2023届高考数学二轮复习 微专题作业16 阿波罗尼斯圆问题梳理及其运用（含解析）

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1.已知A(1，0)，B(4，0)，直线l过定点(1，－2)，若在直线l上存在点M满足2MA＝MB，则直线l的斜率取值范围为________．
2．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使MA＝2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围为________．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(4，0)，直线x－y＋m＝0上存在唯一的点P满足eq \f(PA,PB)＝eq \f(1,2)，则实数m的取值集合为________．
4．设点P是圆C：x2＋y2＝1上的动点，已知A(－1，2)，B(2，0)，则PA＋eq \f(1,2)PB的最小值为________．
5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围是________．
6．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D在线段AC上，AD＝kAC(k为常数，且07．在△ABC中，AC＝2，AB＝mBC(m>1)，若恰好当
B＝eq \f(π,3)时，三角形面积最大，求实数m的值．
8．如图，已知点A(－2，0)，B(4，0)，圆C：(x＋4)2＋y2＝16，P是圆C上任意一点，问是否存在常数λ，使得eq \f(PA,PB)＝λ？若存在，求出常数λ；若不存在，请说明理由．
微专题16
1．答案：(－∞，0]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞)).
解析：设M(x，y)，则由2MA＝MB得2eq \r(（x－1）2＋y2)＝
eq \r(（x－4）2＋y2)，化简得x2＋y2＝4，设直线l：y＝k(x－1)－2，则eq \f(|－k－2|,\r(1＋k2))≤2，整理得3k2－4k≥0，解得k≤0或k≥eq \f(4,3).
2．答案：[0，eq \f(12,5)]．
解析：因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以eq \r(x2＋（y－3）2)＝
2eq \r(x2＋y2)，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意得，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则2－1≤CD≤2＋1，即1≤eq \r(a2＋（2a－3）2)≤3.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤eq \f(12,5).所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0，eq \f(12,5)]．
3．答案：{2eq \r(2)，－2eq \r(2)}．
解析：设P(x，x＋m)，则由eq \f(PA,PB)＝eq \f(1,2)可知eq \f(（x－1）2＋（x＋m）2,（x－4）2＋（x＋m）2)＝eq \f(1,4)，化简得到2x2＋2mx＋m2－4＝0，由题意可知Δ＝4m2－4×2×(m2－4)＝0，即m2＝8，则实数m的取值集合为{2eq \r(2)，－2eq \r(2)}．
4．答案：eq \f(5,2).
解析：记eq \f(1,2)PB＝PC，那么eq \f(PC,PB)＝eq \f(1,2)，其中B(2，0)，下面研究点C的位置．设C(a，b)，P(csθ，sinθ)，则由eq \f(PC,PB)＝eq \f(1,2)得
eq \f(\r(（a－csθ）2＋（b－sinθ）2),\r(（2－csθ）2＋sin2θ))＝
eq \f(1,2)，化简得(4－8a)csθ－8bsinθ＋4a2＋4b2－1＝0①，由于①式对任意θ都成立，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－8a＝0，,b＝0，,4a2＋4b2－1＝0，))解得
C(eq \f(1,2)，0)．因此，PA＋eq \f(1,2)PB＝PA＋PC≥AC＝eq \f(5,2).
5．答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(7,3))).
解析：如图，设AB＝3，AC＝1，AD＝k，
以点C为原点，线段AC所在直线为x轴建立直角坐标系xCy，则点A的坐标为(1，0)，
因为AB＝3，所以点B在以点A为圆心，3为半径的圆上，圆的方程为(x－1)2＋y2＝9(*)．设
D(x，y)，由CD＝2DB得
B(eq \f(3,2)x，eq \f(3,2)y)，代入(*)式得(eq \f(3,2)x－1)2＋(eq \f(3,2)y)2＝9，化简得(x－eq \f(2,3))2＋y2＝4，所以r－eq \f(1,3)6．答案：eq \f(l2,2（1－k2）).
解析：如图，以B为原点，BD为x轴建立直角坐标系xBy.
设A(x，y)，y>0.因AD＝kAC＝kAB，故AD2＝k2AB2，于是(x－l)2＋y2＝k2(x2＋y2)．所以y2＝eq \f(－（1－k2）x2＋2lx－l2,1－k2)
＝eq \f(－（1－k2）（x－\f(l,1－k2)）2＋\f(k2l2,1－k2),1－k2)
≤eq \f(k2l2,（1－k2）2)，于是，ymax＝eq \f(kl,1－k2)，(S△ABD)max＝eq \f(kl2,2（1－k2）)，所以，(S△ABC)max＝eq \f(1,k)(S△ABD)max＝eq \f(l2,2（1－k2）).
7．答案：2＋eq \r(3).
解析：易知点B的轨迹是阿波罗尼斯圆，记圆与线段AC的交点为F，圆心为D，则eq \f(AB,BC)＝eq \f(AF,FC)＝m，从而BF为∠ABC的平分线，即∠ABF＝∠CBF＝eq \f(π,6)，此时∠BCD＝∠BFC＋∠CBF＝eq \f(5π,12)，∠CAB＝eq \f(π,12)，∠ACB＝eq \f(7π,12).在△ABC中，由正弦定理得m＝eq \f(AB,BC)＝eq \f(sin∠ACB,sin∠CAB)＝2＋eq \r(3).
8．答案：存在；λ＝eq \f(1,2)，理由略．
解析：假设存在点P(x，y)满足题意，则x2＋y2＋8x＝0，所以PA2＝(x＋2)2＋y2，PB2＝(x－4)2＋y2，由PA2＝λ2·PB2，可得x2＋y2＋4x＋4＝λ2(x2＋y2－8x＋16)，整理得
(1－x)(1－4λ2)＝0，由点P(x，y)为圆C上任意一点，且λ>0，于是取λ2＝eq \f(1,4)，即有λ＝eq \f(1,2).