2022-2023学年广东省汕头市潮阳区骏荣学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省汕头市潮阳区骏荣学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，，则与的关系是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知一个直角三角形的两边长分别为和，则斜边长是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

3.  在平行四边形中，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简结果为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，直线经过▱的对角线交点，若平行四边形的面积为，则四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知最简二次根式与可以合并，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，一棵树在一次强台风中在离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成，这棵树在折断前的高度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9.  如图，菱形的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数如：，这样的化简过程叫做分母有理化我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．
利用有理化因式，可以得到如下结论：
；
设有理数，满足，则；
；
已知，则；
．
以上结论正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若，则 ______ ．

12.  若代数式有意义，则实数的取值范围是______ ．

13.  如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升到，则橡皮筋被拉长了______．

14.  如图，平行四边形中，对角线、相交于点，过点的直线分别交、于点、，若，，，则图中阴影部分的面积是______．

15.  如图，正方形中，点、、分别是、、的中点，、交于，连接、下列结论：；；；其中正确的有______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．

18.  本小题分
如图，，是平行四边形的对角线上两点，且，求证：．

19.  本小题分
为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地进行新的规划，如图，点是边上的一点，过点作垂直于的小路，点在边上经测量，米，米，米，比长米．
求的面积；
求小路的长．

20.  本小题分
如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米
此时梯子顶端离地面多少米？
若梯子顶端下滑米到处，那么梯子底端将向左滑动多少米到处？

21.  本小题分
如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作的垂线交的延长线于点．
证明：．
若，，求菱形的面积．

22.  本小题分
一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．
设其中、、、均为正整数，则有，，这样可以把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：______，______．
利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：________________________；
化简

23.  本小题分
如图，四边形是正方形，以为边作等边，连接．
如图，求的度数是______ ；
如图，连接对角线，交于点，连接，求证：；
如图，在的条件下，当时，求面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
计算的值，然后对选项进行判断．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：当两直边长分别为和，则斜边长是，
直角三角形的斜边长也可能是，
直角三角形的斜边长是或．
故选：．
分两种情况，当两直边长分别为和时，由勾股定理可求斜边长，直角三角形的斜边长也可能是，即可得到答案．
本题考查勾股定理，关键是要分两种情况讨论，并掌握勾股定理．
 

3.【答案】 

【解析】解：在▱中有：，，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形对角相等即可求出，进而可求出．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，
，，，



，
故选：．
先根据数轴上点的位置得到，然后根据二次根式的性质化简即可．
本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，正确得到是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
故选：．
先求出，，再将所求式子变形后代入即可．
本题考查分式化简求值，涉及二次根式运算，解题的关键是将所求式子变形后代入．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接、，
四边形是平行四边形，
，，，，，，
，，，
在和中，
，
≌，
在和中，
，
≌，
在和中，
，
≌，
，，，
，
，
，
故选：．
连接、，利用平行四边形的性质证明≌、≌、≌，即可证明，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质、对顶角的定义、全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识证明三角形全等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：最简二次根式与可以合并，
，
，
故选：．
根据同类二次根式的定义得出，再求出即可．
本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，根据题意米，
，
米，
米．
故选：．
根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
本题主要考查了含度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线交于原点，点的坐标为，点的坐标为，
，，
解得，，
，
故选：．
根据题意可知，原点为对角线的中点，然后即可求得、的值，从而可以求得的值．
本题考查菱形的性质、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出、的值．
 

10.【答案】 

【解析】解：，故正确；
，
，，故错误；
，，
，
，故正确；
，而，
，故错误；
，故正确；
正确的有．
故选：．
利用有理化因式进行变形计算后即可判断．
本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，再二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

11.【答案】 

【解析】解：与有意义，
，解得，
，
．
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而得出的值，根据零指数幂的运算法则进行计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：且，
．
故答案为：．
根据分母不等于、二次根式中的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：中，，；
根据勾股定理，得：；
；
故橡皮筋被拉长了．
根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
 

14.【答案】 

【解析】解：平行四边形中，对角线、相交于点，
，
阴影部分面积等于的面积，即为▱面积的一半，
过点作于点，

，，
，，
，
阴影部分面积为，
故答案为：．
由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
点、、分别是、、的中点，
，
在与中，
，
≌，，
，
，
，
，
，故正确；
在中，是边的中点，
，故正确；
如图，连接，

同理可得：，
，
，
垂直平分，
，故正确；
，
同理：≌，
，
，
，
，
故正确．
综上所述：正确的有：．
故答案为：．
连接，由四边形是正方形与点、、分别是、、的中点，易证得≌与≌，根据全等三角形的性质，易证得与，根据垂直平分线的性质，即可证得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，根据等腰三角形的性质，即可得则问题得解．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】先根据二次根式的性质、立方根的定义、零次幂和负整数次幂的运算法则化简各数，再根据实数的混合运算计算即可．
本题考查实数的混合运算，掌握二次根式的性质、立方根的定义、零次幂和负整数次幂的运算法则是解题的关键．
 

17.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的减法法则进行计算再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的运算法则是关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
又，
，
≌；
，
． 

【解析】借助平行四边形的性质，利用“”证明≌，由全等三角形的性质可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明．
本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，证明≌是解题关键．
 

19.【答案】解：米，米，米，
，
，



米
答：的面积是米；
由知，，
比长米，
．
由勾股定理知：，即．
米．
米
，
，
米，
答：小路的长为米． 

【解析】根据勾股定理的逆定理推知是直角三角形，然后利用直角三角形的面积公式作答；
根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题主要考查了勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法，属于常考题型．
 

20.【答案】解：米，米，
梯子距离地面的高度米，
答：此时梯子顶端离地面米；
梯子下滑了米，即梯子距离地面的高度米，
米，
米，即下端滑行了米．
答：梯子底端将向左滑动了米． 

【解析】利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
由可以得出梯子的初始高度，下滑米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理即可得出答案．
本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
；
解：由可知，，四边形是平行四边形，
，，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
． 

【解析】由菱形的性质得出，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
由平行四边形的性质得，再由菱形的性质得，，，然后求出，则，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：；；
；；；；答案不唯一






 

【解析】

【分析】
本题考查了利用分母有理化和利用完全平方公式对二次根式化简，以及对这种方法的拓展应用，本题具有一定的计算难度．
将用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；
设，则，可将和用和表示出来，再给和取特殊值，即可得答案；
利用题中描述的方法，将双重根号先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并即可．
【解答】
解：，
，
故答案为：，；
设
则
，
若令，，则，
故答案为：，，，；
见答案．  

23.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
．
故答案为：；

证明：如图，连接．

四边形是正方形，是等边三角形，
，，
，
，
，
．
，
同法可证，
，
，
，
，
；

解：如图中，过点作于点．

，，，
≌，
，
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
的面积．
证明，，可得结论；
连接，证明，可得结论；
如图中，过点作于点想办法求出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．