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2023届高考数学二轮复习 微专题作业18 与圆相关的范围与最值问题(含解析)
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这是一份2023届高考数学二轮复习 微专题作业18 与圆相关的范围与最值问题(含解析),共5页。试卷主要包含了如图,已知圆C等内容,欢迎下载使用。
1.已知x,y满足0≤x≤eq \r(4-y2),则eq \f(y-2,x-3)的取值范围是________.
2.如果实数x,y满足x2+y2=1,则(1+xy)(1-xy)的最小值为________.
3.(2018·全国卷Ⅲ)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是________.
4.在平面直角坐标系中,已知M(-2,0),N(1,0),
A(0,1),B(0,t),t>1.若存在点P,使eq \f(PM,PN)=2,且∠APB为钝角,则实数t的取值范围是________.
5.已知直线l:x+3y+1=0,圆C:x2+y2-2ax-2ay=1-2a2(a>0),过原点的直线l1与直线l垂直,l1与圆C交于M,N两点,则当△CMN的面积最大时,圆心C的坐标为________.
6.在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x+2)2+(y-m)2=3.若圆C存在以G为中点的弦AM,且AM=2GO,则实数m的取值范围是________.
7.如图,已知圆C:(x-2)2+(y-2)2=2,过原点O作圆C的切线OA,OB,切点依次记为A,B,过原点O引直线l交圆C于D,E两点,交AB于F点.
(1)求直线AB的直线方程;
(2)求OD+OE的最大值.
8.(2018·常州期末)已知△ABC中,AB=AC=eq \r(3),△ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2=3PA2=3,求△ABC面积的最大值.
微专题18
1.答案:eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(12,5))).
解析:由已知得x2+y2≤4(x≥0),则点(x,y)在以(0,0)为圆心,2为半径的右半圆内,eq \f(y-2,x-3)表示点(x,y)和点(3,2)连线的斜率,设切线方程为y-2=k(x-3),
即kx-y+2-3k=0,则eq \f(|2-3k|,\r(k2+1))=2,解得k=0或k=eq \f(12,5),故eq \f(y-2,x-3)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(12,5))).
2.答案:eq \f(3,4).
解法1由|xy|≤eq \f(x2+y2,2)=eq \f(1,2),所以(1+xy)(1-xy)=1-(xy)2≥
1-eq \f(1,4)=eq \f(3,4).
解法2设x=csα,y=sinα,则(1+xy)(1-xy)=1-(xy)2=1-eq \f(sin22α,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4),1)).
3.答案:[2,6].
解析:因为直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,所以A(-2,0),B(0,2),则AB=2eq \r(2),因为点P在圆(x-2)2+y2=2上,所以圆心(2,0)到直线距离d1=eq \f(|2+0+2|,\r(2))=2eq \r(2),故点P到直线x+y+2=0的距离d2的范围为[eq \r(2),3eq \r(2)],则S△ABP=eq \f(1,2)AB·d2=eq \r(2)d2∈[2,6].
4.答案:(2,+∞).
解析:设P(x,y),由eq \f(PM,PN)=2,得(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],即点P在圆C1:(x-2)2+y2=4上;以AB为直径的圆为C2,圆心为C2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(t+1,2))),半径为eq \f(t-1,2),由题意两圆相交,所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(t-1,2)-2))<eq \r(4+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t+1,2)))\s\up12(2))<eq \f(t-1,2)+2,解得t>2.
5.答案:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2),\f(\r(5),2))).
解析:圆C:(x-a)2+(y-a)2=1,直线l1:3x-y=0,当CM⊥CN时,△CMN的面积最大,此时C到l1的距离为eq \f(\r(2),2),则eq \f(|3a-a|,\r(10))=eq \f(\r(2),2),a=eq \f(\r(5),2),圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2),\f(\r(5),2))).
6.答案:[-eq \r(2),eq \r(2)].
解析:由于圆C存在以G为中点的弦AM,且AM=2GO,故OA⊥OM,如图所示,
过点O作圆C的两条切线,切点分别为B,D,圆上要存在满足题意的点A,只需∠EOD≥90°,即∠EOC≥45°,连接EC,由C(-2,m)可得OC=eq \r(m2+4),BC=eq \r(3),由sin∠EOC=eq \f(CE,OC),所以eq \f(\r(3),\r(m2+4))≥eq \f(\r(2),2),即-eq \r(2)≤m≤eq \r(2).
7.答案:(1)直线AB的方程为x+y-3=0;(2)OD+OE的最大值为4eq \r(2).
解析:(1)由题意O,A,C,B四点共圆,设为圆C′,则圆C′的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,且AB为两圆的公共弦,从而直线AB的方程为x+y-3=0.
(2)解法1设直线l:y=kx,则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=kx,,(x-2)2+(y-2)2=2)),得
(1+k2)x2-(4+4k)x+6=0.
设D(x1,y1),E(x2,y2),于是OD+OE=eq \r(x12+y12)+eq \r(x22+y22)=eq \r(1+k2)(x1+x2)=eq \r(1+k2)·eq \f(4(1+k),1+k2)=
4eq \r(\f((1+k)2,1+k2))=4eq \r(1+\f(2k,1+k2))≤
4eq \r(2),即OD+OE的最大值为
4eq \r(2).
解法2由平面几何知,OD·OE=OC2-2=6,且OC-eq \r(2)≤OD<eq \r(OC2-2),即eq \r(2)≤OD<eq \r(6),
所以OD+OE=OD+eq \f(6,OD)≤eq \r(2)+eq \f(6,\r(2))=4eq \r(2).
8.答案:eq \f(5\r(23),16).
解析:以BC所在直线为x轴,线段BC的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系.不妨设B(-a,0),C(a,0),A(0,h),(a>0,
h>0),因为AB=AC=eq \r(3),所以a2+h2=3.设P(x,y),由PB2+PC2=3知,(x+a)2+y2+(x-a)2+y2=3,即x2+y2=eq \f(3-2a2,2)=h2-eq \f(3,2).①
由PA2=1知,x2+(y-h)2=1.②
由①②知两圆有公共点,所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1-\r(h2-\f(3,2))))≤h≤1+eq \r(h2-\f(3,2)),解得h≥eq \f(5,4).所以S△ABC=eq \f(1,2)·2a·h=ah=
heq \r(3-h2)=
eq \r(-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(h2-\f(3,2)))\s\up12(2)+\f(9,4))≤eq \f(5\r(23),16).即△ABC面积的最大值为eq \f(5\r(23),16).
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