2023届新高考复习系列模拟试卷（五）（新高考I卷）数学试题含解析

这是一份2023届新高考复习系列模拟试卷（五）（新高考I卷）数学试题含解析，共31页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


数 学 试 卷
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））若集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解出不等式确定集合，再求交集即可.
【详解】∵集合，，∴，
故选：B.
2．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））已知，是复数的共轭复数，则复数（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算即可求解.
【详解】因为，是复数的共轭复数，所以，
则复数，∴复数，
故选：D.
3．（2022·江苏南通·高三阶段练习）一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的体积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆锥底面圆周长等于侧面展开图的弧长，求得底面圆半径，根据勾股定理求出圆锥的高，结合圆锥体积公式计算即可求解.
【详解】母线长为1，设底面圆半径为，
则，∴，∴，
故圆锥的体积为，
故选：A.
4．（2021·陕西渭南·高三阶段练习（文））函数的一个单调递减区间为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由求出函数的单调减区间，然后逐个分析判断.
【详解】由，得
，
所以的单调减区间为，
所以函数的减区间有，……，
对于A，函数在上有增有减，所以A错误，
对于B，函数在上有增有减，所以B错误，
对于C，函数在上有增有减，所以C错误，
对于D，函数在上递减，所以D正确，
故选：D.
5．（2022·广东·肇庆市第一中学高三阶段练习）已知分别是椭圆的两个焦点，点在上，若的最大值为2，则（    ）
A． B．2 C．4 D．16
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可求得最大时对应的值.
【详解】根据椭圆的定义得，则，当且仅当时，等号成立.
故选:B
6．（2022·四川·广安二中模拟预测（文））已知，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式可化简整理求得，代入所求式子即可求得结果.
【详解】由得：，
整理可得：；
，，
，则，.
故选：C.
7．（2022·福建·厦门外国语学校高三阶段练习）已知是定义在上的函数，且函数的图象关于直线对称，当时，，则曲线在处的切线方程是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题目所给的对称性得到，进一步得到，再求出时的解析式，再求导代入即可.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以，即.
用代换上式中的，即可得到，所以关于直线对称.
由得，若，则，
当时，，，
，，
所以曲线在处的切线方程是:
,即.
故选：C.
【点睛】函数的对称性与分段函数的解析式求解结合的问题逻辑推理要求高，平时对于函数关于直线的对称问题要注重推理与积累.
8．（2022·陕西省榆林中学高三阶段练习（理））近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派甲、乙、丙、丁4名医务工作者参加登记、接种、留观3项工作，每项工作至少1人参加，若表示事件：“甲参加登记这项工作”；事件表示“乙参加登记这项工作”；事件表示“乙参加接种这项工作”，则下列结论正确的是（    ）
A．事件与相互独立 B．事件与相互独立
C． D．
【答案】D
【分析】计算出，，验证得到，，故AB错误；
利用条件概率公式求出，得到C错误，D正确.
【详解】先将甲、乙、丙、丁4名医务工作者分为3组，1组2人，2组1人，则有种选择，
再将分好的3组人员与参加登记、接种、留观3项工作全排列，故共有种基本事件，
若甲与另外一人，共同参加登记这项工作，则只需将乙、丙、丁与登记、接种、留观3项工作全排列即可，此时由种选择，
若甲单独参加登记这项工作，则先将剩余的乙、丙、丁分为两组，再和接种、留观2项工作全排列，有种选择，
故事件包含的基本事件数为：，则，
同理，
事件包含的基本事件数为：，则，
事件包含两种情况，一是甲单独参加登记这项工作，乙单独参加接种这项工作，则剩余的两人参加留观工作，此时由种选择，
二是甲乙两人，有1人不是单独参加工作，此时有种选择，
故事件包含的基本事件数为：，则
∵，故A错误；
∵，故B错误；
∵，故C错误；
∵，故D正确．
故选：D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·江苏常州·高三阶段练习）某小区通过开设公益讲座以提高居民的环境保护意识，为了解讲座的效果，随机抽取10位小区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份环境保护的知识问卷，这10位小区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则以下结论正确的是（    ）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数大于
B．讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前问卷答题的正确率的极差
C．讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后问卷答题的正确率的方差
D．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
【答案】ABC
【分析】根据中位数、极差、方差、平均数等知识确定正确答案.
【详解】讲座前问卷答题的正确率排序为，
，中位数，A正确.
讲座前极差，讲座后极差，B正确.
讲座后，
所以D错误.
讲座前后比较：讲座前极差较大，并且讲座前数据较分散，所以讲座前方差较大，所以C正确.
故选：ABC
10．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，则下列命题正确的是（    ）
A．的最大值为
B．存在，使得
C．若，则
D．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
【答案】ABD
【分析】利用平面向量的坐标运算，计算，结合辅助角公式等三角知识判断正误.
【详解】对于A，，其中，
所以当，最大值为，A正确.
对于B，因为，所以当，且时，，
即使得，时，符合题意，所以B正确.
对于C，若，则，此时，C错误.
对于D，在上的投影向量为，
所以，所以和的夹角为，D正确.
故选：ABD.
11．（2022·重庆八中高三阶段练习）若过点的圆与两坐标轴都相切，且与过点和点的直线相离，设为圆上的动点，则下列说法正确的是（    ）
A．圆心的坐标为或
B．面积的最大值为22
C．当最小时，
D．不存在点使
【答案】BCD
【分析】由题意求出圆心与半径，根据点到直线的距离的最大值为可判断B，当最小时，与圆相切根据勾股定理可求理，假设存在点使，求的外接圆圆的半径即可判断D．
【详解】由题意知圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为，由题意可得，解得或，
当时，圆心到直线：的距离为，
当时，圆心到直线：的距离为，
又圆与：相离， 所以圆心的坐标为，A错误；
因为点到直线的距离的最大值为，
所以，B正确；
当最小时，与圆相切，由对称性或勾股定理可得，C正确；
假设存在点使，则的外接圆圆的半径为，
设圆方程为，则
，解得或
又因为为圆上的动点，当圆心时，，
当圆心时，，所以圆与圆相离，点不存在，D正确，
故选：BCD
12．（2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（    ）
A．当平面时，与可能为
B．当时，的最小值为
C．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
D．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为
【答案】AC
【分析】A选项，建立空间直角坐标系，得到，求出平面的一个法向量，由，求出，再根据列出方程，求出或1，得到A正确；
B选项，先根据，得到点在棱上，将平面与平面沿着展成平面图形，结合余弦定理求出答案；
C选项，先得到为与平面所成角，根据所成角的大小得到，从而得到点的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，求出轨迹长度；
D选项，先确定点在上，作出辅助线得到平行四边形即为正方体过点､P､C的截面，设，求出点到直线的距离，配方后得到其最大值与最小值，从而得到截面的最大值与最小值，得到取值范围.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
则，设平面的一个法向量为，
所以，
令，则，即平面的一个法向量为，
若平面，则，即，
故，故，其中，
令，
解得：或1，
故与可能是，A正确；
B选项，因为，故点在棱上，
如图，将平面与平面沿着展成平面图形，
线段即为的最小值，
利用余弦定理可得：
，
所以，B错误；

C选项，因为⊥平面，连接，则即为与平面所成角，
若与平面所成角为，则，所以，
即点的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，

于是点的轨迹长度为，C正确；
D选项，当时，点在上，过点作交于点，连接，
则，所以平行四边形即为正方体过点､P､C的截面，
设，
所以，则，，
所以点到直线的距离为，
于是当时，，的面积取得最小值，此时截面面积最小为，
当或1时，，的面积取得最大值，此时截面面积最大为，
故截面面积的取值范围为，D错误.

故选：AC
【点睛】立体几何中截面的处理思路：
（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；
（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；
（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；
（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·全国·高三专题练习）若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．
【答案】1
【分析】根据奇函数的定义可求参数的值.
【详解】当时，，
当时，，故，
而，故即，
故答案为：1.
14．（2022·江苏·高三阶段练习）设抛物线和的焦点分别为，点在上，轴，线段交于点，且为的中点，则的值为______.
【答案】##
【分析】根据题意求出的坐标，利用中点坐标公式求得坐标，代入可求解.
【详解】由题，，将代入得，
所以，
因为点在上，，
即解得或（舍），
故答案为: .
15．（2022·江苏省如东高级中学高三阶段练习）已知函数，若与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】设点，可得出，构造函数，可得知直线与函数在区间上的图象有交点，进而可知，实数的取值范围是函数在区间上的值域，利用导数求解即可.
【详解】因为与的图像上分别存在点，使得关于直线对称，
令，
则，即在上有解，
即在上有解即在上有解，
设，，则，
当时，，故在为增函数，
当时，，故在为减函数，
而，
故在上的值域为，
故即
故答案为：
16．（2022·江苏苏州·高三期中）侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形的边长为1，往里第二个正方形为，…，往里第个正方形为．那么第7个正方形的周长是____________，至少需要前____________个正方形的面积之和超过2．（参考数据：，）．

【答案】         
【分析】根据已知，利用勾股定理、正方形的周长公式、面积公式以及等比数列的通项、前n项和公式进行求解.
【详解】
因为每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，
且外围第一个正方形的边长为1，所以，,
由勾股定理有：，
设第个正方形的边长为，则
，，……，，
所以，
所以第7个正方形的周长是，
第n个正方形的面积为，
则第1个正方形的面积为，
则第2个正方形的面积为，
则第3个正方形的面积为，
……
则第n个正方形的面积为，
前n个正方形的面积之和为，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以至少需要前4个正方形的面积之和超过2．
故答案为：，4.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023·广西·南宁二中一模（文））已知数列满足，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据得到数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即可得到，然后利用等差数列的定义证明即可；
（2）利用错位相减的方法求和即可.
【详解】（1）∵，
∴.
又，
∴，
∴，
且.
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴，
即，.
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
（2）易得，
∴，
则，
，
化简得，
则.
18．（2022·四川·成都七中一模（理））新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒.对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位.明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战.当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻.为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，市团委在全市学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表.
竞赛成绩







人数
6
12
18
34
16
8
6

(1)从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概率；
(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，若从所有参赛学生中（参赛学生人数特别多）随机抽取4名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，2
【分析】（1）根据题意可得获奖情况，再根据组合数的计算与概率公式求解即可；
（2）由正态分布的性质可得随机变量，再列出分布列求解数学期望即可.
【详解】（1）由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人，则70人没有获奖，
所以从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概率为
.
（2）因为该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，所以，
所以，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生成绩在64分以上的概率为，所以随机变量，
所以（，1，2，3，4），
所以，，
，，
，
所以的分布列为

0
1
2
3
4
P






所以.
19．（2022·山东·利津县高级中学高三阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，满足，
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且，是斜率为2的直线上的两个不重合的点，求的取值范围.
【答案】(1)或；
(2)的取值范围为
【分析】(1)根据三角恒等变换，结合内角和关系化简条件等式即可求角；
(2)由斜率公式可得，根据正弦定理可求的外接圆半径，再由正弦定理用角表示，结合三角恒等变换及正弦函数性质可求的取值范围.
【详解】（1）因为，又，
所以，
，

因为，所以，
故，因为，
所以或；
（2）因为，是斜率为2的直线上的两个不重合的点，
所以且，故，
因为为锐角三角形，由(1)可得，，，
所以，
设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，
所以，因为，，
所以，

，
因为，所以，
所以，，
所以，
，
因为，所以，
所以，所以，
故的取值范围为.
20．（2022·安徽·六安二中高三阶段练习）如图，在三棱锥中，，为的中点，．

(1)证明：平面平面；
(2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明平面，再由平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，计算平面和平面的法向量，根据二面角的大小为，求出的长，计算三棱锥的体积.
【详解】（1）因为，O是中点，所以，
又，，所以平面，
因为平面，平面平面.
（2）以O为坐标原点，为轴，为y轴，过O且垂直的直线为x轴，建立如图空间直角坐标系，为边长为1的等边三角形，

则，，，设，，
因为，所以 ，
所以，，设为平面的一个法向量，
则，即，令，
又平面的一个法向量为，所以，
解得，所以，
，所以，
所以三棱锥的体积为
21．（2022·全国·模拟预测）已知为坐标原点,,分别是双曲线：（,）的左, 右焦点,,若直线与双曲线点的右支有公共点.
(1)求的离心率的最小值;
(2)当双曲线的离心率最小时,直线与交于,两点,求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 由于,所以离心率的最小值即为求的最大值,连接,,要使双曲线的离心率最小,只需最大,即最大,求出关于直线的对称点为,连接,,则即可求出最大值,进而求出离心率最小值;
(2)由(1)可得离心率最小值时的,可得双曲线方程,联立直线与双曲线方程,设,两点坐标,求出,代入上式即可.
【详解】（1）解:由题知,
,
设关于直线的对称点为,
则,
解得,
故,
连接,,,,
则,
则



,
故最大值为,
,
故双曲线的离心率的最小值为;
（2）由(1)知双曲线的离心率的最小值为,
此时,
双曲线方程为,
联立得,
消去并整理得
,
则有且,
即且,
设,,
则,,
则





,
.
【点睛】思路点睛:本题考查双曲线性质以及直线与双曲线的位置关系,属于难题,常用的解决直线与圆锥曲线位置关系的思路为:
(1)设直线方程(注意斜率存在不存在以及斜率为0的情况),设交点坐标,
(2)联立直线与圆锥曲线方程,
(3)设为不求,韦达定理(注意判别式的正负),
(4)列出满足题意的方程,进行化简.
22．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若函数有两个零点．
(1)求证：；
(2)设为函数的极大值点，为函数的零点，且，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）解法一，由分离常数，然后利用构造函数法，结合导数证得；解法二，利用多次求导的方法，结合有两个零点证得.
（2）根据的极大值点、零点列方程，利用构造函数法，结合导数证得，然后结合基本不等式证得.
【详解】（1）解法一：令，则，
令，
注意到：，函数在上单调递减，
所以当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为．
由题意，有两个零点，必有，即．
解法二：，
，
令，则
在上单调递减．
取；
取，
，使得，即，
则在上单调递增，在上单调递减．
，
是增函数，且时，，．
令，
在上单调递减，．
又．
（2）由题意，，且，
消去即得：，
注意到：，且，则：．

所以当时，单调递增；
当时，单调递减．
故，
即得：当时，恒有成立．
且
即，
，

证毕．
【点睛】利用导数研究含参数的函数的零点，可以考虑利用分离常数法，也可以直接求导来进行研究.当一次求导无法求得函数的单调性时，可考虑利用多次求导的方法来进行研究.