2023届湖北省十堰市高三下学期四月调研考试数学试题含解析

这是一份2023届湖北省十堰市高三下学期四月调研考试数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届湖北省十堰市高三下学期四月调研考试数学试题 一、单选题1．复数的虚部为（    ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】利用复数得乘除法运算求出复数z，再根据虚部得定义即可得解.【详解】解：，所以复数的虚部为-2.故选：A.2．若集合，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的意义求出集合A，根据指数函数的性质求出集合B，结合集合间的关系即可求解.【详解】因为，，所以．故选：C.3．的展开式中的系数是（    ）．A． B． C．－30 D．30【答案】A【分析】根据二项展开式的通项公式分析运算.【详解】因为的展开式的通项公式，令，可得的系数是．故选：A.4．已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】通过分段函数进行求导，取得最小值，从而可得，当时，取得最小值，继而可求出结论.【详解】由题可知解得．故选：B.5．已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴相交于点P，点，且的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则周长的最小值为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由的面积求出，为定值，的周长最小，需最小，即最小，此时MQ垂直于抛物线C的准线，求值即可.【详解】由题可知，的面积为，则．则有,准线方程为，，Q点到准线距离为，的周长最小，需最小，即最小，所以当MQ垂直于抛物线C的准线时，的周长最小，且最小值为．故选：B6．已知A，B，C，D是球O的球面上的四个点，圆为的外接圆．若圆的面积为π，，则四面体ABCD体积的最大值为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由圆的面积为π，得圆的半径为1，从而求得球O的半径，从而可得出四面体ABCD体积的最大值.【详解】因为圆的面积为π，所以圆的半径为1，，则球O的半径，则四面体ABCD体积的最大值为．故选：B.7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：．该数列的特点为前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，即，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（    ）．A．-2024 B．2024 C．-1 D．1【答案】C【分析】根据，证得数列是首项为1，公比为-1的等比数列，通过运算从而可以求出结果.【详解】因为，当时，所以．又，所以是首项为1，公比为-1的等比数列，则，故．故选：C.8．若，，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得，构造函数，利用求导，讨论得知当时，单调递减；当时，单调递增．故，计算可比较大小,从而可得出结论.【详解】令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，可得，当且仅当时，等号成立，从而．因为，所以，故．故选：A. 二、多选题9．《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（    ）．A．B．C．向量在向量上的投影向量为D．向量在向量上的投影向量为【答案】BD【分析】利用空间向量的线性运算可判定A、B选项；利用投影向量的定义可判定C、D选项.【详解】因为，故A不正确，B正确．如图所示，故D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC，故向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为，由题意易得故，C不正确． ，D正确．故选：BD10．已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，则（    ）．A． B．直线是图象的一条对称轴C．在上单调递减 D．是奇函数【答案】ACD【分析】由可得，对称中心，即可求得，从而知函数的解析式，再根据余弦函数的图像与性质，逐一分析选项即可.【详解】因为点在的图象上，所以．又，所以．因为图象的一个对称中心是，所以，则．又，所以，则，A正确．，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确．当时，，单调递减，C正确．，是奇函数，D正确．故选：ACD.11．已知函数，则下列结论正确的有（    ）．A．为奇函数B．为偶函数C．，当时，D．，【答案】ABD【分析】对于A、B：根据奇偶性的定义分析判断；对于C：构建，利用导数判断单调性，分析判断；对于D：构建，利用导数求原函数的最值，分析判断.【详解】对于A、B：因为的定义域为R，且，，所以为奇函数，为偶函数，故A，B正确；对于B：构建，则，构建，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，故即在上恒成立，则在上单调递增，不妨令，则，即，整理得，且，则，C不正确；对于D：构建，则，当且仅当，即时等号成立，故在上单调递增，则，D正确．故选：ABD.12．椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象．关于椭圆曲线W：，下列结论正确的有（    ）．A．曲线W关于直线对称B．曲线W关于直线对称C．曲线W上的点的横坐标的取值范围为D．曲线W上的点的横坐标的取值范围为【答案】BD【分析】由特殊值结合对称性判断A；设点在曲线W上，证明点在曲线W上，从而判断B；，解不等式判断CD.【详解】由，得．对于A：因为，所以曲线W不关于直线对称，A不正确．对于B：设点在曲线W上，则，，所以点在曲线W上，所以曲线W关于直线对称，B正确．对于CD：由，得，解得或，C不正确，D正确．故选：BD. 三、填空题13．已知向量，，若，则________．【答案】13【分析】由解出的值，利用模的坐标公式求.【详解】已知向量，，因为，所以，解得，则，．故答案为：1314．若直线l：与圆C：有两个公共点，则k的取值范围为________．【答案】【分析】联立方程，结合判别式分析运算.【详解】联立方程，消去y得，由题意可得：，故k的取值范围为．故答案为：. 四、双空题15．已知是双曲线上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，的周长为，则________，的面积为________．【答案】          【分析】设设点在双曲线的右支上，利用双曲线的定义以及的周长可求得、，利用余弦定理可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得的面积.【详解】在双曲线中，，，则，根据对称性，不妨设点在双曲线的右支上，则．因为，的周长为，所以，所以，．在中，，则，所以，的面积为．故答案为：；. 五、填空题16．甲、乙两位同学玩游戏：给定实数，按下列方法操作一次产生一个新的实数，由甲掷一枚骸子，若朝上的点数为1，2，3，则，若朝上的点数为4，则，若朝上的点数为5，6，则．对实数重复上述操作，得到新的实数，若，则甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为________．【答案】【分析】列出如下树形图，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.【详解】列出如下树形图，可知甲获胜的概率为．故答案为：. 六、解答题17．已知数列的前n项之积为，且，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意可得，有，由等差数列的定义和通项公式可得；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可求解.【详解】（1）由题意得，，．所以，故是以2为首项，1为公差的等差数列，则．当时，由，得，则，对也成立，故．（2）由（1）可知，，，所以数列的前n项和为.18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．(1)求面积的最大值；(2)若，求的周长．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，由同角的三角函数关系可得，利用余弦定理可得，结合三角形的面积公式计算即可求解；（2）根据题意，由余弦定理可得，解得，即可求解.【详解】（1）因为，，所以，，当且仅当时，等号成立，则．故，即面积的最大值为．（2）由余弦定理，，，得，即．由，得，整理得，分解得，解得，故的周长为．19．现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为．证明：．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据超几何分布，即可求解；（2）当时，X的取值可能是2，3，4；当时，X的取值可能是0，1，2，利用超几何分布分布求出对应的概率，结合数学期望的公式分布计算即可求解.【详解】（1）由题可知，甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．（2）当时，X的取值可能是2，3，4，且，，，则．当时，X的取值可能是0，1，2，且，，，则．故．20．中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体．该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．在如图所示的“曲池”中，平面，记弧AB、弧DC的长度分别为，，已知，，E为弧的中点．(1)证明：．(2)若，求直线CE与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）延长，并相交于点，证明，再利用线面垂直的性质、判定推理作答.（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值作答.【详解】（1）延长，并相交于点，因为，则，，连接，，因为E为弧的中点，则，为正三角形，于是，因为平面，，则有平面，又平面，于是，而，平面，因此平面，又平面，所以．（2）以为坐标原点，为x轴，为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面的法向量为，则，令，得，令直线CE与平面所成角为，则，直线CE与平面所成角的正弦值为．21．已知是椭圆C：的右顶点，过点且斜率为的直线l与椭圆C相交于A，B两点（A点在x轴的上方），直线PA，PB分别与直线相交于M，N两点．当A为椭圆C的上顶点时，．(1)求椭圆C的方程；(2)若，且，求k的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意可得，利用两点求斜率公式求得，即可求解；（2）根据题意设l的方程为()，，,联立方程组，利用韦达定理表示、，进而可得直线AP的方程，求出，同理可得，对化简计算，结合即可求解.【详解】（1）由题可知，．当A为椭圆C的上顶点时，，解得，故椭圆C的方程为．（2）依题意可设直线l的方程为，，，．联立方程组消去x整理得，则，．直线AP的方程为，令，得．同理可得，则.因为，且，所以，，又，故．22．已知函数．(1)若在R上单调递减，求a的取值范围；(2)当时，求证在上只有一个零点，且．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意和函数的单调性可得即在R上恒成立，利用导数研究函数的性质求出即可求解；（2）由函数零点的存在性定理可得，使得,进而得出函数的单调性，结合、即可证明函数在上只有一个零点；由得，将不等式变形为，则证明即可，构造函数，结合分析法，利用导数研究函数的性质即可证明.【详解】（1）因为，所以．由在R上单调递减，得，即在R上恒成立．令，则．当时，，单调递增；当时，，单调递减．故，解得，即a的取值范围为．（2）由（1）可知，在上单调递减，且，，故，使得．当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．因为，，所以在上只有一个零点，故函数在上只有一个零点．因为，所以要证，即证，即证．因为，得，所以，故需证即可．令，，则．当时，，单调递增；当时，，单调递减．故．即，原不等式即证.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点问题，不论哪种方法，其核心步骤都是构造函数.利用已知的函数或已知条件将问题转化，重新构造函数模型，通过导数研究函数模型的单调性、极值或最值等达到解决问题的目的.