2023届高考数学二轮复习 微专题作业14 直线与圆中的基本问题（含解析）

这是一份2023届高考数学二轮复习 微专题作业14 直线与圆中的基本问题（含解析），共4页。试卷主要包含了已知圆C等内容，欢迎下载使用。

1.已知圆C：(x－1)2＋(y－a)2＝16，若直线ax＋y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且CA⊥CB，则实数a的值为________．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围为________．
3．已知圆C：(x－2)2＋y2＝1，点P在直线l：x＋y＋1＝0上，若过点P存在直线m与圆C交于A，B两点，且点A为PB的中点，则点P横坐标x0的取值范围为________．
4．已知⊙O：x2＋y2＝1，若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围为________．
5．设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点Q，使得∠OMQ＝45°，则x0的取值范围为________．
6．已知圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝a2和直线l：3x＋4y＋3＝0，若圆C上有且仅有两个点到l的距离等于1，则a的取值范围为________．
7．(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB上一点P向圆x2＋y2＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝64，以O1(9，0)为圆心的圆记为圆O1，已知圆O1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21.
(1)求圆O1的标准方程；
(2)求过点M(5，5)且与圆O1相切的直线的方程；
(3)已知直线l与x轴不垂直，且与圆O，圆O1都相交，记直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1.若eq \f(d,d1)＝2，求证：直线l过定点．
微专题14
1．答案：－1.
解析：圆心(1，a)到直线的距离d＝eq \f(|2a－2|,\r(1＋a2))＝2eq \r(2)，所以a＝－1.
2．答案：(－13，13)．
解析：圆半径为2，圆心(0，0)到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1，即eq \f(|c|,13)<1，解得－133．答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，2)).
解析：设P(x0，－1－x0)，由题意可得|CP|≤3，即
eq \r(（x0－2）2＋（－1－x0）2)≤3，解之得－1≤x0≤2.
4．答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
解析：因为圆心为O(0，0)，半径R＝1.设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有PO＝eq \r(2)R＝eq \r(2)，所以圆心O到直线y＝kx＋2的距离d≤eq \r(2)，eq \f(|2|,\r(k2＋1))≤eq \r(2)，即k2≥1，解得k≤－1或k≥1.
5．答案：[－1，1]．
解析：过点M作⊙O的切线，切点为N，连结ON.M点的纵坐标为1，MN与⊙O相切于点N，设∠OMN＝θ，则θ≥45°，即sinθ≥eq \f(\r(2),2)，即eq \f(ON,OM)≥eq \f(\r(2),2).而ON＝1，所以OM≤eq \r(2).因为M为(x0，1)，所以eq \r(x02＋1)≤eq \r(2)，解得－1≤x0≤1，所以x0的取值范围为
[－1，1]．
6．答案：(eq \f(1,6)，1)∪(－4，－eq \f(2,3))．
解析：到直线l：3x＋4y＋3＝0距离等于1的点组成的轨迹为直线l1：3x＋4y－2＝0或直线l2：3x＋4y＋8＝0，又圆C圆心在直线y＝x上，且与两轴相切，由于圆C上有且仅有两个点到l的距离等于1，则直线l1或l2与圆C相交，于是当a>0时，r＝a，则圆C与l1：3x＋4y－2＝0相交，则d＝eq \f(|7a－2|,5)7．答案：3eq \r(2).
解法1因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC方程为x1x＋y1y＝4，PD：x2x＋y2y＝4，将P(a，a＋4)分别代入PC，PD方程，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax1＋（a＋4）y1＝4，,ax2＋（a＋4）y2＝4，))则直线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，所以直线CD过定点N(－1，1)，
又因为OM⊥CD，所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点)，又因为以ON为直径的圆的方程为(x＋eq \f(1,2))2＋(y－eq \f(1,2))2＝eq \f(1,2)，所以AM的最大值为eq \r(（－4＋\f(1,2)）2＋（\f(1,2)）2)＋eq \f(\r(2),2)＝3eq \r(2).
解法2因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，同解法1可知直线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，得a＝eq \f(4－4y,x＋y).又因为O，P，M三点共线，所以ay－(a＋4)x＝0，得a＝eq \f(4x,y－x).因为a＝eq \f(4－4y,x＋y)＝eq \f(4x,y－x)，所以点M的轨迹方程为(x＋eq \f(1,2))2＋(y－eq \f(1,2))2＝eq \f(1,2)(除去原点)，所以AM的最大值为
eq \r(（－4＋\f(1,2)）2＋（\f(1,2)）2)＋eq \f(\r(2),2)＝3eq \r(2).
8．答案：(1)(x－9)2＋y2＝16；
(2)y＝－eq \f(9,40)x＋eq \f(49,8)；
(3)直线l过定点(18，0)或直线l过定点(6，0)．
解析：(1)由题设得圆O1的半径为4，所以圆O1的标准方程为(x－9)2＋y2＝16.
(2)①当切线的斜率不存在时，直线方程为x＝5符合题意；②当切线的斜率存在时，设直线方程为y－5＝k(x－5)，即kx－y＋(5－5k)＝0，因为直线和圆相切，所以d＝eq \f(|5＋4k|,\r(k2＋1))＝4，解得k＝－eq \f(9,40)，从而切线方程为y＝－eq \f(9,40)x＋eq \f(49,8).
(3)设直线l的方程为y＝kx＋m，则圆心O，圆心O1到直线l的距离分别为h＝eq \f(|m|,\r(1＋k2))，
h1＝eq \f(|9k＋m|,\r(1＋k2))，从而d＝
2eq \r(64－\f(（m）2,1＋k2))，d1＝
2eq \r(16－\f(（9k＋m）2,1＋k2)).由eq \f(d,d1)＝2，得eq \f(d2,d12)＝eq \f(64－\f(m2,1＋k2),16－\f(（9k＋m）2,1＋k2))＝4，
整理得m2＝4(9k＋m)2，故m＝±2(9k＋m)，即18k＋m＝0或6k＋m＝0，所以直线l为y＝kx－18k或y＝kx－6k，因此直线l过点定点(18，0)或直线l过定点(6，0)．