2023届高考数学二轮复习 微专题作业20 圆锥曲线的离心率问题（含解析）

这是一份2023届高考数学二轮复习 微专题作业20 圆锥曲线的离心率问题（含解析），共4页。
1.(2018·苏北四市零模)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2y＝0，则该双曲线的离心率为________．
2．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为eq \f(\r(3),2)c，则其离心率的值是________．
3．(2018·北京卷)已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线N：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
4．点P是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，F为椭圆C的右焦点，直线FP与圆O：x2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)))eq \s\up12(2)相切于点Q，若Q恰为线段FP中点，则椭圆C的离心率为________．
5．点M是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若△PQM是钝角三角形，则椭圆E离心率的取值范围是________．
6．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P，使eq \f(a,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,sin∠PF2F1)，该椭圆的离心率取值范围是________．
7.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若eq \(PQ,\s\up6(→))＝2eq \(F1O,\s\up6(→))，eq \(F1Q,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(F1P,\s\up6(→)),|\(F1P,\s\up6(→))|)＋\f(\(F1O,\s\up6(→)),|\(F1O,\s\up6(→))|)))(λ>0)，求椭圆的离心率．
8．已知梯形ABCD中，AB＝2CD，又eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(EC,\s\up6(→))，双曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，当eq \f(2,3)≤λ≤eq \f(3,4)时，求双曲线的离心率范围．
微专题20
1．答案：eq \f(\r(5),2).
解析：两条渐近线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，得y＝±eq \f(b,a)x，所以eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，得出离心率为eq \f(\r(5),2).
2．答案：2.
解析：不妨设一条渐近线方程为bx－ay＝0，所以eq \f(|bc|,\r(b2＋a2))＝eq \f(\r(3),2)c，b＝eq \f(\r(3),2)c，所以b2＝c2－a2＝eq \f(3,4)c2，所以离心率为2.
3．答案：eq \r(3)－1；2.
解析：假设渐近线与椭圆在第一象限内交点为P，左、右焦点为F1，F2，由正六边形性质知，
Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，PF2＝c，PF1＝eq \r(3)c，由椭圆定义知c＋eq \r(3)c＝2a，所以椭圆M的离心率为eq \r(3)－1，渐近线y＝eq \f(n,m)x与x轴夹角为60°，所以eq \f(n,m)＝eq \r(3)，双曲线N的离心率为2.
4．答案：eq \f(\r(5),3).
解析：设椭圆C的左焦点为F1，连接PF1，OQ，因为OQ为△F1PF的中位线，所以PF1＝b，PF＝2a－b，又因为OQ⊥PF，所以PF1⊥PF，△F1PF中勾股定理得，PF12＋PF2＝F1F2，b2＋(2a－b)2＝(2c)2，b2＋(2a－b)2＝4a2－4b2，eq \f(b,a)＝eq \f(2,3)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3).
5．答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6)－\r(2),2))).
解析：因为圆M与x轴相切于焦点F，所以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，过M作y轴的垂线，垂足为N，△PQM是钝角三角形，则∠PMQ＞90°，∠PMN＞45°，cs∠PMN＜eq \f(\r(2),2)，eq \f(ac,b2)＜eq \f(\r(2),2)，e2＋eq \r(2)e－1＜0，又0＜e＜1，所以椭圆E离心率的取值范围是0＜e＜eq \f(\r(6)－\r(2),2).
6．答案：(eq \r(2)－1，1)．
解析：△PF1F2中，正弦定理eq \f(sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)＝eq \f(c,a)＝eq \f(PF1,PF2)，因为PF2＝2a－PF1，PF1＝eq \f(2ae,1＋e)，a－c＜PF1＝eq \f(2ae,1＋e)＜a＋c，又0＜e＜1，所以椭圆E离心率的取值范围是(eq \r(2)－1，1)．
7．答案：eq \f(\r(5)－1,2).
解析：假设右焦点为F2，连接F2Q，eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(F1F2,\s\up6(→))，所以平行四边形F1F2QP，eq \(F1Q,\s\up6(→))＝λ(eq \f(\(F1P,\s\up6(→)),|\(F1P,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(F1O,\s\up6(→)),|\(F1O,\s\up6(→))|))(λ>0)，所以F1Q为∠PF1F2的平分线，得菱形F1F2QP，PF1＝PQ＝F1F2＝2c，由圆锥曲线统一定义得PF2＝e·PQ＝2c·e，由第一定义得PF1＋PF2＝2a，2c＋2c·e＝2a，e2＋e－1＝0，所以e＝eq \f(\r(5)－1,2).
8．答案：[eq \r(7)，eq \r(10)]．
解析：以AB中点O为坐标原点，AB为x轴建系，设AB＝2c，则Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，y0))满足eq \f(e2,4)－eq \f(y02,b2)＝1，又eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(EC,\s\up6(→))，坐标化得Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c（λ－2）,2（1＋λ）)，\f(λy0,1＋λ)))，代入椭圆方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，eq \f(e2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ－2,1＋λ)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,1＋λ)))eq \s\up12(2)·eq \f(y02,b2)＝1，消去eq \f(y02,b2)，得e2＝eq \f(1＋2λ,1－λ)＝－2＋eq \f(3,1－λ)，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,4)))上为增函数，7≤e2≤10，所以双曲线的离心率范围为[eq \r(7)，eq \r(10)]．