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2023年河南省商丘一中中考数学一模试卷附解析
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这是一份2023年河南省商丘一中中考数学一模试卷附解析，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省商丘一中中考数学一模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在下面的四个有理数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．﹣
2．（3分）截至2022年12月31日22时，我国最大油气田——中国石油长庆油田全年生产油气产量突破6500万吨，达到6501.55万吨，创造了国内油气田年产油气最高纪录．数据“6501.55万”用科学记数法可表示为（ ）
A．6.50155×107 B．6.50155×106
C．65.0155×106 D．0.650155×108
3．（3分）如图所示的几何体可以近似地看作由圆台和正方体组成，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8 B．（2a3）2＝4a6
C．（ab）6÷（ab）2＝a3b3 D．（a+b）（a﹣b）＝a2+b2
5．（3分）将一副三角板如图放置，则∠1的度数是（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
6．（3分）学校对八年级某班针对上学的交通工具选用情况进行调查（单选题），其中A（骑车），B（私家车），C（步行），D（乘公交车），结果如图所示：
根据以上统计图，下列判断错误的是（ ）
A．选A的有8人 B．选B的有4人
C．选C的有28人 D．该班共有40人参加调查
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）一个不透明的口袋中有4个除标号外其余均相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，充分混合后随机摸出一个小球记下标号，放回后混合再随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象交平行四边形OABC于点C，交平行四边形的对角线OB于点M（4，2），点A在x轴的正半轴上，已知平行四边形OABC的面积是24，则点B的坐标为（ ）
A．（6，3） B． C．（8，4） D．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点P为动线DA上一个动点，连接CP，点E为CD上一点，且DE＝2，在射线AB上截取点Q使EQ＝CP，交CP于点M，连接BM，则BM的最小值为（ ）
A．8 B．12 C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）关于x的不等式组，写出一个x的负无理数解为 ．
13．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：5，BD＝6，则BF的值是 ．
14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CD⊥OA交弧AB于点D，连接AB交CD于点E，若OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P为AB上一个动点，以PC为轴折叠△APC得到△QPC，点A的对应点为点Q，当点Q落在△ABC内部（不包括边）上时，AP的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分0分）
16．（1）计算：．
（2）解不等式组．
17．某市举办中学生田径赛，某中学准备选派一名立定三级跳选手参加比赛，对甲、乙两名同学进行了8次立定三级跳选拔比赛，他们的原始成绩（单位：m）如表：
学生/成绩/次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲
7.3
7.1
7.3
7.5
7.2
7.3
7.5
7.2
乙
7.3
7.5
7.5
6.7
6.5
7.8
7.5
7.6
两名同学的8次立定三级跳成绩数据分析如下表：
学生/成绩/名称
平均数
（单位：m）
中位数
（单位：cm）
众数
（单位：m）
方差
（单位：m2）
甲
a
b
c
d
乙
7.3
7.5
7.5
0.1825
根据图表信息回答下列问题：
（1）求出a、b、c、d的值；
（2）这两名同学中， 的成绩更为稳定；（填甲或乙）
（3）若预测立定三级跳7.1m就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择哪位同学参赛，并说明理由．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，以CB上一点O为圆心作圆，切AB于点D，交CB于点E．
（1）作CE的垂直平分线交CE上方⊙O于点M，连接MD交CB于点N（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 ）．
（2）①在（1）的条件下，求证∠M+∠BDN＝90°；
②若⊙O的半径为3，求ON的值．
19．在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量学校旁边的一座古塔的高度，同学们设计了两个测量方案如下：
课题
测量古塔（AB）的高度
测量工具
测角仪，1.5m标杆，皮尺等
测量小组
第一组
第二组
测量方案示意图
说明
点C、E、B在同一直线上，CD、EF为标杆
CD为古塔旁边的两层小楼
测量数据
从点D处测得A点的仰角为35°，从点F处测得A点的仰角为45°，CE＝10m
从点D处测得A点的仰角为35°，CD＝10m
（1）根据以上数据请你判断，第 小组无法测量出古塔的高度？原因是 ；
（2）请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出古塔的高度．（精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
20．2022年岁末，随着“新十条”的颁布，各地疫情防控政策逐步放开，为加强个人防护，卫生部门建议居民外出佩戴N95口罩，某口罩厂为抓住商机，组织人员科技更新，购买甲乙两种原材科进行生产，该厂计划购买甲，乙两种原材科共1000吨，已知甲种原材料每吨250元，乙种原材科每吨300元，通过调查了解，甲，乙同种原材料的利用率分别是90%和95%．
（1）若购买这两种原材料共用去280000元，则甲、乙两种原材料各购买多少吨？
（2）要使这批原材料的利用率不低于92%，则甲种原材料最多购买多少吨？
（3）在（2）的条件下，应如何选购原材料，使购买原材料的费用最低？并求出最低费用．
21．如图，抛物线交x轴于A（﹣2，0），B两点，交y轴于点C（0，﹣4），直线y＝ax+m经过点B，C．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）将抛物线位于第二象限的图象沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．直线y＝ax+m的平行线y＝ax+n与新图象只有1个公共点时，求n的取值范围．
22．中考复习中，小明对初中学习过的三个函数进行总结，并把三种函数组合成分段函数y＝，小明对这个分段函数利用函数的学习方法进行分析，以下是小明的分析过程，请补充完整．
（1）列表：
x
﹣7
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
y
1
2
3
2
1
0
2
n
0
解析式中的m＝ ，表格中的n＝ ．
（2）描点，连线：
请画出函数图象；
（3）分析图象：
根据函数图象，写出函数的一条性质： ；
（4）拓展研究：
①者直线y＝k与该函数图象有一个交点，则k的取值范围： ；
②若直线y＝k与该函数图象有两个交点则k的取值范围： ；
③若直线y＝k与该函数图象有三个交点，则k的取值范围： ；
④若直线y＝k与该函数图象有四个交点，则k的取值范围： ；
⑤若直线y＝﹣k+1与该函数图象有四个交点，则k的取值范围： ．
23．综合与实践二轮复习中，刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究．
问题模型：等腰三角形ABC，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2．
探究1：
（1）如图1，点D为等腰三角形ABC底边BC上一个动点，连接AD，则AD的最小值为 ，判断依据为 ；
探究2：
（2）在探究1的结论下，继续探究，作∠BAD的平分线AE交BC于点E，点F，G分别为AE，AD上一个动点，求DF+FG的最小值；
探究3
（3）探究在探究1的结论下，继续探究，点M为线段CD上一个动点，连接AM，将AM顺时针旋转 60°，得到线段AN，连接ND，求线段DN的最小值.
2023年河南省商丘一中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在下面的四个有理数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．﹣
【解答】解：根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小得：
0不符合题意，
∵|﹣2|＞|﹣|＞|﹣1|，
∴﹣2＜﹣＜﹣1．
故选：C．
2．（3分）截至2022年12月31日22时，我国最大油气田——中国石油长庆油田全年生产油气产量突破6500万吨，达到6501.55万吨，创造了国内油气田年产油气最高纪录．数据“6501.55万”用科学记数法可表示为（ ）
A．6.50155×107 B．6.50155×106
C．65.0155×106 D．0.650155×108
【解答】解：6501.55万＝65015500＝6.50155×107．
故选：A．
3．（3分）如图所示的几何体可以近似地看作由圆台和正方体组成，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从上边看，可得图形如下：
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8 B．（2a3）2＝4a6
C．（ab）6÷（ab）2＝a3b3 D．（a+b）（a﹣b）＝a2+b2
【解答】解：A、原式＝a4+2＝a6，故本选项运算错误．
B、原式＝22•a3×2＝4a6，故本选项运算正确．
C、原式＝a6﹣2•b6﹣2＝a4b4，故本选项运算错误．
D、原式＝a2﹣b2，故本选项运算错误．
故选：B．
5．（3分）将一副三角板如图放置，则∠1的度数是（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【解答】解：由题意得，∠A＝60°，∠ACB＝45°，
∴∠1＝∠A+∠ACB＝105°，
故选：C．
6．（3分）学校对八年级某班针对上学的交通工具选用情况进行调查（单选题），其中A（骑车），B（私家车），C（步行），D（乘公交车），结果如图所示：
根据以上统计图，下列判断错误的是（ ）
A．选A的有8人 B．选B的有4人
C．选C的有28人 D．该班共有40人参加调查
【解答】解：由题意得，样本容量为：10÷20%＝50，故选项D符合题意；选A的有：50×16%＝8（人），故选项A不符合题意；
选B的有：50×8%＝4（人），故选项B不符合题意；
选C的有：50×56%＝28（人），故选项C不符合题意．
故选：D．
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+2k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣8k＞0，
∴．
故选：A．
8．（3分）一个不透明的口袋中有4个除标号外其余均相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，充分混合后随机摸出一个小球记下标号，放回后混合再随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是：＝，
故选：C．
9．（3分）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象交平行四边形OABC于点C，交平行四边形的对角线OB于点M（4，2），点A在x轴的正半轴上，已知平行四边形OABC的面积是24，则点B的坐标为（ ）
A．（6，3） B． C．（8，4） D．
【解答】解：把点M（4，2）代入到反比例函数解析式中得，
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为；
设直线OB的解析式为y＝k1x，
∴4＝2k1，
∴，
∴直线OB的解析式为，
设B（2m，m），则，
∴，
∵平行四边形OABC的面积是24，
∴，
∴m2＝16，
解得m＝4（负值舍去），
∴B（8，4），
故选：C．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点P为动线DA上一个动点，连接CP，点E为CD上一点，且DE＝2，在射线AB上截取点Q使EQ＝CP，交CP于点M，连接BM，则BM的最小值为（ ）
A．8 B．12 C． D．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，
则∠EFA＝∠EFQ＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠D＝∠A＝90°，
∴四边形DAFE是矩形，
∴AD＝EF＝CD，
在Rt△EFQ和Rt△CDP中，
，
∴Rt△EFQ≌Rt△CDP（HL），
∴∠FEQ＝∠DCP，
∵∠FEQ+∠CEM＝∠CEF＝90°，
∴∠DCP+∠CEM＝90°，
∴∠EMC＝90°，
∴点M在以CE为直径的半圆上，
∵AB＝CD＝12，DE＝2，
∴EC＝12﹣2＝10，
∴OE＝OC＝5，
∴OB＝＝13，
∴当点M运动到OB与半圆的交点处时BM最小，此时BM＝OB﹣OM＝13﹣5＝8，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ 2 ．
【解答】解：
＝3﹣1
＝2．
故答案为：2．
12．（3分）关于x的不等式组，写出一个x的负无理数解为 ﹣（答案不唯一） ．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴原不等式组的解集为﹣2≤x≤2，
∴该不等式组的一个负无理数解为x＝﹣，
故答案为：﹣（答案不唯一）．
13．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：5，BD＝6，则BF的值是 21 ．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：5，
∴＝，
即＝，
∴DF＝15，
∴BF＝BD+DF＝6+15＝21，
故答案为：21．
14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CD⊥OA交弧AB于点D，连接AB交CD于点E，若OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
【解答】解：如图，连接OD，
∵点C为OA的中点，CD⊥OA，OD＝OA，
∴OC＝OD，
∴∠CDO＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴扇形AOD的面积为：＝，＝＝＝，，
∴阴影部分的面积为：＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P为AB上一个动点，以PC为轴折叠△APC得到△QPC，点A的对应点为点Q，当点Q落在△ABC内部（不包括边）上时，AP的取值范围为 ．
【解答】解：过点C作CP1⊥AB，垂足为P1，以P1C为轴折叠△AP1C得到△Q1P1C，点A的对应点为点Q1，则点Q1落在AB边上，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵CP1⊥AB，
∴∠ACP1＝90°﹣∠A＝30°，
在Rt△AP1C中，AC＝2，
∴，
作∠ACB的角平分线CP2，交AB于点P2，以P2C为轴折叠△AP2C得到△Q2P2C，点A的对应点为点Q2，则点Q2落在BC边上，
由折叠可知：△AP2C≌△Q2P2C，
∴AP2＝Q2P2，AC＝Q2C＝2，∠A＝∠CQ2P2＝60°，
∵∠CQ2P2＝∠B+∠BP2Q2＝60°，∠B＝30°，
∴∠BP2Q2＝30°，
∴∠BP2Q2＝∠B，
∴BQ2＝P2Q2，
∴AP2＝BQ2，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∴，
∴，
∴，
∵点Q落在△ABC内部（不包括边），
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，满分0分）
16．（1）计算：．
（2）解不等式组．
【解答】解；（1）
＝
＝
＝•
＝；
（2），
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2．
17．某市举办中学生田径赛，某中学准备选派一名立定三级跳选手参加比赛，对甲、乙两名同学进行了8次立定三级跳选拔比赛，他们的原始成绩（单位：m）如表：
学生/成绩/次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲
7.3
7.1
7.3
7.5
7.2
7.3
7.5
7.2
乙
7.3
7.5
7.5
6.7
6.5
7.8
7.5
7.6
两名同学的8次立定三级跳成绩数据分析如下表：
学生/成绩/名称
平均数
（单位：m）
中位数
（单位：cm）
众数
（单位：m）
方差
（单位：m2）
甲
a
b
c
d
乙
7.3
7.5
7.5
0.1825
根据图表信息回答下列问题：
（1）求出a、b、c、d的值；
（2）这两名同学中， 甲 的成绩更为稳定；（填甲或乙）
（3）若预测立定三级跳7.1m就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择哪位同学参赛，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，a＝（7.3×3+7.1+7.5×2+7.2×2）＝7.3；
b＝＝7.3；
c＝7.3；
d＝[3×（7.3﹣7.3）2+（7.1﹣7.3）2+2×（7.5﹣7.3）2+2×（7.2﹣7.3）2]＝0.0175；
（2）∵甲的方差比以小，
∴甲的成绩更为稳定；
故答案为：甲；
（3）应选择甲，理由如下：
若预测立定三级跳7.1m就可能获得冠军，那么成绩在7.1m或7.1m以上的次数甲多，则选择甲．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，以CB上一点O为圆心作圆，切AB于点D，交CB于点E．
（1）作CE的垂直平分线交CE上方⊙O于点M，连接MD交CB于点N（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 ）．
（2）①在（1）的条件下，求证∠M+∠BDN＝90°；
②若⊙O的半径为3，求ON的值．
【解答】（1）解：如图，点M、N为所作；
（2）①证明：①连接OD，如图，
∵AB切⊙O于D点，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
即∠ODM+∠BDN＝90°，
∵OD＝OM，
∴∠OMD＝∠ONM，
∴∠OMD+∠BDN＝90°；
②解：∵OM⊥CE，
∴∠MON＝90°，
∴∠OMD+∠ONM＝90°，
∵∠OMD+∠BDN＝90°；
∴∠ONM＝∠BDN，
∵∠ONM＝∠BND，
∴∠BDN＝∠BND，
∴BD＝BN，
设BD＝x，
∵∠BDO＝∠BCA＝90°，∠OBD＝∠ABC，
∴△BOD∽△BAC，
∴＝＝，即＝＝，
解得OB＝2x﹣3，
在Rt△OBD中，32+x2＝（2x﹣3）2，
解得x1＝4，x2＝0（舍去），
∴BD＝4，OB＝5，
∵BN＝BD＝4，
∴ON＝OB﹣BN＝5﹣4＝1．
19．在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量学校旁边的一座古塔的高度，同学们设计了两个测量方案如下：
课题
测量古塔（AB）的高度
测量工具
测角仪，1.5m标杆，皮尺等
测量小组
第一组
第二组
测量方案示意图
说明
点C、E、B在同一直线上，CD、EF为标杆
CD为古塔旁边的两层小楼
测量数据
从点D处测得A点的仰角为35°，从点F处测得A点的仰角为45°，CE＝10m
从点D处测得A点的仰角为35°，CD＝10m
（1）根据以上数据请你判断，第 二 小组无法测量出古塔的高度？原因是 没有测量BC的长度 ；
（2）请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出古塔的高度．（精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【解答】解：（1）第二组的数据无法算出大楼高度，理由如下：
第二小组测量了从点D处测得A点的仰角为35°，CD＝10m，没有测量BC的长度，无法算出大楼高度．
故答案为：二；没有测量BC的长度；
（2）根据第一组测量的数据，
过点D作DG⊥AB交AB于点G，
∵CD＝EF＝1.5m，
∴点F在DG上，则BG＝1.5m，
在Rt△AGF中，∠AFG＝45°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AG＝FG，
设AG＝FG＝x，
则在Rt△AGD中，AG＝x，DG＝DF+FG＝（10+x），
∴，
∴，
解得：x≈23.3，
∴AB＝AG+BG＝23.3+1.5＝24.8（m）．
答：古塔的高度为24.8m．
20．2022年岁末，随着“新十条”的颁布，各地疫情防控政策逐步放开，为加强个人防护，卫生部门建议居民外出佩戴N95口罩，某口罩厂为抓住商机，组织人员科技更新，购买甲乙两种原材科进行生产，该厂计划购买甲，乙两种原材科共1000吨，已知甲种原材料每吨250元，乙种原材科每吨300元，通过调查了解，甲，乙同种原材料的利用率分别是90%和95%．
（1）若购买这两种原材料共用去280000元，则甲、乙两种原材料各购买多少吨？
（2）要使这批原材料的利用率不低于92%，则甲种原材料最多购买多少吨？
（3）在（2）的条件下，应如何选购原材料，使购买原材料的费用最低？并求出最低费用．
【解答】解：（1）设甲种原材料购买x吨，乙种原材料购买y吨．
根据题意，得，
解得，
答：甲、乙两种原材料各购买400吨和600吨．
（2）设甲种原材料购买a吨，乙种原材料购买（1000﹣a）吨．
90%a+95%（1000﹣a）≥92%×1000，
解得a≤600，
答：甲种原材料最多购买600吨．
（3）设购买原材料的费用为w元．
根据题意，得w＝250a+300（1000﹣a）
＝﹣50a+300000，
∵﹣50＜0，
∴w随a的增大而减小，
∵a≤600，
∴a＝600时，w有最小值，
w最小＝﹣50×600+300000＝270000（元），
1000﹣600＝400（吨），
∴当甲种原材料购买600吨，乙种原材料购买400吨时，购买原材料的费用最低，并求出最低费用270000元．
21．如图，抛物线交x轴于A（﹣2，0），B两点，交y轴于点C（0，﹣4），直线y＝ax+m经过点B，C．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）将抛物线位于第二象限的图象沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．直线y＝ax+m的平行线y＝ax+n与新图象只有1个公共点时，求n的取值范围．
【解答】解：把A（﹣2，0），C（0，﹣4）代入，
得，
解得，
∴，
解，
得x1＝﹣2，x2＝4，
∴B（4，0），
把B（4，0），C（0，﹣4）代入y＝ax+m，
得，
解得，
∴y＝x﹣4；
（2）由图象可知，当x＜0或x＞4时，成立；
（3）∵直线y＝ax+m与y＝ax+n平行，
∴y＝x+n．
把A（﹣2，0）代入y＝x+n，
得0＝﹣2+n，
∴n＝2，
由图象可知，当n＞2时，y＝ax+n与新图象只有1个公共点．
联立和y＝x+n，
得，
∴x2﹣4x﹣2n﹣8＝0，
由Δ＝0，得16﹣4（﹣2n﹣8）＝0，
∴n＝﹣6，
由图象可知，当n＜﹣6时，y＝ax+n与新图象只有1个公共点．
综上可知，当n＞2或n＜﹣6时，y＝ax+n与新图象只有1个公共点．
22．中考复习中，小明对初中学习过的三个函数进行总结，并把三种函数组合成分段函数y＝，小明对这个分段函数利用函数的学习方法进行分析，以下是小明的分析过程，请补充完整．
（1）列表：
x
﹣7
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
y
1
2
3
2
1
0
2
n
0
解析式中的m＝ ﹣6 ，表格中的n＝ ．
（2）描点，连线：
请画出函数图象；
（3）分析图象：
根据函数图象，写出函数的一条性质： 当﹣7≤x≤﹣3或0＜x≤2时，y随x的增大而增大 ；
（4）拓展研究：
①者直线y＝k与该函数图象有一个交点，则k的取值范围： k＝3 ；
②若直线y＝k与该函数图象有两个交点则k的取值范围： 2＜k＜3或k＝0 ；
③若直线y＝k与该函数图象有三个交点，则k的取值范围： 0＜k＜1或k＝2 ；
④若直线y＝k与该函数图象有四个交点，则k的取值范围： 1≤k＜2 ；
⑤若直线y＝﹣k+1与该函数图象有四个交点，则k的取值范围： 0≤k＜1 ．
【解答】解：（1）根据题意可得：把（﹣4，2）代入y＝可得：2＝，
解得：m＝﹣6，
把（3，n）代入y＝﹣x2+2x可得：n＝﹣×9+6＝，
故答案为：﹣6，；
（2）图象如下所示：
（3）根据图象可得：当﹣7≤x≤﹣3或0＜x≤2时，y随x的增大而增大，
故答案为：当﹣7≤x≤﹣3或0＜x≤2时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
（4）①根据图象可得，当直线y＝k与该函数图象只有一个交点时，则k＝3，
故答案为：k＝3；
②根据图象可得，当直线y＝k与该函数图象有两个交点时，则2＜k＜3或k＝0，
故答案为：2＜k＜3或k＝0；
③根据图象可得，当直线y＝k与该函数图象有三个交点时，则0＜k＜1或k＝2，
故答案为：0＜k＜1或k＝2；
④根据图象可得，当直线y＝k与该函数图象有四个交点时，则1≤k＜2，
故答案为：1≤k＜2；
⑤根据图象可得，当直线y＝﹣k+1与该函数图象有四个交点时，则1≤k+1＜2，即0≤k＜1，
故答案为：0≤k＜1．
23．综合与实践二轮复习中，刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究．
问题模型：等腰三角形ABC，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2．
探究1：
（1）如图1，点D为等腰三角形ABC底边BC上一个动点，连接AD，则AD的最小值为 1 ，判断依据为 垂线段最短 ；
探究2：
（2）在探究1的结论下，继续探究，作∠BAD的平分线AE交BC于点E，点F，G分别为AE，AD上一个动点，求DF+FG的最小值；
探究3
（3）探究在探究1的结论下，继续探究，点M为线段CD上一个动点，连接AM，将AM顺时针旋转 60°，得到线段AN，连接ND，求线段DN的最小值.
【解答】（1）解：当AD⊥BC时，由垂线段最短，此时AD有最小值，
∵等腰三角形ABC，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2．
∴∠B＝∠C＝30°，
∴AD＝AB＝1，
故答案为：1；垂线段最短；
（2）解：作EH⊥AB于H，则点D与点H关于AE是轴对称，过H作HG⊥AD，交AE于F，此时DF+FG有最小值，
∵∠BAD的平分线AE交BC于点E，ED⊥AD，EH⊥AB，
∴点D与点H关于AE是轴对称，AH＝AD＝1，HF＝DF，
∵HG⊥AD，AD⊥BC，
∴HG∥BC，
∴∠AHG＝∠B＝30°，
∴HG＝，
∴DF+FG＝HG＝；
（3）解：如图3中，在AC上取一点K，使得AK＝AD，连接MK，DK．
∵∠ADC＝90°，∠C＝30°，
∴∠DAK＝60°，
∴∠NAM＝∠DAK，
∴∠NAD＝∠MAK，
∵NA＝MA，AD＝AK，
∴△NAD≌△MAK（SAS），
∴DN＝MK，
∵MK⊥DC时，MK的值最小，最小值为，
∴DN的最小值为．
2023年河南省商丘一中中考数学一模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在下面的四个有理数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．﹣
2．（3分）截至2022年12月31日22时，我国最大油气田——中国石油长庆油田全年生产油气产量突破6500万吨，达到6501.55万吨，创造了国内油气田年产油气最高纪录．数据“6501.55万”用科学记数法可表示为（ ）
A．6.50155×107 B．6.50155×106
C．65.0155×106 D．0.650155×108
3．（3分）如图所示的几何体可以近似地看作由圆台和正方体组成，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8 B．（2a3）2＝4a6
C．（ab）6÷（ab）2＝a3b3 D．（a+b）（a﹣b）＝a2+b2
5．（3分）将一副三角板如图放置，则∠1的度数是（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
6．（3分）学校对八年级某班针对上学的交通工具选用情况进行调查（单选题），其中A（骑车），B（私家车），C（步行），D（乘公交车），结果如图所示：
根据以上统计图，下列判断错误的是（ ）
A．选A的有8人 B．选B的有4人
C．选C的有28人 D．该班共有40人参加调查
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）一个不透明的口袋中有4个除标号外其余均相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，充分混合后随机摸出一个小球记下标号，放回后混合再随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象交平行四边形OABC于点C，交平行四边形的对角线OB于点M（4，2），点A在x轴的正半轴上，已知平行四边形OABC的面积是24，则点B的坐标为（ ）
A．（6，3） B． C．（8，4） D．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点P为动线DA上一个动点，连接CP，点E为CD上一点，且DE＝2，在射线AB上截取点Q使EQ＝CP，交CP于点M，连接BM，则BM的最小值为（ ）
A．8 B．12 C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）关于x的不等式组，写出一个x的负无理数解为 ．
13．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：5，BD＝6，则BF的值是 ．
14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CD⊥OA交弧AB于点D，连接AB交CD于点E，若OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P为AB上一个动点，以PC为轴折叠△APC得到△QPC，点A的对应点为点Q，当点Q落在△ABC内部（不包括边）上时，AP的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分0分）
16．（1）计算：．
（2）解不等式组．
17．某市举办中学生田径赛，某中学准备选派一名立定三级跳选手参加比赛，对甲、乙两名同学进行了8次立定三级跳选拔比赛，他们的原始成绩（单位：m）如表：
学生/成绩/次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲
7.3
7.1
7.3
7.5
7.2
7.3
7.5
7.2
乙
7.3
7.5
7.5
6.7
6.5
7.8
7.5
7.6
两名同学的8次立定三级跳成绩数据分析如下表：
学生/成绩/名称
平均数
（单位：m）
中位数
（单位：cm）
众数
（单位：m）
方差
（单位：m2）
甲
a
b
c
d
乙
7.3
7.5
7.5
0.1825
根据图表信息回答下列问题：
（1）求出a、b、c、d的值；
（2）这两名同学中， 的成绩更为稳定；（填甲或乙）
（3）若预测立定三级跳7.1m就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择哪位同学参赛，并说明理由．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，以CB上一点O为圆心作圆，切AB于点D，交CB于点E．
（1）作CE的垂直平分线交CE上方⊙O于点M，连接MD交CB于点N（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 ）．
（2）①在（1）的条件下，求证∠M+∠BDN＝90°；
②若⊙O的半径为3，求ON的值．
19．在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量学校旁边的一座古塔的高度，同学们设计了两个测量方案如下：
课题
测量古塔（AB）的高度
测量工具
测角仪，1.5m标杆，皮尺等
测量小组
第一组
第二组
测量方案示意图
说明
点C、E、B在同一直线上，CD、EF为标杆
CD为古塔旁边的两层小楼
测量数据
从点D处测得A点的仰角为35°，从点F处测得A点的仰角为45°，CE＝10m
从点D处测得A点的仰角为35°，CD＝10m
（1）根据以上数据请你判断，第 小组无法测量出古塔的高度？原因是 ；
（2）请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出古塔的高度．（精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
20．2022年岁末，随着“新十条”的颁布，各地疫情防控政策逐步放开，为加强个人防护，卫生部门建议居民外出佩戴N95口罩，某口罩厂为抓住商机，组织人员科技更新，购买甲乙两种原材科进行生产，该厂计划购买甲，乙两种原材科共1000吨，已知甲种原材料每吨250元，乙种原材科每吨300元，通过调查了解，甲，乙同种原材料的利用率分别是90%和95%．
（1）若购买这两种原材料共用去280000元，则甲、乙两种原材料各购买多少吨？
（2）要使这批原材料的利用率不低于92%，则甲种原材料最多购买多少吨？
（3）在（2）的条件下，应如何选购原材料，使购买原材料的费用最低？并求出最低费用．
21．如图，抛物线交x轴于A（﹣2，0），B两点，交y轴于点C（0，﹣4），直线y＝ax+m经过点B，C．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）将抛物线位于第二象限的图象沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．直线y＝ax+m的平行线y＝ax+n与新图象只有1个公共点时，求n的取值范围．
22．中考复习中，小明对初中学习过的三个函数进行总结，并把三种函数组合成分段函数y＝，小明对这个分段函数利用函数的学习方法进行分析，以下是小明的分析过程，请补充完整．
（1）列表：
x
﹣7
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
y
1
2
3
2
1
0
2
n
0
解析式中的m＝ ，表格中的n＝ ．
（2）描点，连线：
请画出函数图象；
（3）分析图象：
根据函数图象，写出函数的一条性质： ；
（4）拓展研究：
①者直线y＝k与该函数图象有一个交点，则k的取值范围： ；
②若直线y＝k与该函数图象有两个交点则k的取值范围： ；
③若直线y＝k与该函数图象有三个交点，则k的取值范围： ；
④若直线y＝k与该函数图象有四个交点，则k的取值范围： ；
⑤若直线y＝﹣k+1与该函数图象有四个交点，则k的取值范围： ．
23．综合与实践二轮复习中，刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究．
问题模型：等腰三角形ABC，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2．
探究1：
（1）如图1，点D为等腰三角形ABC底边BC上一个动点，连接AD，则AD的最小值为 ，判断依据为 ；
探究2：
（2）在探究1的结论下，继续探究，作∠BAD的平分线AE交BC于点E，点F，G分别为AE，AD上一个动点，求DF+FG的最小值；
探究3
（3）探究在探究1的结论下，继续探究，点M为线段CD上一个动点，连接AM，将AM顺时针旋转 60°，得到线段AN，连接ND，求线段DN的最小值.
2023年河南省商丘一中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）在下面的四个有理数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．﹣
【解答】解：根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小得：
0不符合题意，
∵|﹣2|＞|﹣|＞|﹣1|，
∴﹣2＜﹣＜﹣1．
故选：C．
2．（3分）截至2022年12月31日22时，我国最大油气田——中国石油长庆油田全年生产油气产量突破6500万吨，达到6501.55万吨，创造了国内油气田年产油气最高纪录．数据“6501.55万”用科学记数法可表示为（ ）
A．6.50155×107 B．6.50155×106
C．65.0155×106 D．0.650155×108
【解答】解：6501.55万＝65015500＝6.50155×107．
故选：A．
3．（3分）如图所示的几何体可以近似地看作由圆台和正方体组成，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从上边看，可得图形如下：
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8 B．（2a3）2＝4a6
C．（ab）6÷（ab）2＝a3b3 D．（a+b）（a﹣b）＝a2+b2
【解答】解：A、原式＝a4+2＝a6，故本选项运算错误．
B、原式＝22•a3×2＝4a6，故本选项运算正确．
C、原式＝a6﹣2•b6﹣2＝a4b4，故本选项运算错误．
D、原式＝a2﹣b2，故本选项运算错误．
故选：B．
5．（3分）将一副三角板如图放置，则∠1的度数是（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【解答】解：由题意得，∠A＝60°，∠ACB＝45°，
∴∠1＝∠A+∠ACB＝105°，
故选：C．
6．（3分）学校对八年级某班针对上学的交通工具选用情况进行调查（单选题），其中A（骑车），B（私家车），C（步行），D（乘公交车），结果如图所示：
根据以上统计图，下列判断错误的是（ ）
A．选A的有8人 B．选B的有4人
C．选C的有28人 D．该班共有40人参加调查
【解答】解：由题意得，样本容量为：10÷20%＝50，故选项D符合题意；选A的有：50×16%＝8（人），故选项A不符合题意；
选B的有：50×8%＝4（人），故选项B不符合题意；
选C的有：50×56%＝28（人），故选项C不符合题意．
故选：D．
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+2k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣8k＞0，
∴．
故选：A．
8．（3分）一个不透明的口袋中有4个除标号外其余均相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，充分混合后随机摸出一个小球记下标号，放回后混合再随机摸出一个小球记下标号，则两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是：＝，
故选：C．
9．（3分）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象交平行四边形OABC于点C，交平行四边形的对角线OB于点M（4，2），点A在x轴的正半轴上，已知平行四边形OABC的面积是24，则点B的坐标为（ ）
A．（6，3） B． C．（8，4） D．
【解答】解：把点M（4，2）代入到反比例函数解析式中得，
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为；
设直线OB的解析式为y＝k1x，
∴4＝2k1，
∴，
∴直线OB的解析式为，
设B（2m，m），则，
∴，
∵平行四边形OABC的面积是24，
∴，
∴m2＝16，
解得m＝4（负值舍去），
∴B（8，4），
故选：C．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点P为动线DA上一个动点，连接CP，点E为CD上一点，且DE＝2，在射线AB上截取点Q使EQ＝CP，交CP于点M，连接BM，则BM的最小值为（ ）
A．8 B．12 C． D．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，
则∠EFA＝∠EFQ＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠D＝∠A＝90°，
∴四边形DAFE是矩形，
∴AD＝EF＝CD，
在Rt△EFQ和Rt△CDP中，
，
∴Rt△EFQ≌Rt△CDP（HL），
∴∠FEQ＝∠DCP，
∵∠FEQ+∠CEM＝∠CEF＝90°，
∴∠DCP+∠CEM＝90°，
∴∠EMC＝90°，
∴点M在以CE为直径的半圆上，
∵AB＝CD＝12，DE＝2，
∴EC＝12﹣2＝10，
∴OE＝OC＝5，
∴OB＝＝13，
∴当点M运动到OB与半圆的交点处时BM最小，此时BM＝OB﹣OM＝13﹣5＝8，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ 2 ．
【解答】解：
＝3﹣1
＝2．
故答案为：2．
12．（3分）关于x的不等式组，写出一个x的负无理数解为 ﹣（答案不唯一） ．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴原不等式组的解集为﹣2≤x≤2，
∴该不等式组的一个负无理数解为x＝﹣，
故答案为：﹣（答案不唯一）．
13．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：5，BD＝6，则BF的值是 21 ．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：5，
∴＝，
即＝，
∴DF＝15，
∴BF＝BD+DF＝6+15＝21，
故答案为：21．
14．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CD⊥OA交弧AB于点D，连接AB交CD于点E，若OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
【解答】解：如图，连接OD，
∵点C为OA的中点，CD⊥OA，OD＝OA，
∴OC＝OD，
∴∠CDO＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴扇形AOD的面积为：＝，＝＝＝，，
∴阴影部分的面积为：＝．
故答案为：．
15．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P为AB上一个动点，以PC为轴折叠△APC得到△QPC，点A的对应点为点Q，当点Q落在△ABC内部（不包括边）上时，AP的取值范围为 ．
【解答】解：过点C作CP1⊥AB，垂足为P1，以P1C为轴折叠△AP1C得到△Q1P1C，点A的对应点为点Q1，则点Q1落在AB边上，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵CP1⊥AB，
∴∠ACP1＝90°﹣∠A＝30°，
在Rt△AP1C中，AC＝2，
∴，
作∠ACB的角平分线CP2，交AB于点P2，以P2C为轴折叠△AP2C得到△Q2P2C，点A的对应点为点Q2，则点Q2落在BC边上，
由折叠可知：△AP2C≌△Q2P2C，
∴AP2＝Q2P2，AC＝Q2C＝2，∠A＝∠CQ2P2＝60°，
∵∠CQ2P2＝∠B+∠BP2Q2＝60°，∠B＝30°，
∴∠BP2Q2＝30°，
∴∠BP2Q2＝∠B，
∴BQ2＝P2Q2，
∴AP2＝BQ2，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∴，
∴，
∴，
∵点Q落在△ABC内部（不包括边），
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，满分0分）
16．（1）计算：．
（2）解不等式组．
【解答】解；（1）
＝
＝
＝•
＝；
（2），
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜2．
17．某市举办中学生田径赛，某中学准备选派一名立定三级跳选手参加比赛，对甲、乙两名同学进行了8次立定三级跳选拔比赛，他们的原始成绩（单位：m）如表：
学生/成绩/次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲
7.3
7.1
7.3
7.5
7.2
7.3
7.5
7.2
乙
7.3
7.5
7.5
6.7
6.5
7.8
7.5
7.6
两名同学的8次立定三级跳成绩数据分析如下表：
学生/成绩/名称
平均数
（单位：m）
中位数
（单位：cm）
众数
（单位：m）
方差
（单位：m2）
甲
a
b
c
d
乙
7.3
7.5
7.5
0.1825
根据图表信息回答下列问题：
（1）求出a、b、c、d的值；
（2）这两名同学中， 甲 的成绩更为稳定；（填甲或乙）
（3）若预测立定三级跳7.1m就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择哪位同学参赛，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，a＝（7.3×3+7.1+7.5×2+7.2×2）＝7.3；
b＝＝7.3；
c＝7.3；
d＝[3×（7.3﹣7.3）2+（7.1﹣7.3）2+2×（7.5﹣7.3）2+2×（7.2﹣7.3）2]＝0.0175；
（2）∵甲的方差比以小，
∴甲的成绩更为稳定；
故答案为：甲；
（3）应选择甲，理由如下：
若预测立定三级跳7.1m就可能获得冠军，那么成绩在7.1m或7.1m以上的次数甲多，则选择甲．
18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，以CB上一点O为圆心作圆，切AB于点D，交CB于点E．
（1）作CE的垂直平分线交CE上方⊙O于点M，连接MD交CB于点N（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 ）．
（2）①在（1）的条件下，求证∠M+∠BDN＝90°；
②若⊙O的半径为3，求ON的值．
【解答】（1）解：如图，点M、N为所作；
（2）①证明：①连接OD，如图，
∵AB切⊙O于D点，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
即∠ODM+∠BDN＝90°，
∵OD＝OM，
∴∠OMD＝∠ONM，
∴∠OMD+∠BDN＝90°；
②解：∵OM⊥CE，
∴∠MON＝90°，
∴∠OMD+∠ONM＝90°，
∵∠OMD+∠BDN＝90°；
∴∠ONM＝∠BDN，
∵∠ONM＝∠BND，
∴∠BDN＝∠BND，
∴BD＝BN，
设BD＝x，
∵∠BDO＝∠BCA＝90°，∠OBD＝∠ABC，
∴△BOD∽△BAC，
∴＝＝，即＝＝，
解得OB＝2x﹣3，
在Rt△OBD中，32+x2＝（2x﹣3）2，
解得x1＝4，x2＝0（舍去），
∴BD＝4，OB＝5，
∵BN＝BD＝4，
∴ON＝OB﹣BN＝5﹣4＝1．
19．在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量学校旁边的一座古塔的高度，同学们设计了两个测量方案如下：
课题
测量古塔（AB）的高度
测量工具
测角仪，1.5m标杆，皮尺等
测量小组
第一组
第二组
测量方案示意图
说明
点C、E、B在同一直线上，CD、EF为标杆
CD为古塔旁边的两层小楼
测量数据
从点D处测得A点的仰角为35°，从点F处测得A点的仰角为45°，CE＝10m
从点D处测得A点的仰角为35°，CD＝10m
（1）根据以上数据请你判断，第 二 小组无法测量出古塔的高度？原因是 没有测量BC的长度 ；
（2）请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出古塔的高度．（精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【解答】解：（1）第二组的数据无法算出大楼高度，理由如下：
第二小组测量了从点D处测得A点的仰角为35°，CD＝10m，没有测量BC的长度，无法算出大楼高度．
故答案为：二；没有测量BC的长度；
（2）根据第一组测量的数据，
过点D作DG⊥AB交AB于点G，
∵CD＝EF＝1.5m，
∴点F在DG上，则BG＝1.5m，
在Rt△AGF中，∠AFG＝45°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AG＝FG，
设AG＝FG＝x，
则在Rt△AGD中，AG＝x，DG＝DF+FG＝（10+x），
∴，
∴，
解得：x≈23.3，
∴AB＝AG+BG＝23.3+1.5＝24.8（m）．
答：古塔的高度为24.8m．
20．2022年岁末，随着“新十条”的颁布，各地疫情防控政策逐步放开，为加强个人防护，卫生部门建议居民外出佩戴N95口罩，某口罩厂为抓住商机，组织人员科技更新，购买甲乙两种原材科进行生产，该厂计划购买甲，乙两种原材科共1000吨，已知甲种原材料每吨250元，乙种原材科每吨300元，通过调查了解，甲，乙同种原材料的利用率分别是90%和95%．
（1）若购买这两种原材料共用去280000元，则甲、乙两种原材料各购买多少吨？
（2）要使这批原材料的利用率不低于92%，则甲种原材料最多购买多少吨？
（3）在（2）的条件下，应如何选购原材料，使购买原材料的费用最低？并求出最低费用．
【解答】解：（1）设甲种原材料购买x吨，乙种原材料购买y吨．
根据题意，得，
解得，
答：甲、乙两种原材料各购买400吨和600吨．
（2）设甲种原材料购买a吨，乙种原材料购买（1000﹣a）吨．
90%a+95%（1000﹣a）≥92%×1000，
解得a≤600，
答：甲种原材料最多购买600吨．
（3）设购买原材料的费用为w元．
根据题意，得w＝250a+300（1000﹣a）
＝﹣50a+300000，
∵﹣50＜0，
∴w随a的增大而减小，
∵a≤600，
∴a＝600时，w有最小值，
w最小＝﹣50×600+300000＝270000（元），
1000﹣600＝400（吨），
∴当甲种原材料购买600吨，乙种原材料购买400吨时，购买原材料的费用最低，并求出最低费用270000元．
21．如图，抛物线交x轴于A（﹣2，0），B两点，交y轴于点C（0，﹣4），直线y＝ax+m经过点B，C．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）将抛物线位于第二象限的图象沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．直线y＝ax+m的平行线y＝ax+n与新图象只有1个公共点时，求n的取值范围．
【解答】解：把A（﹣2，0），C（0，﹣4）代入，
得，
解得，
∴，
解，
得x1＝﹣2，x2＝4，
∴B（4，0），
把B（4，0），C（0，﹣4）代入y＝ax+m，
得，
解得，
∴y＝x﹣4；
（2）由图象可知，当x＜0或x＞4时，成立；
（3）∵直线y＝ax+m与y＝ax+n平行，
∴y＝x+n．
把A（﹣2，0）代入y＝x+n，
得0＝﹣2+n，
∴n＝2，
由图象可知，当n＞2时，y＝ax+n与新图象只有1个公共点．
联立和y＝x+n，
得，
∴x2﹣4x﹣2n﹣8＝0，
由Δ＝0，得16﹣4（﹣2n﹣8）＝0，
∴n＝﹣6，
由图象可知，当n＜﹣6时，y＝ax+n与新图象只有1个公共点．
综上可知，当n＞2或n＜﹣6时，y＝ax+n与新图象只有1个公共点．
22．中考复习中，小明对初中学习过的三个函数进行总结，并把三种函数组合成分段函数y＝，小明对这个分段函数利用函数的学习方法进行分析，以下是小明的分析过程，请补充完整．
（1）列表：
x
﹣7
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
y
1
2
3
2
1
0
2
n
0
解析式中的m＝ ﹣6 ，表格中的n＝ ．
（2）描点，连线：
请画出函数图象；
（3）分析图象：
根据函数图象，写出函数的一条性质： 当﹣7≤x≤﹣3或0＜x≤2时，y随x的增大而增大 ；
（4）拓展研究：
①者直线y＝k与该函数图象有一个交点，则k的取值范围： k＝3 ；
②若直线y＝k与该函数图象有两个交点则k的取值范围： 2＜k＜3或k＝0 ；
③若直线y＝k与该函数图象有三个交点，则k的取值范围： 0＜k＜1或k＝2 ；
④若直线y＝k与该函数图象有四个交点，则k的取值范围： 1≤k＜2 ；
⑤若直线y＝﹣k+1与该函数图象有四个交点，则k的取值范围： 0≤k＜1 ．
【解答】解：（1）根据题意可得：把（﹣4，2）代入y＝可得：2＝，
解得：m＝﹣6，
把（3，n）代入y＝﹣x2+2x可得：n＝﹣×9+6＝，
故答案为：﹣6，；
（2）图象如下所示：
（3）根据图象可得：当﹣7≤x≤﹣3或0＜x≤2时，y随x的增大而增大，
故答案为：当﹣7≤x≤﹣3或0＜x≤2时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
（4）①根据图象可得，当直线y＝k与该函数图象只有一个交点时，则k＝3，
故答案为：k＝3；
②根据图象可得，当直线y＝k与该函数图象有两个交点时，则2＜k＜3或k＝0，
故答案为：2＜k＜3或k＝0；
③根据图象可得，当直线y＝k与该函数图象有三个交点时，则0＜k＜1或k＝2，
故答案为：0＜k＜1或k＝2；
④根据图象可得，当直线y＝k与该函数图象有四个交点时，则1≤k＜2，
故答案为：1≤k＜2；
⑤根据图象可得，当直线y＝﹣k+1与该函数图象有四个交点时，则1≤k+1＜2，即0≤k＜1，
故答案为：0≤k＜1．
23．综合与实践二轮复习中，刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究．
问题模型：等腰三角形ABC，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2．
探究1：
（1）如图1，点D为等腰三角形ABC底边BC上一个动点，连接AD，则AD的最小值为 1 ，判断依据为 垂线段最短 ；
探究2：
（2）在探究1的结论下，继续探究，作∠BAD的平分线AE交BC于点E，点F，G分别为AE，AD上一个动点，求DF+FG的最小值；
探究3
（3）探究在探究1的结论下，继续探究，点M为线段CD上一个动点，连接AM，将AM顺时针旋转 60°，得到线段AN，连接ND，求线段DN的最小值.
【解答】（1）解：当AD⊥BC时，由垂线段最短，此时AD有最小值，
∵等腰三角形ABC，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2．
∴∠B＝∠C＝30°，
∴AD＝AB＝1，
故答案为：1；垂线段最短；
（2）解：作EH⊥AB于H，则点D与点H关于AE是轴对称，过H作HG⊥AD，交AE于F，此时DF+FG有最小值，
∵∠BAD的平分线AE交BC于点E，ED⊥AD，EH⊥AB，
∴点D与点H关于AE是轴对称，AH＝AD＝1，HF＝DF，
∵HG⊥AD，AD⊥BC，
∴HG∥BC，
∴∠AHG＝∠B＝30°，
∴HG＝，
∴DF+FG＝HG＝；
（3）解：如图3中，在AC上取一点K，使得AK＝AD，连接MK，DK．
∵∠ADC＝90°，∠C＝30°，
∴∠DAK＝60°，
∴∠NAM＝∠DAK，
∴∠NAD＝∠MAK，
∵NA＝MA，AD＝AK，
∴△NAD≌△MAK（SAS），
∴DN＝MK，
∵MK⊥DC时，MK的值最小，最小值为，
∴DN的最小值为．
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