2023年广东省广州市花都区中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省广州市花都区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面四个几何体中，从正面看是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  激昂奋进新时代，推进中国式现代化，年全国两会公布了年国内生产总值，近五年国内生产总值呈逐年上升趋势，分别为，，，，单位：万亿，这五个数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，在中，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  对于一次函数，下列说法错误的是(    )

A. 随的增大而减小 B. 图象与轴交点为
C. 图象经过第一、二、四象限 D. 图象经过点

7.  如图，一枚运载火箭从地面处发射，雷达站与发射点距离，当火箭到达点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  关于的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

9.  如图，三个边长分别为，，的菱形如图所示拼叠，则线段的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，点，，点从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动了秒，直线上有一动点，轴上有一动点，当的和最小时，点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  如图，，，则的度数为______ ．

12.  计算：          ．

13.  方程的解为______．

14.  物理学中，在压力不变的情况下，某物体承受的压强与它的受力面积成反比例函数关系，则表中压强与的大小关系为： ______ 填“”，“”或“”

15.  一副三角板如图摆放，点为中点，连结，将三角板绕点顺时针旋转角度，使得，则的度数为______ ．

16.  如图，边长为的正方形中，点为边上动点不与、重合，连接，将沿折叠得到，延长交于点，连接，交于点，连接则下列结论：；的周长是定值；当点是中点时，；点到距离的最大值为其中正确的结论有______ 填写所有正确结论的序号．

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

17.  解方程组：．

四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
如图，在矩形中，点为的中点，连接和，求证：≌．

19.  本小题分
已知：
化简；
当满足不等式组，且为整数时，求的值．

20.  本小题分
为振兴乡村文化，某社区准备开展“乡村文化宣讲”活动为了更好的开展活动，该社区随机抽取部分居民，调查他们对乡村文化的了解情况根据调查结果，把居民对乡村文化的了解程度分为“非常了解”“比较了解”“有点了解”“不了解”四个层次，并依据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
这次共抽取了______ 位居民进行调查；扇形统计图中，“”层次所占圆心角的度数是______ ．
现拟从“非常了解”乡村文化的甲、乙、丙、丁四位居民中任选位担任乡村文化推广使者，请用列举法求恰好选中甲、乙两位居民的概率．

21.  本小题分
“桃之夭夭，灼灼其华”，每年月份，我区某湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光小王抓住这一商机，计划从市场购进、两种型号的手机自拍杆进行销售据调查，购进件型号和件型号自拍杆共需元，其中件型号自拍杆价格是件型号自拍杆价格的倍．
求件型号和件型号自拍杆的进价各是多少元？
若小王计划购进、两种型号自拍杆共件，并将这两款手机自拍杆分别以元元的价钱进行售卖为了保证全部售卖完后的总利润不低于元，求最多购进型号自拍杆多少件？

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴、轴分别交于点、过点作轴，垂足为．
求反比例函数的表达式；
点为反比例函数图象上的一点，且位于点的右侧从条件或者条件这两个条件中选择一个作为已知条件，求点的坐标．
条件：；
条件：面积是面积的倍．
注明：如果选择条件与条件分别作答，按第一个解答计分．

23.  本小题分
如图，是的外接圆，直径，，平分交于点．
尺规作图：在的延长线上取一点，使得，连接；保留作图痕迹，不写作法
在所作的图中：
证明：是的切线；
求的值．

24.  本小题分
如图，已知，在射线、上分别截取点、，使．

求证：；
如图，以为直径在的上方作一个半圆，点为半圆上的一个动点，连接交于点．
当时，求的长．
在线段上取一点，连接交于点，若，当点在半圆上从点运动到点时，求点经过的路径长．

25.  本小题分
已知抛物线，过点．
求，之间的关系；
若，抛物线在的最大值为，求的值；
将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的新抛物线顶点记为点，若，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最小的数是．
故选：．
正数大于，负数小于，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
本题考查了有理数的大小比较，注意两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：该圆柱的主视图为长方形，不符合题意；
B.该圆锥的主视图为三角形，符合题意；
C.球的主视图是圆，不符合题意；
D.正方体的主视图是正方形，不符合题意．
故选：．
找到从正面看所得到的图形为三角形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：将这组数据从小到大排列为，，，，，
这组数据的中位数为，
故选：．
将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故选项A正确，符合题意；
，故选项B不正确，不符合题意；
 ，故选项B不正确，不符合题意；
，故选项B不正确，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，逐项分析计算即可求解．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，熟练掌握运算运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故选：．
根据垂径定理得出，然后根据圆周角定理即可求解．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握以上定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：中，，，
A.，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
B.当时，，则图象与轴交点为，故该选项正确，不符合题意；
C.，，则图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，不符合题意；
D.当时，，则图象经过点，故该选项不正确，符合题意；
故选：．
根据一次函数的性质，与坐标轴的交点，逐项分析判断即可求解．
此题考查了一次函数图象的增减性，求函数值，与坐标轴交点，能正确根据判断增减性是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
．
故选：．
根据正切的定义即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，仰角问题，掌握三角函数的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴是：，
的顶点在轴的右侧，
又关于的一元二次方程没有实数根，
开口向上的抛物线与轴没有交点，
抛物线的顶点一定在第一象限．
故选：．
求出抛物线的对称轴，可知顶点在轴的右侧，根据“关于的一元二次方程没有实数根”，可知开口向上的抛物线与轴没有交点，据此即可判断抛物线在第一象限．
本题考查了抛物线与轴的交点个数与相应一元二次方程的解的个数的关系，要熟悉二次函数的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，

依题意，，，，，
∽，
，
即，
解得：，
，
故选：．
根据菱形的性质得出，，，，进而可得∽，根据相似三角形的性质得出，即可求解．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：在轴的负半轴上取一点，使得，连接，作点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点，连接，，，交轴于点，过点作于点．

，，
，
当，，，共线时，的值最小，
，，，
，
，
，
点从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动了秒，
，
，
，
，，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，

故选：．
在轴的负半轴上取一点，使得，连接，作点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点，连接，，，交轴于点，过点作于点由，，推出，当，，，共线时，的值最小．
本题考查轴对称最短问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
根据垂线的定义得出，根据余角的定义即可求解．
本题考查了垂线的定义，熟练掌握求一个角的余角是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．
先化简，再合并同类二次根式即可．
【解答】
解：．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

14.【答案】 

【解析】解：压强与它的受力面积成反比例函数关系，设，
依题意，
反比例函数解析式为：，，
随的增大而减小，
，
，
故答案为：．
根据表格数据求得反比例函数解析式，根据反比例函数的性质即可求解．
本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作，

则，
，为中点，
，
，
即的度数为，
故答案为：．
过点作，则，根据等腰三角形的性质，三角板中角度的计算即可求解．
本题主要考查了旋转的性质、直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
由折叠性质可知：，，，，
，，
又，
≌，
，，
，
，
，
，故正确；
，，
，
的周长．
的周长，故正确；
如图：连接交于，过作，

，，
，
，，
，
，
故当、、三点重合，即、、在同一直线上时，点到距离最大，最大值为，故正确；
设，则，
当点是中点时，
，
，
在中，，
，
，即，
在正方形中，，
∽，
，
，
，
解得：，故错误，
故答案为：．
证明≌得，，进而得，便可判断的正误；
由、可得的周长是便可判断的正误；
设，在中，利用勾股定理，求出，再由相似三角形得出，即可求出；便可判断的正误；
连接、过作，易得，，由故DG，由此即可得出结论．便可判断的正误．
本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

17.【答案】解：
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
原方程组的解为． 

【解析】本题考查解二元一次方程组，考查计算能力，属于基础题．
利用加减消元法解二元一次方程组．
 

18.【答案】证明：在矩形中，点为的中点，
，，，
≌． 

【解析】根据矩形的性质得出，，根据点为的中点，得出，进而根据，即可证明≌．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质与全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；
解不等式组，得，
其中整数为，
． 

【解析】根据分式的加法法则、乘法法则化简；
解不等式组求出的范围，进而确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：这次共抽取的居民人数为：位；
扇形统计图中，“”层次所占圆心角的度数是，
故答案为：，；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位居民的结果有种，
恰好选中甲、乙两位居民的概率为．
由“”层次的人数除以所占百分比得出这次共抽取的居民人数，再由乘以“”层次的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位居民的结果有种，再由概率公式即可得出结论．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设型号自拍杆的进价是元，型号自拍杆的进价是元，
根据题意得，，
解得，
答：型号自拍杆的进价是元，型号自拍杆的进价是元；
设购进型号自拍杆件，则购进型号自拍杆件，
根据题意得，，
解得，
答：最多购进型号自拍杆件． 

【解析】设型号自拍杆的进价是元，型号自拍杆的进价是元，根据购进件型号和件型号自拍杆共需元，其中件型号自拍杆价格是件型号自拍杆价格的倍列方程即可得到结论；设购进型号自拍杆件，则购进型号自拍杆件，根据全部售卖完后的总利润不低于元列方程，即可得到结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
 

22.【答案】解：把点代入一次函数解析式得，
，，
点为，
把点代入反比例函数 得，，
反比例函数的表达式为：；
连接，，

设点坐标为，由知点，点，
；
，
解得：，
点再上，
，
点的坐标为．
连接，，设点坐标为，由知点，点，

一次函数的图象与轴交于点，
点坐标为，
，，
，
面积是面积的倍，
，即，
解得：，
点再上，
，
点的坐标为． 

【解析】根据一次函数解析式确定的值，代入反比例函数解析式确定的值，求出反比例函数的解析式；
连接，，利用求两点间距离列等式，求出点的坐标．
连接，，根据点的坐标确定三角形的边长，求出面积和面积，再求出点的坐标．
本题考察一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是借助几何中线段与三角形的面积列等式求出点的坐标．
 

23.【答案】如图，以为圆心，以的长为半径画弧，交的延长线于点，
则点即为所求．
证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
又是半径，
是的切线．
解：如图，过点作，垂足为，
，平分，
，
，
，
．
，，
∽，
，
，
解得，
，
，
，
∽，
，
． 

【解析】以为圆心，以的长为半径画弧，交的延长线于点即可．
先证，再由是半径即可得结论．先证∽，得出的长，再证∽即可．
本题主要考查了圆的切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定等知识，把所学知识融会贯通，灵活运用是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
是等边三角形，
．
解：如图，连接，
，
，
是等边三角形，
，，
，
点为半圆上的一个动点，
，
，
，
．
解：是等边三角形，
，，
如图，当时，
，，
≌，
，
，
点在边的中垂线上，
此时点经过的路径为．
如图，时，即时，
，，
≌，
，
此时点经过的路径为图中以为弦的弧长，
最高点在边中垂线上，线段的处．
．
设弦所在圆的半径为，由垂径定理得，
，
解得，，
弦所对的圆心角为
弧的长
综上得，点经过的路径长为或． 

【解析】证明是等边三角形即可得到结果．
连接，则，，先求出，再利用勾股定理即可求出．
分类讨论：当时，证明≌得到，点在边的中垂线上，求出的高即可．当时，≌，此时点经过的路径为图中以为弦的弧长，求出弧的圆心角，半径，再求出弧长即可．
本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，弧长计算公式等知识，合理进行分类讨论，准确找到点的运动轨迹是解题关键．
 

25.【答案】解：把点代入抛物线中，得：
，
，
；
当时，，
，
，
当时，，
当时，，
当时，，
分两种情况：
当时，，
故抛物线在中最大值为，
，
；
当时，，
故抛物线在中最大值为，
，
，
综上，的值是或；
由知：，
，
抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的新抛物线为：，
顶点的坐标为，
顶点在直线上，
若为任意正实数时，，即点到直线的最小距离为，
分两种情况：
如图，当时，设直线交轴于，交轴于，过点作于，

则，，
，，
，
，
，
；
当时，同理得：；
综上，的取值范围是或． 

【解析】把点代入抛物线中可得结论；
分两种情况：；，分别根据增减性和已知条件列方程可解答；
先将抛物线的解析式化为顶点式，并根据平移的规律得到新的解析式：，确定的坐标和所在直线：，分和两种情况，可得结论．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，等腰直角三角形性质等，熟练掌握二次函数的增减性和平移的原则是解题的关键．