2023届江西省上饶市高三二模数学（文）试题含解析

2023届江西省上饶市高三二模数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.

【详解】由，即，解得，

所以，

又，所以.

故选：C

2．若，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的模长公式可得，由复数的共轭概念以及复数的除法运算即可求解.

【详解】由得,所以，

故选：D

3．为了支持民营企业发展壮大，帮助民营企业解决发展中的困难，某市政府采用分层抽样调研走访各层次的民营企业.该市的小型企业、中型企业、大型企业分别有900家、90家、10家.若大型企业的抽样家数是2，则中型企业的抽样家数应该是（    ）

A．180 B．90 C．18 D．9

【答案】C

【分析】根据分层抽样的定义即可得解.

【详解】该市中型企业和大型企业的家数比为，

由分层抽样的意义可得中型企业的抽样家数应该是.

故选：C.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由的正切值，求出正弦及余弦值，再结合两角和的余弦公式展开求解.

【详解】已知，则，.

则.

故选：B.

5．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.

【解析】几何概型

【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．

6．椭圆的离心率为，直线与椭圆相切，椭圆的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据直线与椭圆相切，求出，再根据离心率求出，即可得解.

【详解】因为直线与椭圆相切，所以，

由解得，

所以椭圆的方程为.

故选：A.

7．《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为1丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有（    ）

A．立方尺 B．立方尺

C．立方尺 D．立方尺

【答案】D

【分析】利用圆台体积公式求体积即可.

【详解】由已知，下底半径为5尺，上底半径为尺，若分别为上下底面面积，

所以圆台的体积为：立方尺.

故选：D

8．在坐标平面中，不等式组所表示的平面区域的面积为（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】A

【分析】作出不等式组所表示得平面区域，求出交点坐标，在求出图形中可行域得面积即可.

【详解】由，

得当时，；当时，，

如图，作出不等式所表示得平面区域，为，

联立，解得，

联立，解得，

即，

则，

所以，所以，

则，

即不等式组所表示的平面区域的面积为.

故选：A.

9．已知执行如图所示的程序框图，输出的值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】输入，并比较三个数的大小关系，输出最小值.

【详解】首次输入，

因为，所以成立，

则，

因为，所以，

则成立，则，输出结果.

故选：B.

10．函数的部分图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后利用特殊值及排除法判断即可.

【详解】因为，则，解得且，

所以函数的定义域为，

令，则，即为偶函数，

又为奇函数，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除D，

又，故排除B、C；

故选：A

11．在中，，则的最小值（    ）

A．-4 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理将边化角，再转化为关于角的三角函数，结合余弦函数的性质计算可得.

【详解】在中，，

所以，，

所以

，

因为，所以，

所以，，

则的最小值为.

故选：A

12．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，为的内切圆上一点，则取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据内切圆的性质以及双曲线的定义可得,进而根据斜率关系以及二倍角公式可得，进而得内切圆的半径的变化范围，由数量积的几何意义即可求解.

【详解】设的内切圆与相切于,圆心为,

由切线长的性质以及双曲线定义可得，

又，因此，所以,

设角,且为锐角，由于，

所以，

为内切圆的半径，不妨设，

故在中，，

,

当共线时，此时，

当方向相同时，，当方向相反时，，

因此,

故选：C

【点睛】解析几何简化运算的常见方法：

（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；

（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；

（3）巧用定义，简化运算.

二、填空题

13．已知向量，若，则________.

【答案】10

【分析】根据得到，然后解方程求即可.

【详解】，因为，所以，解得.

故答案为：10.

14．曲线在点(1,3)处的切线方程为______.

【答案】

【分析】求出，从而求得切线斜率，由直线方程的点斜式即可求得切线方程．

【详解】由题可得：，所以切线斜率，

所求切线方程为：，整理得：

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及直线方程的点斜式，考查计算能力，属于基础题．

15．在正方体中，与交于点，则直线与直线的夹角为________.

【答案】

【分析】通过平移，转化所求线线角为，再根据等边三角形的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，连接,又因为

所以直线与直线的夹角即为,又为等边三角形，O为AC中点，

所以平分角，所以.

故答案为：.

16．关于函数，有如下四个命题：

①函数的图像关于轴对称；

②函数的图像关于直线对称；

③函数的最小正周期为；

④函数的最小值为2．其中所有真命题的序号是_________________．

【答案】①②④

【分析】对于①：由奇偶函数的定义，可判断出为偶函数，图像关于轴对称；对于②：由即可判断出函数的图像关于直线对称；对于③：由得出函数的最小正周期为；对于④：设，则，由基本不等式即可求出最小值．

【详解】对于①：定义域为，

因为，所以是上的偶函数，

所以图像关于轴对称，故①正确；

对于②：对于任意的，

，

所以函数的图像关于直线对称，故②正确；

对于③：因为，

所以函数的最小正周期为，故③错误；

对于④：设，

则，

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以函数的最小值为2，故④正确，

故答案为：①②④．

三、解答题

17．某校100名学生期末考试化学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：.

(1)求图中的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分；

(3)若这100名学生化学成绩某些分数段的人数（）与物理成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求物理成绩在之外的人数.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程，解得即可；

（2）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得；

（3）根据所给数据求出物理成绩在之间的人数，即可求出之外的人数.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得；

（2）由，

根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分为分.

（3）由已知可得，物理成绩在之间的人数为，

于是物理成绩在之外的人数为.

18．设数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件当时,得，再与原式作差得，注意讨论时情况；

（2）利用错位相减法求和.

【详解】（1）已知，①

当时，；

当时，，②

①-②得，

所以，当时，相符，

所以.

（2），③

，④

③-④得，

，

所以.

19．如图，已知三棱柱的底面是正三角形，，是的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)若，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据三角形全等得到，即可得到，再由，得到平面，从而得证；

（2）作的中点，连接，即可得到为平行四边形，由面面垂直的判定定理得到平面平面，过点作交于点，平面，再求出的长度即可.

【详解】（1）因为，，，

所以，所以，又是的中点，

所以，

因为为等边三角形，是的中点，所以，

又，平面，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面.

（2）作的中点，连接，

因为与分别为、的中点，四边形为平行四边形，

所以且，又且，

所以且，

所以四边形为平行四边形，

又由（1）可知平面，平面，

所以平面平面，

过点作交于点，

平面平面，平面，

所以平面，

在中，，

所以，

又，，所以，

在中，，，

所以，所以，

所以，故点到平面的距离为.

20．已知函数.

(1)证明：；

(2)当时，证明不等式，在上恒成立.

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）求导，根据导函数分析的单调性，即可得到，即可证明；

（2）令，求导，根据放缩的思路得到，然后利用在上的单调性即可证明.

【详解】（1）证明：，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

，

故，当且仅当时取等号，

∴.

（2）令，则，

由（1）可得，即，

又，所以，

令，则，

当时，，所以在上单调递增，

所以当时，，则，在上单调递增，

当时，，即，

所以当时，不等式，在上恒成立.

【点睛】导数中常见的放缩形式：

（1）；

（2）；

（3）.

21．已知抛物线过点.

(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；

(2)如图，点是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于.求面积的最小值.

【答案】(1)，则准线方程为

(2)

【分析】（1）由点在抛物线上，代入求得，即得抛物线方程；

（2）由圆圆心为，半径，根据抛物线对称性，设得，分别在x轴上、下方，则，分别令、求得关于的表达式，求出周长，利用基本不等式求最小值，最后由求面积最小值.

【详解】（1）由题设，可得，故抛物线的方程为，则准线方程为；

（2）不妨设，又，则，故，圆圆心为，半径，

令分别在x轴上、下方，则，

若，则直线的倾斜角为，且，

又，则，整理得：，

则，即，而，得，

若，则直线的倾斜角为，且，

又，则，整理得：，

则，即，而，得，

又过与圆的切线长为，

综上，周长为

，仅当，即时等号成立，

所以，故时面积的最小值，根据对称性也可取到最小面积.

综上，面积的最小值.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求和的直角坐标方程；

(2)求上的点到距离的最小值.

【答案】(1)曲线：，，直线：.

(2)

【分析】（1）消去参数得到曲线的普通方程，需注意的取值范围，再根据，将极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设曲线的参数方程为，（为参数，），表示出点到直线的距离，再根据余弦函数的性质求出距离最小值.

【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），

因为，且，

所以曲线的普通方程为，，

因为直线的极坐标方程为，由，

可得直线的直角坐标方程为.

（2）由（1）可设曲线的参数方程为，（为参数，），

则上的点到直线的距离，

当，即时取最小值，

所以上的点到直线的距离的最小值为.

23．已知函数.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分，和三种情况讨论取绝对值符号，即可得解；

（2）等价于，利用绝对值三角不等式求出的最小值即可得解.

【详解】（1）当时，，

由，

得或或，解得，

所以不等式的解集为；

（2）等价于，

由，得，

因为，

当且仅当时，取等号，

所以，解得或，

所以，的取值范围为.