数学（广西卷）-学易金卷：2023年中考第三次模拟考试卷

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2023年中考数学第三次模拟考试卷
数学·全解全析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
D
C
D
C
C
C
D
B
A
B




一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．﹣2023的绝对值等于（    ）
A．2023 B．﹣2023 C．土2023 D．2022
【答案】A
【分析】利用绝对值的代数意义，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，据此直接计算即可．
【详解】解：根据绝对值的定义可得 ；
故选：A
【点睛】本题考查绝对值的代数意义，掌握绝对值的意义是解题的关键．
2．原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据科学记数法的表示可得出答案．
【详解】根据科学记数法的知识可得:1700000=．
故选B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示，主要是要对小数点的位置要清楚．
3．不等式2x﹣1＜3的解集在数轴上表示正确的是(   )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先解得不等式的解，进而在数轴上表示出解集即可得到答案．
【详解】解：不等式的解集为
在数轴上表示为：

故选：D．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．下列运算正确的是（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题涉及幂的乘方、0次幂的运算、二次根式化简和幂的除法，针对每个考点分别计算即可．
【详解】解：A、错误，；
B、错误，0次幂的运算，，则；
C、算术平方根的运算，正确；
D、错误，同底数幂的除法，．
故选：C．
【点睛】本题综合考查了幂的除法、幂的乘方、0次幂以及二次根式的运算，熟练掌握公式运算法则是解题的关键．
5．如图，，直线BD经过点O，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】先利用垂直的含义求解 再利用邻补角的含义求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∵直线BD经过点O，
∴
故选D．
【点睛】本题考查的是垂直的含义，邻补角的含义，熟练的利用垂直与邻补角的定义求解角的度数是解本题的关键．
6．某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表：
年龄（单位：岁）
14
15
16
17
18
人数
2
6
3
4
3
则这些队员年龄的众数和中位数分别是（   ）
A．15，15 B．15，15.5 C．15，16 D．16，15
【答案】C
【详解】【分析】根据众数的概念，众数是在一组数据中出现次数最多的数，可以求得答案；根据中位数的概念，最中间两个数据15，16的平均数为中位数.
【详解】根据众数的概念，众数是在一组数据中出现次数最多的数，故该组数据的众数为15.根据中位数的概念，中位数是将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据，或是最中间两个数据的平均数，该组数据位于正中间的是15、16，故该组数据的中位数为15.5.
故选C.
【点睛】本题考核知识点：数据的收集和处理. 解题关键点：正确理解平均数、众数、中位数的意义.
7．在一个口袋中，装有质地、大小均相同、颜色不同的红球3个，蓝球4个，黄球5个，现在随机抽取一个球是红球的概率是（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，
∵地口袋中共有3+4+5=12个球，其中红球3个，
∴随机抽取一个球是红球的概率是.
故选C．
考点：概率．
8．正八边形的每个内角的度数是（　　）
A．144° B．140° C．135° D．120°
【答案】C
【分析】根据n边形的外角和为360°得到正八边形的每个外角的度数，然后利用补角的定义即可得到正八边形的每个内角．
【详解】∵正八边形的外角和为360°，
∴正八边形的每个外角的度数＝＝45°，
∴正八边形的每个内角＝180°﹣45°＝135°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了多边形内角与外角，关键是熟记边形的外角和就是360.
9．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式解集为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】只需要找到一次函数图象在正比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵正比例函数与一次函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴
由函数图象可知，当时，一次函数图象在正比例函数图象下方，
∴关于的不等式解集为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了用图象法求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
10．如图，的外接圆的半径为，点分别为的中点，为边上的高，若，则的值为（  ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接 证明 求解 得到再利用三角形的中位线可得从而可得答案．
【详解】解：如图，连接







分别为的中点，
为的中位线，


故选B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，圆周角定理，三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．
11．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　）

A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
【答案】A
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则，即可求解．
【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，
且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，
∴，
∴（20−x）2＝20x，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
12．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先确定A、B、C、D的坐标，构造点D关于x轴的对称点，连接交x轴与点P，此时的值最小，确定直线的解析式，再确定直线与x轴的交点坐标即可．
【详解】因为直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，

所以，，，，
作点D关于x轴的对称点，
则
连接交x轴与点P，此时的值最小，
设直线直线的解析式为，
所以，
解得，
所以直线解析式为，
当时，
，
解得，
所以，
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，中点坐标公式，线段和最小问题，熟练掌握待定系数法，利用轴对称的性质求线段和最小是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．若代数式有意义，则实数x的取值范围是_____．
【答案】x≥﹣4
【详解】由题意得，x+4≥0，
解得x≥﹣4．
故答案是：x≥﹣4．
14．面试时，某应聘者的学历、经验和工作态度的得分分别是75分、80分、85分，若依次按照1：2：2的比例确定成绩，则该应聘者的最终成绩是_____分．
【答案】81
【分析】利用加权平均数的计算方法进行计算即可．
【详解】解：＝81，
故答案为：81．
【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
15．已知点在第二、四象限的角平分线上，则m的值为______．
【答案】-1
【分析】根据第二、四象限的角平分线上点的特点即可得到关于a的方程，进行求解即可．
【详解】解：点在第二、四象限的角平分线上，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查了二、四象限角平分线上点的特点，掌握象限角平分线上点的特点是解题的关键．
16．分解因式：x3－2x=______________.
【答案】x(x2-2)
【详解】.
17．如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为__________．

【答案】1
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出的长，然后相减即可得到的长．
【详解】解：为的中位线，
，
，
，
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
18．如图，在边长为5的正方形中，点E，F分别是上的两点，BE⊥EF，，则的长为______．

【答案】
【分析】由于，所以过E作的垂线交于N，交于M，证明，设，利用列出方程，再运用勾股定理即可求解．
【详解】解：过E作的垂线交于N，交于M，如图，

∵是正方形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，为对角线，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
在，,
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用，构造一线三直角的全等模型，是解决此题的突破口．

三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
19．计算：．
【答案】
【分析】直接利用零指数幂的性质、立方根以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【详解】解：


．
【点睛】此题主要考查了实数运算，涉及到零指数幂的性质、立方根以及特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
20．解不等式组：．
【答案】
【分析】分别解每一个不等式，找到它们的公共部分，即可得解．
【详解】解：由，得：；
由，解得：；
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键．
21．如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．

【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出的平分线AF即可解答；
（2）根据直角三角形斜边中线性质得到并求出，再根据等腰三角形三线合一性质得出，从而得到EF为中位线，进而可证，，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．
【详解】解：（1）如图，AF平分，

（2）∵，且，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵AF平分，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴
又∵
∴为等边三角形．
【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理．
22．为了拓展学生视野，培养学生读书习惯，某校围绕着“你最喜欢读的书是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：

(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)求本次抽样调查中最喜欢小说类的学生数，并补全条形图；
(3)若该校共有1 800名学生，请你估计全校学生中最喜欢动漫类的人数约为多少？
【答案】(1)50人(2)5人，补全条形图见解析(3)720名
【分析】（1）根据科普人数和对应的百分比求得抽样调查的人数即可；
（2）根据抽样调查的人数减去参加科普、动漫、和其他兴趣小组的人数可得答案，补充条形统计图；
（3）根据喜欢动漫类的人数所占的百分比，即可用乘法求得估计全校学生中最喜欢动漫类的人数．
（1）解： 15÷30%=50(人)，
答：本次抽样调查中最喜欢小说类的有50名学生．
（2）
解：喜欢小说类的学生：50-15-20-10=5(人)，
画图如下：

（3）
解：1800×=720(名)
答：估计全校学生中最喜欢动漫的人数约为720名．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．某新华书店决定用不多于28000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售，已知甲种图书进价是乙种图书每本进价的1.4倍，若用1680元购进甲种图书的数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本，
(1)甲乙两种图书的进价分别为每本多少元？
(2)新华书店决定甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，问书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？（购进两种图书全部销售完）
【答案】(1)甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；
(2)甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大，最大利润13000元．

【分析】（1）设乙种图书进价每本元，则甲种图书进价为每本元，由题意：用1680元购进甲种图书数量比用1400元购进的乙种图书的数量少10本．列出分式方程，解方程即可；
（2）设书店甲种图书进货本，总利润元，由题意：甲种图书售价为每本40元，乙种图书售价每本30元，求出，再由新华书店决定用不多于28000元购进两种图书共1200本进行销售，列出的一元一次不等式，解得，再由一次函数的性质求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设乙种图书进价每本x元，则甲种图书进价为每本元
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
甲种图书进价为每本元．
答：甲种图书进价每本28元，乙种图书进价每本20元；
（2）设甲种图书进货a本，总利润元，
由题意得：，

解得：，
∵，
随a的增大而增大，
∴当a最大时w最大，
∴当本时，w最大（元），
此时，乙种图书进货本数为（本）．
答：甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大，最大利润13000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24．某综合实践小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．为了减小测量误差.小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
课题
测量旗杆的高度
成员
组长×××  组员：×××，×××，×××
测量工具
测量角度的仪器、皮尺等
测量示意图

说明：左图为测量示意图，线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内.点，，在同一条直线上，点在上．
测量数据
测量项目
第一次
第二次
平均值
的度数



的度数



，之间的距离




(1)任务一：两次测量，，之间距离的平均值是_______；
(2)任务二：根据以上测量结果，请你帮助该综合实践小组求出学校旗杆的高度．
（参考数据：，，，，，）
【答案】(1)5.5
(2)旗杆的高度为

【分析】（1）根据平均数的定义求解即可；
（2）由题意可得，四边形，四边形都是矩形，设，则在中，由，可得；再在中由三角函数可得，结合可得，求解即可获得答案．
【详解】（1）平均值：，
故答案为：5.5；
（2）由题意可得，四边形，四边形都是矩形，
∴，，
设，
在中，，，
∵，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：旗杆的高度为．
【点睛】本题主要考查了平均数、矩形的性质、三角函数的应用等知识，理解题意，正确运用三角函数解决问题是解题关键．
25．如图，是的直径，点是延长线上一点，过点作的切线，切点是，过点作弦于，连接，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）第一问考查切线的证明，总体思路为“连半径，证垂直”，根据题目已知PC是圆的切线，连接OD后，可根据利用垂径定理，结合角的互换或者证明△PCO与△PDO全等，进一步证明垂直即可解答。
（2）第二问根据AB是直径，可据此可知考查圆周角定理的运用，同时在直角三角形中要结合正切三角函数具体特点进行边的互换，具体可做辅助线结合勾股定理解答。
【详解】解（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，即，
∵∴
∴
∴
∵∴，
∴，
∴是的切线．

（2）如图2，连接，
∵是的直径，∴，
∴
设，，则由勾股定理得：，解得：，
，，
∵，即，
∴
∵
在中，，
∵
∴，即，
∴
∴

【点睛】本题目考查圆的综合运用，第一问证切线需掌握“连半径，证垂直”原则，多数情况通过构造全等进一步证明垂直；第二问需要对各已知条件其潜在考点有深度掌握，如“看见直径，要想到直角”，解答过程为提升效率可设未知数。
26．如图1，在平面直角坐标系中，经过点D（﹣2，m）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（2，0），B（点B在点A的左侧）两点，AD交y轴正半轴于点E，过点D作DC⊥x轴于点C，AC＝DC．

(1)求抛物线的表达式．
(2)连接BE交DC于点Q，抛物线上存在点P，满足PB＝PE，求点P的坐标．
(3)如图2，M，N分别是线段DC，AC上的点，且∠MEN＝45°，连接MN，若△MCN中有一个锐角的正切值为2，直接写出S△DME的值．
【答案】(1)；
(2)P点坐标为（+1，﹣2﹣5）或（﹣+1，2﹣5）；
(3)S△DME＝+1或2﹣2

【分析】（1）先根据坐标间的关系，求出D点坐标（﹣2，4），进而把A．D两点的坐标代入y＝ax2+bx+4，即可求出a，b的值，即可得抛物线的表达式；
（2）令y＝0，即y＝﹣x2﹣x+4＝0可得抛物线与x轴的交点坐标B（﹣4.0}，表示出各边的长度，证明△QBF∽△OBE的条件，可，在Rt△OEB中，利用勾股定理得BE＝2，进而可求F（﹣，0），再求直线QF表达式y＝﹣2x﹣3，再求直线QF和抛物线y＝﹣x2﹣x+4＝0的交点P，即可得本题答案；
（3）过点E作EH⊥DC于点H，在OA上截取OM'＝HM，则△HME≌△OME，△EMN≌△EM′N，MN＝NO+HM，再分CN＝2CM和CM＝2CN两种情况，分别求出S△DME即可．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（﹣2，m），DC⊥x轴，点C的坐标为（﹣2，0），
∴DC＝AC＝4，∵DC⊥x轴，m＝4，
∴D（﹣2，4），
将A（2，0）和D（﹣2，4）两点分别代入y＝ax2+bx+4中，得，解得：，
∴抛物线的表达式：y＝﹣﹣x+4；
（2）解：令y＝0，即﹣x2﹣x+4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣4，
则点B的坐标为（﹣4，0），
∵点C的坐标为（﹣2，0），
∴点C是BO的中点，∵OE⊥x轴，∴CD∥OE，∴点Q为BE的中点，
∵DC＝AC，∠DCA＝90°，∴∠OAE＝45°，∵∠EOA＝90°，∴EO＝OA＝2，
∴点Q的坐标为（﹣2，1），
∵PB＝PE．BQ＝EQ
∴直线PQ是线段BE的垂直平分线，
如图1，设直线PQ交OB于点F，

∵PQ⊥BE，
∴∠BQF＝∠BOE＝90°，
∵∠QBF＝∠OBE，
∴△QBF∽△OBE，
∴＝，
在Rt△OEB中，∠BOE＝90°，∴BE＝＝2，∴BQ＝BE＝，
∴＝，∴BF＝，∴OF＝OB﹣BF＝，∴F（﹣，0），
设直线QF的关系式为：y＝kx+b，∴，解得：，
∴直线QF的关系式为：y＝﹣2x﹣3，
当﹣﹣x+4＝﹣2x﹣3时，x＝+1或﹣+1，
∴P点坐标为（+1，﹣2﹣5）或（﹣+1，2﹣5）；
（3）解：如图2，过点E作EH⊥DC于点H，在OA上截取点M′，使得OM′＝HM，

∵点D坐标为（﹣2，4），点A坐标为（2，0），∴HE＝EO＝2，∵∠EHM＝∠EOM′，OM′＝HM，
∴△HME≌△OM′E（SAS），∴ME＝M′E，∠HEM＝∠OEM′，
∴∠NEM′＝∠NEO+∠M′EO＝∠NEO+∠HEM＝90°﹣45°＝45°，
在△MEN和ΔM′EN中，∴△MEN≌ΔM′EN（SAS），∴MN＝M′N＝NO+M′O，
①当CM＝2CN时，设CN＝x，则CM＝2x，ON＝2﹣x，HM＝2﹣2x，在Rt△CMN中，∠MCN＝90°，
MN2＝CN2+CM2，即（4﹣3x）2＝x2+（2x）2，解得：x＝3﹣或3+（舍去），
∴MC＝6﹣2，DM＝DC﹣MC＝2﹣2，∴＝2﹣2；
②当CN＝2CM时，设CM＝x，CN＝2x，则ON＝2﹣2x，HM＝2﹣x，∴（4﹣3x）2＝x2+（2x）2，
解得：x＝3﹣或3+（舍去），∴MC＝3﹣，DM＝DC﹣MC＝+1，
∴S△DME＝＝+1，
综上所述，S△DME＝+1或2﹣2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，三角形全等知识，勾股定理，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，分类讨论思想，数形结合思想的综合运用．