数学（上海卷）-学易金卷：2023年中考第三次模拟考试卷

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2023年中考数学第三次模拟考试卷
数学·全解全析
一、单选题
1．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据完全平方式、合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方逐一计算即可．
【详解】解：A、，故该选项错误，
B、x和不是同类项，故该选项错误，
C、，故该选项正确，
D、，故该选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
2．一个数学兴趣小组的同学毕业时都将自己的照片向组内其他内容各送一张表示留念，共送出了306张照片，如果全组共有名同学，根据题意，可列出方程为（   ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设全组共有x名同学，则每名同学送出（x-1）张照片，根据全班共送出了306张照片，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设全组共有x名同学，则每名同学送出（x-1）张照片，
依题意，得：x（x-1）=306．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．已知点，，是反比例函数图像上的三点，且，那么，，的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在反比例函数中，，根据和反比例函数的性质和，即可得．
【详解】解：∵反比例函数，，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质．
4．将4张分别写着“强”“国”“有”“我”的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中随机取出2张卡片，则取出的2张卡片中，恰好组成“强国”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意列出所有等可能的结果，再根据概率公式求解，即可．
【详解】画树状图如下：

共用12种等可能的结果，其中是“强“和”“国”两个字的结果有2种，
则取出的2张卡片上的文字恰好是“强”、“国”的概率为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了可能事件的概率，列出所有等可能的结果，是解题的关键．
5．下列事件中，是随机事件的是（   ）
A．画一个三角形，其内角和是
B．明天太阳从西方升起
C．任意选择电视的某一频道，正在播放动画片
D．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天
【答案】C
【分析】根据确定事件（包含必然事件与不可能事件）与随机事件的概念一一进行判断即可得出答案．
【详解】解：A、该事件是必然事件，是确定事件，不是随机事件，故选项A不符合题意；
B、该事件是不可能事件，是确定事件，不是随机事件，故选项B不符合题意；
C、该事件是随机事件，故选项C符合题意；
D、该事件是必然事件，是确定事件，不是随机事件，故选项A不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了随机事件的判断，熟练掌握随机事件与确定事件的概念是解答此题的关键．
6．如图，有八个点将圆周八等分，其中连接相邻的两个等分点，得到四条相等的弦（实线表示），若再连接以等分点为端点的一条弦，使所得的整个图形是轴对称图形，则这条弦是（    ）

A．①或③ B．①或② C．②或④ D．③或④
【答案】A
【分析】首先分别画出图形，再根据轴对称图形的定义，即可判定．
【详解】解：如图：画弦①，

此图形是轴对称图形；
如图：画弦②，

此图形不是轴对称图形；
如图：画弦③，

此图形是轴对称图形；
如图：画弦④，

此图形不是轴对称图形；
故画弦①或③，可以使所得的整个图形是轴对称图形，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形，画出图形，熟练掌握和运用轴对称图形的定义是解决本题的关键．
二、填空题
7．因式分解：__________．
【答案】
【详解】分析：原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
详解：原式=2（9-x2）=2（x+3）（3-x），
故答案为2（x+3）（3-x）
点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．某种流感病毒的直径约为0.000000203米，该直径用科学记数法表示为，则_____________．
【答案】
【分析】根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
9．化简：________.
【答案】
【分析】将分式的分子进行分解因式，再与分母进行月份即可得到答案.
【详解】解：




故答案为：.
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键是否熟练掌握因式分解.
10．方程没有实数根，则m的取值范围是______；
【答案】m<-1
【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集，即可得到m的范围．
【详解】解：∵方程没有实数根，
∴△=b2-4ac=4+4m＜0，
解得：m<-1．
故答案为：m<-1
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
11．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则_____．

【答案】/度
【分析】利用勾股定理的逆定理先证明 再证明，进而得出答案．
【详解】解：如图所示： 连接

由勾股定理可得：
∴
∴
∴ 而
∴  
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，证明是解本题的关键.
12．在半径为3的圆中，圆心角所对的弧长是______．
【答案】
【分析】根据弧长公式计算即可．
【详解】弧长
故答案为：．
【点睛】本题考查的是弧长计算，掌握弧长公式：是解题的关键．
13．如图，正六边形内接于，若的半径为，则阴影部分的面积等于______．

【答案】
【分析】首先连接，，分别交，于点M，N，易证得，同理：，则可得．
【详解】
解：连接，，分别交，于点M，N，
∵正六边形内接于
∴
，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴∠OCD=∠OCB，
∵，
∴
，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴．
故答案为∶．
【点睛】此题考查了正多边形与圆的知识以及扇形的面积公式．注意证得是关键．
14．把一块含角的三角板ABC按右图方式摆放在平面直角坐标系中，其中角的顶点B在x轴上，斜边AB与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，_________．

【答案】5
【分析】设反比例函数解析式为，过点A，C分别作AD⊥x轴，CEx轴，垂足分别为D，E，解Rt△ABC，Rt△ABD，Rt△CBE，求出AB，AD，BD，BE，CE，再根据反比例函数K的几何意义求解即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为，过点A，C分别作AD⊥x轴，CEx轴，垂足分别为D，E，如图，

在中，，
∴∠
∴
在中，∠
∴∠
∴
∴
∵∠
∴∠
在中，∠
∴∠,
∴，
∴
设OD=x，则
∴
∴
∵A，C均在反比例函数图象上，
∴
解得，，即OD=3
∴
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确表示出点A和点C的坐标是解答本题的关键．
15．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DC、BE交于点O，AB＝3AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示是__．

【答案】﹣+
【分析】利用平行线分线段成比例定理求出，根据三角形法则求出，证明DO＝DC即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
＝＝，
∴BC＝3DE，
∵＝，
∴＝3，
∵△DOE∽△COB，
∴＝＝，
∴OD＝OC＝CD，
∵＝+，
∴＝﹣+3，
∴＝﹣+，
故答案为：﹣+
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例和平面向量的知识点
16．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醐洒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清跴酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醐洒酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清洒，醐洒酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为_________．
【答案】
【分析】设清酒x斗，则醐洒酒为（5-x）斗，一斗清酒价值10斗谷子，x斗清酒价值10x斗谷子；一斗醐洒酒价值3斗谷子，（5-x）斗醐洒酒价值3（5-x）斗谷子．存在“换x斗清酒和（5-x）斗醐洒酒共用30斗谷子”的等量关系，根据等量关系可列方程．
【详解】解：设清酒x斗，则醐洒酒为（5-x）斗．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，准确分析出数量关系和等量关系是解决本题的关键．
17．七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形(其中的一个平行四边形是正方形)组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形ABCD就是由七巧板拼成的，那么正方形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比值为____．

【答案】．
【分析】四边形是正方形，是等腰直角三角形，即可得出，设，则，即可得到正方形的面积为1，正方形的面积为8，进而得出结论．
【详解】四边形是正方形，是等腰直角三角形，
，
设，则，正方形的面积为1，
是等腰直角三角形，
，
正方形的面积为8，
正方形的面积与正方形的面积的比值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
18．如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，cotB＝，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为____．
【答案】42
【分析】作CH⊥AB于H，设BH＝5a，证明四边形ADCH为矩形，得到AD＝CH＝12a，根据题意求出a，根据勾股定理求出BC，根据“等分周长线”计算，得到答案．
【详解】解：作CH⊥AB于H，
设BH＝5a，
∵cotB＝，
∴＝，
∴CH＝12a，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠A＝90°，又CH⊥AB，
∴四边形ADCH为矩形，
∴AD＝CH＝12a，CD＝AH，
∵DC＝AD，
∴AH＝CD＝12a，
由题意得，12a+5a＝17，
解得，a＝1，
∴AD＝CD＝AH＝12，BH＝5，
在Rt△CHB中，BC＝＝13，
∴四边形ABCD的周长＝12+12+17+13＝54，
∵CE是梯形ABCD的“等分周长线”，
∴点E在AB上，
∴AE＝17+13﹣27＝3，
∴EH＝12﹣3＝9，
由勾股定理得，EC＝＝15，
∴△BCE的周长＝14+13+15＝42，
故答案为：42．

【点睛】考查了的是直角梯形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理，解题关键是正确理解四边形的“等分周长线”的定义并运用．
三、解答题
19．解方程组：．
【答案】；
【分析】先由②得到y＝2x﹣1，并代入①，从而求得．
【详解】解：
由②得y＝2x﹣1．③
把③代入①，得3x2﹣（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）+3＝0．
整理后，得x2﹣2x﹣3＝0．
解得x1＝﹣1，x2＝3．
把x1＝﹣1代入③，得y1＝﹣3．
把x2＝3代入③，得y2＝5．
所以，原方程组的解是．
【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练地运用代入法消元是解题关键．
20．先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取．
【答案】，-2
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求得x的范围，据此得出x的整数值，继而根据分式有意义的条件得出x的值，代入计算可得．
【详解】解：



解不等式组
得：，
∴不等式组的整数解为-1，0，1，2，
∵x≠±1且x≠0，
∴x=2，
将x=2代入得，
原式=．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及解不等式组，解题的关键是掌握基本运算法则，并注意选取代入的数值一定要使原分式有意义．
21．某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A、B两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途经配货站C，甲先到达C地，并在C地用1小时配货，然后按原速度开往B地，乙车从B地直达A地．甲、乙两车间的路程（千米）与乙车出发时间（时）的函数关系如图所示．

(1) A、B两地间的距离是 ______千米，乙车的速度为______千米/时．
(2)求甲车出发至C地的过程中，与之间的函数关系式．
(3)直接写出乙车出发多长时间，两车相距220千米．
【答案】(1)400，80
(2)
(3)乙车出发1小时或4小时，两车相距220千米
【分析】（1）由图象可知，时，由题意知，当时，甲车到达地，当在时，乙车单独开往地，然后进行求解即可；
（2）待定系数法求解即可；
（3）分甲乙在地相遇之前与之后两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由图象可知，时，由题意知，当时，甲车到达地，当在时，乙车单独开往地，
∴A、B两地间的距离是400千米，乙车的速度为千米/时，
故答案为：400，80；
（2）解：甲车出发至C地的过程中，设y与x之间的函数关系式为，
将、代入，得，解得，
∴．
（3）解：在地相遇之前，
将代入得，，解得，
∴时，两车相距220千米，
在地相遇之后，
∵，，
∴时，甲车从C地出发开往地，甲乙相距40千米，
∵，
∴当甲乙再次相距400千米时，，
甲车从C地出发开往地的过程中，设y与x之间的函数关系式为，
将、代入，得，解得，
∴．
将代入得，，解得，
∴时，两车相距220千米，
综上所述，乙车出发1小时或4小时，两车相距220千米．
【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意并从函数图象中获取正确的信息．
22．在创客教育理念的指引下，国内很多学校都纷纷建立创客实践室及创客空间，致力于从小培养孩子的创新精神和创造能力，我区某校开设了A：“3D”打印：B：数学编程；C：智能机器人；D：陶艺制作，共四门创客课程，为了解学生对这四门创客课程的喜爱情况，数学兴趣小组对全校学生进行了随机抽样调查，根据调查的结果进行整理，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图，请你根据图中信息回答下列问题：

(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
(2)请通过计算补全条形统计图；
(3)若该校有2000名学生，请你根据调查估计全校最喜欢“数学编程”的学生有多少名？
【答案】(1)一共抽取了80名学生
(2)补图见解析
(3)估计全校最喜欢“数学编程”的学生有500名
【分析】（1）根据B的百分比可以求得A，C，D的百分比的和，再根据A，C，D的频数和进而可以求得样本容量．
（2）用总人数乘以B的百分比求出人数，从而补全统计图．
（3）根据统计图中的数据可以求得该校2000名学生中最喜欢“数学编程”的学生人数．
（1）∵B的百分比为，
∴A，C，D的百分比的和为，
∴一共抽取了（名）．
（2）数学编程的人数有：（名）
补全统计图如下：

（3）根据统计图中的数据可知，
该校2000名学生中最喜欢“数学编程”的学生人数为：（名）．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，明确题意，利用数学结合的思想解答是解此题的关键．
23．已知，如图，在中，，是中线，F是的中点，连接并延长到E，使，连接、．

(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）根据三角形中线性质可得，再题目已知条件可证得；
（2）根据直角三角形中线性质得，再由（1）结论可证，进而可求解；
（3）通过证明，得出，进而求出．
【详解】（1）F是的中点，
，
，，
．
（2），是中线，

，
，，

，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（3），是中线，
，
，，

四边形是菱形
，
在和中


，

，
，
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形中线性质，勾股定理等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题的关键．
24．在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，与x轴的负半轴交于点C．

(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)设点D在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），连接．
①如果与线段交于点E，且，求的正切值；
②如果与y轴交于点F，以为半径的，与以为半径的外切，求点D的坐标．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）把点、代入抛物线解析式可求解，然后令可求点C的坐标；
（2）①根据题意作图，则过点E作于点G，然后可得，则根据相似三角形的性质可得点E坐标，进而问题可求解；②由题意可知，然后过点D作于点H，设点，则有，进而问题可求解．
【详解】（1）解：把点、代入抛物线解析式得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
令，则有，
解得：，
∴；
（2）解：①如图所示：

过点E作于点G，
∴，
∴，
∴，
∵点、，
∴，即是等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴；
②如图所示：

∵以为半径的与以为半径的外切，
∴与相切于点F，即，
过点D作于点H，
∴，，
∴，
∴，
设点，则有，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴；
当点D在x轴的下方时，显然，所以以为半径的与以为半径的不会外切．
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系及二次函数的综合，熟练掌握圆与圆的位置关系及二次函数的综合问题是解题的关键．
25．已知：如图，△ABC为等边三角形，AB＝，AH⊥BC，垂足为点H，点D在线段HC上，且HD＝2，点P为射线AH上任意一点，以点P为圆心，线段PD的长为半径作⊙P，设AP＝x．

（1）当x＝3时，求⊙P的半径长；
（2）如图1，如果⊙P与线段AB相交于E、F两点，且EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△PHD与△ABH相似，求x的值（直接写出答案即可）．
【答案】（1）；（2）所求函数的解析式为，定义域为．（3），，，．
【分析】（1）根据△ABC为等边三角形，得出，∠B＝60°，由 ，AH⊥BC，求出AH，即得PH=AH-AP=6-x=3，利用勾股定理即可证明；
（2）过点P作PM⊥EF，垂足为点M，连接PE．在Rt△PHD中，HD=2，PH=6-x．利用勾股定理求出PD，然后在Rt△PEM中，由勾股定理得PM2+EM2=PE2．从而可求出答案；
（3）△PHD与△ABH相似，则有=，代入各线段的长短即可求出x的值．
【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴，∠B＝60°．
又∵，AH⊥BC，
∴．
即得PH＝AH﹣AP＝6﹣x＝3．
在Rt△PHD中，HD＝2，
利用勾股定理，得．
∴当x＝3时，⊙P的半径长为．
（2）过点P作PM⊥EF，垂足为点M，连接PE．

在Rt△PHD中，HD＝2，PH＝6﹣x．
利用勾股定理，得．
∵△ABC为等边三角形，AH⊥BC，
∴∠BAH＝30°．即得．
在⊙P中，PE＝PD．
∵PM⊥EF，P为圆心，
∴．
于是，在Rt△PEM中，由勾股定理得PM2+EM2＝PE2．
即得．
∴所求函数的解析式为，
定义域为．
（3）∵①△PHD∽△ABH，则有，
∴，
解得：PH＝，
∴x＝AP＝6﹣，
当P在AH的延长线上时，x＝6+；
②当△PHD∽△AHB时，，
即，
解得：PH＝2 ，
∴x＝AP＝6﹣2，
当P在AH的延长线上时，x＝6+2；
，，，．
【点睛】本题考查了相似三角形及等边三角形的判定与性质，难度较大，关键是掌握相似三角形的性质及勾股定理的运用．