2023年山东省青岛市中考冲刺数学模拟试题

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2023年山东省青岛市中考冲刺数学模拟试题（解答卷）
一、单选题
1．的算术平方根是（   ）
A．3 B． C．±3 D．-3
解：∵，
∴3的算术平方根为，
故选： B．
2． 箱厘盒是古代人民日常生活使用的物品．如图是一个清代黄花梨凹面枕头箱（箱匣盒的一种），
既可当枕头又可存放银钱、文件等物品，它的俯视图是（   ）

A．B．C． D．
解：从上面向下看，是一个矩形，
故选：B．
3．如图是我市一周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（　　）

A．最高气温是28℃ B．众数是28℃
C．中位数是24℃ D．平均数是26℃
解：由折线统计图知这7天的最高气温为：20、22、24、26、28、28、30，
∴最高气温为30℃，故A选项错误；
众数是28℃，故B选项正确；
中位数为26℃，故C选项错误；
平均数为＝（℃），故D选项错误；
故选：B．
4.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）

A．48 B．42 C．40 D．24
解：由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE-DO=10-4=6，
∵△ABC≌△DEF，
∴S△ABC=S△DEF，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=（AB+OE）•BE=（10+6）×6=48，
故选：A.
5． 如图，是的直径，点A是外一点，连接交于点，连接并延长交于点．
若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
解：如图，连接

是⊙O的直径




四边形是的内接四边形



故选A．
6．在如图所示的单位正方形网格中，经过平移后得到，已知在AC上一点平移后的对应点为，点绕点O逆时针旋转180°，得到对应点，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
解：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1），
∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1），
∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，
∴P2点的坐标为：（1.6，1）．
故选：C．
7.如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，将沿AE折叠，
使点B落在矩形内点F处，连接CF．则CF的长为（    ）

A． B． C． D．
解：连接BF，
∵BC=6，点E为BC的中点，

∴BE=3，
又∵AB=4，
∴，
∵，
∴，
则BF=，
∴FE=BE=EC，
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF，
而∠EBF+∠EFB+∠EFC+∠ECF=180°，
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC =90°，
∴ ．
故选：A．
8． 二次函数的图象如图所示，
反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ）

A． B．
C． D．
解：由二次函数的图象开口向上可知；
∵，
∴；
∵图象与轴交于负半轴，
∴，即，
∴反比例函数图象在一、三象限，
正比例函数图象在二、四象限；
故选：B．
二、解答题
9．计算：＝_______．
解：原式=
=
=
=4．
10． 元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球的不透明袋子中，
随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，
游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是______个．
解：设袋中共有个白球，则摸到红球的概率，
由题意得，，
解得，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
估计袋子中白球的数量是24个．
故答案为：24
11．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是___________．
解：关于的一元二次方程有两个实数根，
且，即，
解得且，
的取值范围为且．
故答案为：且．
12.如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，
则正六边形的边长为_____．

解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，
设正六边形的边长为r，
∴，

解得r＝6．（负根舍去）
则正六边形的边长为6．
故答案为：
13. 如图，两个反比例函数和的图像分别是和．
设点P在上，PC⊥x轴，交于点A．PD⊥x轴，交于点B，则△PAB的面积为_____．

解：点P在上，设P的坐标是，
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是p，
∵A在上，
∴A的坐标是，
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是，
∵B在上，
∴，解得：x=﹣2p，
∴B的坐标是（﹣2p，），
∴，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是：．
故选：C．
14. 如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，
的延长线恰好经过B点，若，，则等于___________．

解：∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
设，则，，
则由勾股定理可得：，即：，
解得：，
则，
故答案为：4．
三、解答题
15．如图，△ABC是一块三角形木料，现要在该木料中切割出一个圆形模板，要求圆形模板经过木料边缘AB上的点P，且与边缘AB，AC都相切，请在图中画出符合条件的圆形模板．

解：如图，作∠BAC的角平分线AM，过点P作AB的垂线PN交AM于O，以O为圆心，PO的长为半径的⊙O即为所求．


16．（1）计算：；
（2）解不等式组．
解：（1）



（2）解不等式，得，
解不等式，得
∴不等式组的解集是．
17. 在学校组织的知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A、B、C、D四个等级，
其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，
学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图：

请你根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)求一班参赛选手的平均成绩；
(2)此次竞赛中，二班成绩在C级以上（包括C级）的人数有几人？
(3)求二班参赛选手成绩的中位数，众数．
解：（1）（分），
因此一班参赛选手的平均成绩是88.5分；
（2）解：由题意可知，一、二班人数均为：（人），
二班成绩在C级以上（包括C级）所占的百分比为：，
（人），
即二班成绩在C级以上（包括C级）的人数有15人；
（3）解：二班成绩为B级的人数所占比例为：，
可知二班成绩为A级的人数最多，因此二班参赛选手成绩的众数是100分；
C、D级人数所占百分比为，总人数为20，
因此二班参赛选手成绩的中位数落在C级，中位数是80分．
18．2022年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评．
运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等12种餐台．一送餐机器人从世界餐台A处向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，求中餐台C到就餐区D（即CD）的距离．（结果保留整数）（参考数值：，，，，，．）

解：由题意得：AB=200米，BC=500米，
设CD=x米，AD=y米，
则：
解得：，
∴中餐台C到就餐区D的距离为：359米；
19.北京冬奥会开幕以来，吉祥物“冰墩墩”凭借憨态可掬的模样收到了全世界人民的喜爱。将四张正面分别印有“北欧两项”“雪橇”“自由式滑雪”“跳台滑雪”运动造型的冰墩墩卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上，洗匀。

(1)若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“雪橇”造型的概率是 ；
(2)若从中任意抽取1张，记录后不放回，洗匀，再从中任意抽取1张，用树状图或者列表法求“自由式滑雪”被抽调的概率。
解：（1）根据题意，得共4种运动造型的冰墩墩卡片
抽得卡片上的图案恰好为“雪橇”造型的概率是：
故答案为：；
（2）树状图如下：

∴共有12种抽取结果，其中“自由式滑雪”被抽调的被抽到的情况共有6种
∴“自由式滑雪”被抽调的概率为：．

20．已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，
若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．

解：（1）设反比例函数的解析式为y=，
∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），
∴k=﹣4×（﹣3）=12，
∴反比例函数的解析式为y=，
∵反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2），
∴y1==，y2==，
∵y1﹣y2=4，
∴﹣=4，
∴m=1；
（2）设BD与x轴交于点E．
∵点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，

∴D（2m，），BD=﹣=．
∵三角形PBD的面积是8，
∴BD•PE=8，
∴••PE=8，
∴PE=4m，
∵E（2m，0），点P在x轴上，
∴点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）．
21．如图，已知ABCD，EF为BC边上的垂直平分线，，且．

(1)求证：；
(2)连接AF，请判断四边形ABDF的形状，并说明理由．
（1）证明： E为BC边上的垂直平分线，
，

∠ABD＝90°

BF=BC

是等边三角形
,

BC=2AB，


四边形是平行四边形

在与中


（2）如图，连接

四边形是平行四边形


是等边三角形
，



四边形是平行四边形


又

四边形是矩形．
22． 某水晶厂生产的水晶工艺品非常畅销，某网店专门销售这种工艺品，成本为30元/件，
每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系如图所示．

(1)直接写出y与x之间的函数关系式 ；
(2)如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，
当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
(3) 该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，
(4) 当捐款后每天剩余利润不低于3600元时，试确定该工艺品销售单价的范围和每天的最大销量．
解：（1）设y与x之间的关系式：y=kx+b，
由题意可得：
解得
∴y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700；
（2）设利润为w，由题意得：-10x+700≥240
解得x≤46
则w=（x-30）·y
=（x-30）（-10x+700）
=-10x2+1000x-21000
=-10（x-50）2+4000
∵-10＜0
∴x＜50时，w随x的增大而增大
∴x=46时，w最大值=-10（46-50）2+4000=3840
∴当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）设捐款后的利润为P，则P=-10x2+1000x-21000-150,
整理得：P=-10x2+1000x-21150
根据题意得：P≥3600
∴-10x2+1000x-21150≥3600
-10(x-50)2≥-250
又∵-10<0
∴解集为45≤x≤55
∴当45≤x≤55时,捐款后每天剩余利润不低于3600元；
又∵y=-10x+700
∴当45≤x≤55时，x=45时，y取最大值
∴y最大销量=-10×45+700=250(件)．
23． 小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．
如果竹竿做好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？
                               
[类比探究]
为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题．
探究1：如图②，在△ABC中，AC⊥BC．若BC = a，AC = b，AB = c，则a + b与c之间有什么数量关系？
解：在△ABC中，∵AC⊥BC

∴BC2 + AC2 = AB2，即a2 + b2 = c2
∵（a-b）2≥0
∴a2 + b2 - 2ab≥0       
∴a2 + b2≥2ab      
∴c2≥2ab
∴c2 + a2 + b2≥2ab + a2 + b2
∴2c2≥（a+b）2
∵a，b，c均大于0
∴a + b与c之间的数量关系是a + b≤c．
探究2：如图③，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD．
若AB = a，BC = b，CD = c，AD = d，则a + b + c与d之间有什么数量关系？
解：∵AB⊥BC，AC⊥CD
∴BC2 + AB2 = AC2，AC2 + CD2 = AD2
∴a2 + b2 + c2 = d2
∵（a-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0
∴a2 + b2≥2ab，a2 + c2≥2ac，b2 + c2≥2bc
将上面三式相加得，2a2 + 2b2 + 2c2≥2ab + 2ac + 2bc    
∴2d2≥2ab + 2ac + 2bc
∴2d2 + a2 + b2 + c2≥2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2
∴ ____ d2≥（a+b+c）2
∵a，b，c，d均大于0
∴a + b + c与d之间有这样的数量关系：a + b + c≤ _________ d．
探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形ABCDE中，AC，AD是对角线，
AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE．若AB = a，BC = b，CD = c，DE = d，AE = e，
则a + b + c + d与e之间的数量关系是 _________ ．

[归纳结论]
当a1 > 0，a2 > 0，…a > 0，m > 0时，若a12 + a22 + … + a2 = m2，
则a1+ a2 + … + a，与m之间的数量关系是 _________ ．
[问题解决]
小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．
如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是_________米．
[拓展延伸]
公园准备修建一个四边形水池，边长分别为a米，b米，c米，d米．
分别以水池四边为边向外建四个正方形花圃，若花圃面积和为400平方米，
则水池的最大周长为_________米．
解：探究2，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD．
若AB = a，BC = b，CD = c，AD = d，则a + b + c与d之间有什么数量关系？
解：∵AB⊥BC，AC⊥CD
∴BC2 + AB2 = AC2，AC2 + CD2 = AD2
∴a2 + b2 + c2 = d2
∵（a-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0
∴a2 + b2≥2ab，a2 + c2≥2ac，b2 + c2≥2bc
将上面三式相加得，2a2 + 2b2 + 2c2≥2ab + 2ac + 2bc    
∴2d2≥2ab + 2ac + 2bc
∴2d2 + a2 + b2 + c2≥2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2
∴ 3d2≥（a+b+c）2
∵a，b，c，d均大于0
∴a + b + c与d之间有这样的数量关系：a + b + c≤d．
探究3：∵在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE
∴BC2 + AB2 = AC2，AC2 + CD2 = AD2 ，AD2 + ED2 = AE2
由AB = a，BC = b，CD = c，DE = d，AE = e，
可得a2 + b2 + c2 +d2=e2，
∴a + b + c + d≤
∴a + b + c + d与e之间的数量关系是；
[归纳结论]
∵a2 + b2 + c2 = d2，a，b，c，d均大于0，可得a + b + c≤d；
a2 + b2 + c2 +d2=e2，a，b，c，d，e均大于0，可得
∴当a1 > 0，a2 > 0，…a > 0，m > 0时，若a12 + a22 + … + a2 = m2，
则a1+ a2 + … + a，与m之间的数量关系是：；
[问题解决]由题意及勾股定理可得长2+宽2+高2=32
∴长+宽+高≤×3=3，
∴电梯的长、宽、高和的最大值是3米；
[拓展延伸]根据题意及正方形的面积可得a2+b2+c2+d2=400，
∴，
∴则水池的最大周长为40米；
24．第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
下图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为．

(1)求b、c的值；
(2)进一步研究发现运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
解：（1）过作于，于，如图所示：

，
着陆坡AC的坡角为30°，即，
，
在中，，
则，
，
，即，，
将，代入得，解得；
（2）解：①由（1）知，根据运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，设一次函数关系式为，
当运动员在起跳点腾空时，；空中飞行5s后着陆，，
，解得，
水平方向移动距离与飞行时间的一次函数关系式为；
②作轴交抛物线于，交于，如图所示：

设直线的表达式为，将，代入
得，解得，
即直线的表达式为，
由（1）知抛物线表达式为，
，
运动员离着陆坡的竖直距离，
由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为．
25.如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB=6cm，BC=8cm．点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3．6），请回答下列问题：

(1)求当t为何值时，△EFD～△ABD？
(2)设四边形BMEN的面积为S（cm2），求S关于t之间的函数关系式；
(3)求当t为何值时，△EFD为等腰三角形；
(4)将△EMN沿直线MN进行翻折，形成的四边形能否是菱形？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
解：（1）由题意得，DE=2t，BF=t，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
在中，，
∴DF=BD=BF=10-t，
当时，
则，即，
解得：．
即当t为时，△EFD～△ABD；
(2)∵MN⊥BD，
∴∠MFB=90°，
∵∠MBF=∠MBF，
∴，
∴，
即，
∴，
同理，
∴AM=AB-BM=6-，
，
即S关于t之间的函数关系式为：；
(3)ED=DF时，
则2t=10-t，
解得：t=；
ED=EF时，过点E作EG⊥BF于G，

∵ED=EF，
∴为等腰三角形，
又∵EG⊥DF，
∴DG=，
∵∠EDG=∠BDA，∠EGD=∠BAD=90°，
∴，
∴，
即，
∴；
EF=FD时，过点F作FH⊥AD，

∵EF=FD，
∴为等腰三角形，
又∵FH⊥ED，
∴HD=，
∵∠ADB=∠HDF，∠BAD=∠FHD，
∴，
即，
∴（舍去）；
综上所述，当或时，为等腰三角形；
(4)假设存在符合题意的t，则EM=EN，
过点E作EK⊥BC交BC于K，

则四边形EKCD为矩形，
∴ED=CK=2t，EK=CD=6，NK=BC-BN-CK=，
∴，
，
∴，
即，
∵t=0不符合题意，
∴不存在符合题意的t．