,,,所以,解得,所以,表高(即的长)约为米.故选:C9.已知圆锥的母线长为2,侧面积为,则过顶点的截面面积的最大值等于( )A. B. C.3 D.2【答案】D【分析】结合圆锥的母线长和侧面积可求得底面圆的周长、半径,再得到轴截面的顶角,进而得到截面三角形顶角的取值范围,故当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大,即得解【详解】由圆锥的母线长为2,侧面积为,假设底面圆周长为,因此,故底面圆周长为,底面圆的半径为.由于轴截面为腰长为2,底边长为底面圆直径的等腰三角形,因此轴截面的顶角是.故当截面为顶角是的等腰三角形时面积最大,此时.故选:D【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和截面面积问题,考查了学生综合分析,空间想象,逻辑推理,数学运算能力,为中档题10.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时,我们得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积,已知椭圆的面积为,两个焦点分别为,点P为椭圆C的上顶点.直线与椭圆C交于A,B两点,若的斜率之积为,则椭圆C的长轴长为( )A.3 B.6 C. D.【答案】B【分析】由题意得到方程组①和②,即可解出a、b,求出长轴长.【详解】椭圆的面积,即①.因为点P为椭圆C的上顶点,所以.因为直线与椭圆C交于A,B两点,不妨设,则且,所以.因为的斜率之积为,所以,把代入整理化简得:②①②联立解得:.所以椭圆C的长轴长为2a=6.故选:B11.若函数()在区间上是单调函数,则的取值可以是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】令,由计算得出,根据题意得出或,可得出关于的不等式组,可解得实数的取值范围,由此可得出结果.【详解】令,,则,因为函数在上单调,所以,且或,即或解得或,因此,的取值可以是.故选:B12.若关于x的不等式有且只有一个整数解,则正实数a的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】A【分析】原不等式可化简为,设,,作出函数的图象,由图象可知函数的图象应介于直线与直线之间(可以为直线,进而求得答案.【详解】原不等式可化简为,设,,由得,,令可得,时,,时,,易知函数在单调递减,在单调递增,且,作出的图象如下图所示,而函数恒过点,要使关于的不等式有且只有一个整数解,则函数的图象应介于直线与直线之间(可以为直线),又,,∴,,∴,∴.故选:A. 二、填空题13.已知,且,则__________.【答案】【分析】利用垂直关系的向量表示,向量数量积的运算律求解作答.【详解】因为,,因此,即,即,所以.故答案为:14.若满足约束条件则的最大值为_________.【答案】1【分析】根据约束条件作出可行域,平移目标,求出的最大值,从而可得z的最大值.【详解】作出可行域,如图,设,由图可知,在点A处取到最大值,联立,解得,所以的最大值为3,由于为增函数,故的最大值为1.【点睛】本题主要考查线性约束条件下,对数式的最值问题,先求真数部分的最值结合对数函数的单调性可求.15.设,分别是双曲线)的左、右焦点,O为坐标原点,过左焦点作直线与圆切于点E,与双曲线右支交于点P,且满足,,则双曲线的方程为___________.【答案】【分析】作图,根据图中的几何关系以及条件求出b即可.【详解】依题意作下图:由条件 知:E是 的中点,并且 ,所以 是等腰三角形, ,又 , 的外接圆是以O为圆心, 为半径的圆, ,由 知 ,在 中, , , ,根据双曲线的定义有: ,即 ,双曲线的方程为: ;故答案为:.16.甲、乙两人下围棋,若甲执黑子先下,则甲胜的概率为;若乙执黑子先下,则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局,第二局由上一局负者先下,若甲、乙比赛两局,第一局甲、乙执黑子先下是等可能的,则甲胜第一局,乙胜第二局的概率为___________.【答案】【分析】分析出每局输赢的情况,结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】第一局甲胜,第二局乙胜:若第一局甲执黑子先下,则甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜的概率为,若第一局乙执黑子先下,则甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜的概率为,所以,第一局甲胜,第二局乙胜的概率为;故答案为:. 三、解答题17.已知数列的前项和为,且满足,.(1)求数列的通项公式.(2)记,求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】(1)方法一:由之间关系可证得数列为等比数列,由等比数列通项公式求得;方法二:由已知关系式可证得数列为等比数列,由此可推导求得,利用之间关系可求得;(2)由(1)可得,采用裂项相消法可求得结果.【详解】(1)方法一:当时,由得:,即,又,;当时,,又,满足,即当时,成立,数列是以为首项,为公比的等比数列,.方法二:由得:,又,数列是以为首项,为公比的等比数列,,即,当时,,又满足,.(2)由(1)得:,.18.某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在8个卖场的销售量(单位;台),并根据这8个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.(1)当,时,记甲型号电视机的“星级卖场”数量为,乙型号电视机的“星级卖场”数量为n,比较m,n的大小关系;(2)在这8个卖场中,随机选取2个卖场,求这两个卖场都是甲型号电视机的“星级卖场”的概率;(3)记乙型号电视机销售量的方差为,根据茎叶图推断a与b分别取何值时,达到最小值.(只需写出结论)【答案】(1)(2)(3) 【分析】(1)计算甲乙的平均数比较大小即可;(2)分析数据,列出X的分布列并求出数学期望;(3)根据方差的性质,时,离散程度越小,达到最小值.【详解】(1)根据茎叶图可知甲组数据的平均数为,乙组数据的平均数为,甲型号电视机的“星级卖场”数量为,乙型号电视机的“星级卖场”数量为,所以;(2)由(1)知,甲型号电视机的“星级卖场”数量为4,设选取的两个卖场都是甲型电视机的“星级卖场”设为事件M,设甲型号电视机的“星级卖场”分别为a,b,c,d,甲型号电视机的非“星级卖场”分别为A,B,C,D,从这8个卖场中,随机选取2个卖场,有AB,AC,AD,Aa,Ab,Ac,Ad,BC,BD,Ba,Bb,Bc,Bd,CD,Ca,Cb,Cc,Cd,Da,Db,Dc,Dd,ab,ac,ad,bc,bd,cd,共计28个其中满足条件为ab,ac,ad,bc,bd,cd,计6个 所以,(3)方差代表和中心偏离的程度, 设平均数为,,值越小和中心偏离的程度越小,方差越小,所以当时,达到最小值.19.在中,,,过点A作,交线段BC于点D(如图1),沿AD将折起,使(如图2),点E、M分别为棱BC、AC的中点.(1)求证:;(2)在图2中,当三棱锥A-BCD的体积取最大值时,求三棱锥A-MDE的体积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)由,证得平面ABD,从而,又,即可得证;(2)设,可证平面BCD,可得,利用导数法求最值,可知,又平面ACD,利用等体积法,由求得答案.【详解】(1),,,AD、平面ABD,平面ABD,平面ABD,又分别为AC、BC的中点,,.(2)图1所示的中,设,则,,,为等腰直角三角形,.折起后,,且,、平面BCD,平面BCD,又,,,,令,,,当时,,单调递增;当时,,单调递减,时,取最大值,即三棱锥A-BCD的体积最大,平面BCD,平面BCD,,又,,、平面ACD,平面ACD,因为E为线段BC的中点,所以E到平面ACD的距离,,又,故三棱锥A-MDE的体积为.20.若存在实数k,b,使得函数和对其定义域上的任意实数x同时满足:且,则称直线:为函数和的“隔离直线”.已知,(其中e为自然对数的底数).试问:(1)函数和的图象是否存在公共点,若存在,求出交点坐标,若不存在,说明理由;(2)函数和是否存在“隔离直线”?若存在,求出此“隔离直线”的方程;若不存在,请说明理由.【答案】(1)存在,交点坐标为;(2)存在,【分析】(1)构造函数,求导得到函数的单调区间,得到函数在处取得最小值为0,得到答案.(2)设直线,根据得到,再证明恒成立,令,求导得到单调区间,计算最值得到证明.【详解】(1)∵,∴,令,得,当时,,时,,故当时,取到最小值,最小值是0,从而函数和的图象在处有公共点,交点坐标为.(2)由(1)可知,函数和的图象在处有公共点,因此存在和的隔离直线,那么该直线过这个公共点,设隔离直线的斜率为k,则隔离直线方程为,即,由,可得在上恒成立,则,只有,此时直线方程为:,下面证明恒成立,令,,当时,,当时,函数单调递减;时,,函数单调递增,则当时,取到最小值是0,所以,则当时恒成立.∴函数和存在唯一的隔离直线.【点睛】本题考查了函数图像的交点问题,求新定义“隔离直线”方程,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21.已知椭圆焦距为2,一条连接椭圆的两个顶点的直线斜率为.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点,试问轴上是否存在点,使得直线斜率之积恒为定值?若存在,求出该定值及点的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1);(2)存在,定值为,定点;.定值为,定点;.【分析】(1)由题意可得解得,即可得答案;(2)由(1)知椭圆右焦点坐标为,设直线,将直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理可得,从而求得定点的坐标;【详解】解:(1)由题意易知:,解得:椭圆方程为:(2)由(1)知椭圆右焦点坐标为,设直线,由得;显然,且此时由上式知:无论取何值,当,即时,是一个与无关的定值,当时,;当时,综上,存在定点,当定点为时,直线斜率之积,当定点为时,直线斜率之积.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系中的定点、定值问题,求解时注意分类讨论思想的应用.22.在平面直角坐标系中,将曲线向左平移2个单位,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的参数方程;(2)已知点在第一象限,四边形是曲线的内接矩形,求内接矩形周长的最大值,并求周长最大时点的坐标.【答案】(1)(2),【分析】(1)先将曲线化为普通方程,再根据坐标变换规律,即可求得曲线的普通方程和参数方程;(2)根据题意,设点,则,利用辅助角公式化简周长的解析式,即可求出最大值及其对应的点的坐标.【详解】解:(1)由得将代入,整理得曲线的普通方程为, 设曲线上的点为,变换后的点为由题可知坐标变换为,即代入曲线的普通方程,整理得曲线的普通方程为 ,曲线的参数方程为(为参数). (2)设四边形的周长为,设点, ,且,, , . 且当时,取最大值,此时,所以,,,此时.【点睛】本题考查坐标变换及参数方程、普通方程和极坐标方程的转换方法,考查运用动点参数法求解问题,考查运算求解能力和数形结合思想,考查函数与方程思想.23.已知函数().(1)若,求证:;(2)若对于任意,都有,求实数a的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2). 【分析】(1)法一:由绝对值的几何意义及二次函数的性质即可证结论;法二:讨论、分别求的范围,即可证结论.(2)将问题化为在上恒成立,即可求参数a的范围.【详解】(1)法一:,而,所以.法二:当时,, 当时,,综上,.(2)当时,,由,得, 设,,对任意有恒成立,所以, 因为在上,,所以.
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