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2023年河南省许昌市中考数学一模试卷附解析
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这是一份2023年河南省许昌市中考数学一模试卷附解析，共30页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省许昌市中考数学一模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（3分）的绝对值是（ ）
A． B． C．﹣2023 D．2023
2．（3分）下列立体图形的主视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）我国神舟十五号载人飞船于2022年11月30日，在距地面约390000米的轨道上与中国空间站天和核心舱交会对接成功，将390000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.9×104 B．39×104 C．39×106 D．3.9×105
4．（3分）一副直角三角板如图摆放，点F在BC的延长线上，点D在AC上，若DE∥BF，则∠CDF的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
5．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
7．（3分）计算＝（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按1：1：2的比例确定四人的最终得分，并以此为依据录用得分最高者，那么（ ）将被录用．
应聘者
项目
甲
乙
丙
丁
学历
9
8
9
8
经验
7
6
7
6
工作态度
5
9
6
8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（3分）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，矩形的面积为Sm2当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
10．（3分）如图，原点O为▱ABCD的对称中心，AB∥x轴，与y轴交于点E（0，1），AD与x轴交于点F（﹣，0），AE：BE＝1：2，若将△AOE绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第502次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣，0） D．（，0）
11．（3分）扬州某日的最高气温为6℃，最低气温为﹣2℃，则该日的日温差是 ℃．
12．（3分）请填写一个常数，使得关于x的一元二次方程2x2﹣x+ ＝0有两个不相等的实数根．
13．（3分）在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K1，K2，K3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
14．（3分）如图，在2×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，线段CD与弧AC交于点E，则图中弧AE的长度为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P是边AB上的动点，沿CP所在的直线折叠∠A，使点A的对应点落在点A′处．当A′P与Rt△ABC的边平行时，线段AP 的长为 ．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（10分）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：（）．
小明同学的部分解答过程如下：
解：原式＝[]×
＝[]×
＝×③
……
（1）请你分析小明的解答从第 步开始出现错误（填序号）；
（2）请写出正确解答过程，并求出当x＝﹣2时此式的值．
17．（9分）如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．
18．（9分）教育部印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》指出学校要完善作业管理办法，加强学科组、年级组作业统筹，合理调控作业结构，建立作业校内公示制度，并确保每天初中书面作业平均完成时间不超过90分钟．某初级中学为了解学生每天完成课后作业用时情况，从本校学生中随机抽取300名进行问卷调查，并将调查结果进行了整理，结果如下．
调查问卷
1．近两周你每天完成课后作业用时约， 分钟．
如果你每天完成课后作业用时超过90分钟，请回答第2个问题．
2．影响你完成课后作业用时的主要原因是 .（ 单选）
A．作业难度大
B．作业题量大
C．自身写作业效率低
D．其他
学生课后作业用时频数分布表
课后作业用时x（分钟）
x≤60
60＜x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
x＞90
人数
15
44
57
136
48
影响学生课后作业用时统计图：
（影响因素：A．作业难度大 B．作业题量大 C．自身写作业效率低 D．其他）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，学生完成课后作业用时的中位数落在 这一组．
（2）若该校共有学生1000人，请估计有多少人未能在90分钟内完成课后作业．
（3）请对该校学生完成课后作业用时情况作出评价，并提出两条合理化建议．
19．（9分）许昌市中央公园是目前国内最大的开放式城市中心公园，是市民们游玩的好去处，公园内有许多供游客休息用的凉亭．某数学兴趣小组测量凉亭最高点到地面的距离，如图，点D，A、E在同一水平线上，测得∠DAC＝80°，∠BCA＝110°，AC＝2米．BC＝2.2米．求凉亭最高点到地面的距离BN的长．（sin80°≈0.985，cos80°≈0.174，tan80°≈5.671，1.732，结果精确到0.01米）
20．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点（不与点A，B重合），连接AC，BC．点P为线段AB延长线上一点，连接PC，∠CAB＝∠BCP．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）作∠CPB的角平分线，交AC于点M，交BC于点N．
①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
②若∠CPB＝30°，NC＝3，求MN的长．
21．（9分）据悉，河南省中招体育考试成绩将于2024年起，由现在的满分70分提高到100 分计入总分．某中学为了满足体育课的需要，计划购买A，B两个品牌的篮球若干个，市场调研得知，购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元．
（1）求A，B两种品牌篮球的单价；
（2）学校在选定的超市实际购买时，发现有两种购买方案：
方案一：购买A品牌篮球的数量如果不超过10个，按原价销售；如果超过10个，超过部分按八折优惠；B品牌篮球一律按原价销售．
方案二：购买A品牌和B品牌篮球都按八五折优惠．
该中学计划购买A品牌篮球x个，B品牌篮球10个．
①请分别写出这两种方案所需的费用y（单位：元）与x的函数关系式；
②已知x＞10，则该校选择哪种方案购买更合算？请说明理由．
22．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3 经过点A（2，3）．
（1）用含a的式子表示b；
（2）若抛物线开口向上，点P（m，n）是抛物线上一动点，当﹣1≤m≤2时，n的最大值是5，求a的值．
（3）将点M（﹣1，4）向右平移5个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
23．（10分）（1）问题背景：数学课上，李老师出示了如下题目：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF．
小华同学给出了如下的部分证明过程．
证明：延长FD到点P使DP＝BE，连接AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADP＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADP中，
Rt△ABE≌Rt△ADP（SAS），…
请你完成剩余的证明过程．
（2）迁移应用：李老师在（1）的基础上，添加了BE＝3和DF＝2两个条件，请求出正方形ABCD的边长．
（3）拓展探究：如图2，在边长为6的正方形ABCD中，点 E在BC的延长线上，CE＝3，连接AE交CD于点F，动点G在边AB上，动点P在线段AF上（点P与A、F 不重合），且∠GPA＝45°，连接GP并延长，交射线CD 于点H，设CH＝m，请直接写出m的取值范围．
2023年河南省许昌市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（3分）的绝对值是（ ）
A． B． C．﹣2023 D．2023
【解答】解：的绝对值是．
故选：A．
2．（3分）下列立体图形的主视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．球的主视图是圆，故本选项不符合题意；
B．圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项符合题意；
C．圆柱的主视图的矩形，故本选项不符合题意；
D．三棱柱的主视图的矩形（矩形内部有一条纵向的虚线），故本选项不符合题意．
故选：B．
3．（3分）我国神舟十五号载人飞船于2022年11月30日，在距地面约390000米的轨道上与中国空间站天和核心舱交会对接成功，将390000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.9×104 B．39×104 C．39×106 D．3.9×105
【解答】解：390000＝3.9×105．
故选：D．
4．（3分）一副直角三角板如图摆放，点F在BC的延长线上，点D在AC上，若DE∥BF，则∠CDF的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【解答】解：由题意得：∠ACB＝60°，∠EDF＝45°，
∵DE∥BF，
∴∠EDC＝∠ACB＝60°，
∴∠CDF＝∠EDC﹣∠EDF＝15°．
故选：B．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：解不等式x+1＜0得，x＜﹣1,
解不等式﹣2x≤6得，x≥﹣3，
∴不等式组的解集为：﹣3≤x＜﹣1,在数轴上表示为：
故选：A．
6．（3分）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
【解答】解：∵四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
当∠ABD＝∠CBD时，
由AD∥BC得：∠CBD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
故选：C．
7．（3分）计算＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：原式＝，
故选：B．
8．（3分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按1：1：2的比例确定四人的最终得分，并以此为依据录用得分最高者，那么（ ）将被录用．
应聘者
项目
甲
乙
丙
丁
学历
9
8
9
8
经验
7
6
7
6
工作态度
5
9
6
8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：甲的最终得分为＝6.5，
乙的最终得分为＝8，
丙的最终得分为＝7.5，
∵6.5＜7.5＜8，
∴乙最终将被录用，
故选：B．
9．（3分）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，矩形的面积为Sm2当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【解答】解：由题意得，
2x+y＝40，
∴y＝40﹣2x，
即y与x是一次函数关系．
∵S＝xy
＝x（40﹣x）
＝﹣x2+40x，
∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+40x，
即满足二次函数关系，
故选：A．
10．（3分）如图，原点O为▱ABCD的对称中心，AB∥x轴，与y轴交于点E（0，1），AD与x轴交于点F（﹣，0），AE：BE＝1：2，若将△AOE绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第502次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣，0） D．（，0）
【解答】解：连接OC，设CD交y轴于点G，BC交x轴于点H，
∵原点O为▱ABCD的对称中心，
∴点G与点E关于点O对称，点H与点F关于点O对称，点C与点A关于点O对称，
∵E（0，1），F（﹣，0），
∴G（0，﹣1），H（，0），
∵AB∥x轴，点F和点H在x轴上，
∴AB∥FH，
∵AF∥BH，
∴四边形ABHF是平行四边形，
∴AB＝FH＝+＝3，
∵AE：BE＝1：2，
∴AE＝AB＝×3＝1，
∴A（﹣1，1），
∴C（1，﹣1），
∵每4次旋转360°，且502÷4＝125（周）……2（次），
∴第502次旋转结束时△AOE旋转到△COG的位置，此时点A与点C重合，
∴点A的坐标为（1，﹣1），
故选：A．
11．（3分）扬州某日的最高气温为6℃，最低气温为﹣2℃，则该日的日温差是 8 ℃．
【解答】解：根据题意得：6﹣（﹣2）＝6+2＝8（℃），
则该日的日温差是8℃．
故答案为：8．
12．（3分）请填写一个常数，使得关于x的一元二次方程2x2﹣x+ ﹣1（答案不唯一） ＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：设常数项为c，
根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4×2×c＞0．
解得c＜，
所以c可以取﹣1．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
13．（3分）在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K1，K2，K3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合（K1，K3），（K1，K2），（K3，K1），（K2，K1），
∴能够让灯泡发光的概率为：＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，在2×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，线段CD与弧AC交于点E，则图中弧AE的长度为 π ．
【解答】解：连接AC、AD．
∵AD2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5，
CD2＝12+32＝10，
∴AD＝AC，AD2+AC2＝CD2．
∴△ACD是等腰直角三角形．
∴∠ACD＝45°．
∴∠AOE＝90°．
∵∠ABC是直角，
∴AC是直径．
∴AC＝．
∴OE＝OA＝AC＝．
∴l＝＝π．
故答案为：π．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P是边AB上的动点，沿CP所在的直线折叠∠A，使点A的对应点落在点A′处．当A′P与Rt△ABC的边平行时，线段AP 的长为 2或 ．
【解答】解：①当A′P∥AC时，如图，
根据折叠的性质可得，∠APC＝∠A′PC，
∵A′P∥AC，
∴∠ACP＝∠A′PC，
∴∠ACP＝∠APC，
∴AC＝AP＝2；
②当A′P∥BC时，设A′C交AC于点D，如图，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
根据折叠的性质可得，∠A＝∠A′＝60°，AP＝AP′，AC＝A′C＝2，
∵A′P∥BC，
∴∠A′PD＝∠B＝30°，
∴∠A′DP＝180°﹣∠A′﹣∠A′PD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
在Rt△ACD中，AD＝＝1，CD＝AC•sinA＝2×＝，
∴A′D＝A′C﹣CD＝，
设AP＝A′P＝x，则PD＝AD﹣AP＝1﹣x，
在Rt△A′PD中，A′D2+PD2＝A′P2，
∴，
解得：x＝，
∴AP＝．
综上，线段AP 的长为2或．
故答案为：2或．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（10分）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：（）．
小明同学的部分解答过程如下：
解：原式＝[]×
＝[]×
＝×③
……
（1）请你分析小明的解答从第 ③ 步开始出现错误（填序号）；
（2）请写出正确解答过程，并求出当x＝﹣2时此式的值．
【解答】解：（1）小明的解答从第③步开始出现错误；
故答案为：③
（2）原式＝
＝
＝
＝
＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝．
17．（9分）如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象经过点B（1，3），
∴a+1＝3，
∴a＝2．
∴一次函数的解析式为y＝2x+1，
∵反比例函数y＝的图象经过点B（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）令y＝0，则2x+1＝0，
∴x＝﹣．
∴A（﹣，0）．
∴OA＝．
∵BC⊥x轴于点C，B（1，3），
∴OC＝1，BC＝3．
∴AC＝1＝．
∴△ABC的面积＝×AC•BC＝．
18．（9分）教育部印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》指出学校要完善作业管理办法，加强学科组、年级组作业统筹，合理调控作业结构，建立作业校内公示制度，并确保每天初中书面作业平均完成时间不超过90分钟．某初级中学为了解学生每天完成课后作业用时情况，从本校学生中随机抽取300名进行问卷调查，并将调查结果进行了整理，结果如下．
调查问卷
1．近两周你每天完成课后作业用时约， • 分钟．
如果你每天完成课后作业用时超过90分钟，请回答第2个问题．
2．影响你完成课后作业用时的主要原因是 • .（ 单选）
A．作业难度大
B．作业题量大
C．自身写作业效率低
D．其他
学生课后作业用时频数分布表
课后作业用时x（分钟）
x≤60
60＜x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
x＞90
人数
15
44
57
136
48
影响学生课后作业用时统计图：
（影响因素：A．作业难度大 B．作业题量大 C．自身写作业效率低 D．其他）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，学生完成课后作业用时的中位数落在 80＜x≤90 这一组．
（2）若该校共有学生1000人，请估计有多少人未能在90分钟内完成课后作业．
（3）请对该校学生完成课后作业用时情况作出评价，并提出两条合理化建议．
【解答】答：（1）300个数据的中位数是第150个和第151个数据的平均数，
本题中这两个数据都在80＜x≤90这一组中．
故答案为：80＜x≤90．
（2）1000×＝160（人）．
答：该校1000人中约有160人未能在90分钟内完成课后作业．
（3）①建议学校降低作业的难度；
②建议学校减少作业量．（答案不唯一）．
19．（9分）许昌市中央公园是目前国内最大的开放式城市中心公园，是市民们游玩的好去处，公园内有许多供游客休息用的凉亭．某数学兴趣小组测量凉亭最高点到地面的距离，如图，点D，A、E在同一水平线上，测得∠DAC＝80°，∠BCA＝110°，AC＝2米．BC＝2.2米．求凉亭最高点到地面的距离BN的长．（sin80°≈0.985，cos80°≈0.174，tan80°≈5.671，1.732，结果精确到0.01米）
【解答】解：如图，过点C作CF⊥BN于点F，过点C作CG⊥DE于点G，
则四边形CGNF为矩形，
∴CF∥GN，CG＝FN，
∴∠DAC＝∠ACF＝80°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝30°，
在Rt△BCF中，BF＝BC•sin∠BCF＝2.2×＝1.1（米），
在Rt△ACG中，CG＝AC•sin∠GAC＝2×0.985≈1.97（米），
∴FN＝CG≈1.97米，
∴BN＝BF+FN＝1.1+1.97≈3.07（米）．
∴凉亭最高点到地面的距离BN的长为3.07米．
20．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点（不与点A，B重合），连接AC，BC．点P为线段AB延长线上一点，连接PC，∠CAB＝∠BCP．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）作∠CPB的角平分线，交AC于点M，交BC于点N．
①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
②若∠CPB＝30°，NC＝3，求MN的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO，
∵∠CAB＝∠BCP，
∴∠BOC+∠BCP＝90°，
即∠OCP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC为⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线；
（2）①如图，PM为所作；
②∵PM平分∠APC，
∴∠APM＝∠CPM，
∵∠CMN＝∠CAB+∠APM，∠CNM＝∠PCN+∠CPN，
而∠CAB＝∠PCN，
∴∠CMN＝∠CNM，
∴CM＝CN，
∵∠ACB＝90°，
∴△CMN为等腰直角三角形，
∴MN＝CN＝3．
21．（9分）据悉，河南省中招体育考试成绩将于2024年起，由现在的满分70分提高到100 分计入总分．某中学为了满足体育课的需要，计划购买A，B两个品牌的篮球若干个，市场调研得知，购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元．
（1）求A，B两种品牌篮球的单价；
（2）学校在选定的超市实际购买时，发现有两种购买方案：
方案一：购买A品牌篮球的数量如果不超过10个，按原价销售；如果超过10个，超过部分按八折优惠；B品牌篮球一律按原价销售．
方案二：购买A品牌和B品牌篮球都按八五折优惠．
该中学计划购买A品牌篮球x个，B品牌篮球10个．
①请分别写出这两种方案所需的费用y（单位：元）与x的函数关系式；
②已知x＞10，则该校选择哪种方案购买更合算？请说明理由．
【解答】解：（1）设A品牌篮球的单价为m元，B品牌篮球的单价为n元，
根据题意，得，
解得，
答：A品牌篮球的单价为100元，B品牌篮球的单价为80元；
（2）①方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+10×80＝100x+800，
当x＞10时，y＝100×10+100×0.8（x﹣10）+80×10＝80x+1000，
方案二：y＝100×0.85x+80×0.85×10＝85x+680，
∴方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+800；当x＞10时，y＝80x+1000；
方案二：y＝85x+680；
②当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算，理由如下：
∵x＞10，
当80x+1000＞85x+680时，x＜64，此时方案二合算；
当80x+1000＝85x+680时，x＝64，此时两种方案费用相同；
当80x+1000＜85x+680时，x＞64，此时方案一合算，
∴当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算．
22．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3 经过点A（2，3）．
（1）用含a的式子表示b；
（2）若抛物线开口向上，点P（m，n）是抛物线上一动点，当﹣1≤m≤2时，n的最大值是5，求a的值．
（3）将点M（﹣1，4）向右平移5个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3 经过点A（2，3），
∴4a+2b+3＝3，
∴b＝﹣2a．
（2）如图1，∵b＝﹣2a，
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+3，
设抛物线y＝ax2﹣2ax+3与直线x＝﹣1、直线x＝2分别交于点B、点C，
∵当x＝﹣1时，y＝a+2a+3＝3a+3；当x＝2时，y＝4a﹣4a+3＝3，
∴B（﹣1，3a+3），C（2，3），
∵y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3，
∴该抛物线的顶点为（1，﹣a+3），对称轴为直线x＝1，
∴设点C关于直线x＝1的对称点为点D，则D（0，3），
∵a＞0，且﹣1＜0，
∴3a+3＞3，
∴当点P与点B重合，即m＝﹣1时，n＝3a+3最大，
∴3a+3＝5，
解得a＝．
（3）∵点M（﹣1，4）向右平移5个单位长度得到点N，
∴N（4，4），
设抛物线y＝ax2﹣2ax+3与直线x＝﹣1交于点B，与直线x＝4交于点E，则B（﹣1，3a+3），E（4，8a+3），
当a＜0时，如图2，
∵3a+3＜3，8a+3＜3，
∴点B、点E都在直线MN的下方，
∴当抛物线的顶点在线段MN上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴﹣a+3＝4，解得a＝﹣1；
当a＞0时，如图3，
∵当点B在点M下方，且点E与点N重合或在点N上方时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴，解得≤a＜，
综上所述，a的取值范围是a＝﹣1或≤a＜．
23．（10分）（1）问题背景：数学课上，李老师出示了如下题目：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF．
小华同学给出了如下的部分证明过程．
证明：延长FD到点P使DP＝BE，连接AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADP＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADP中，
Rt△ABE≌Rt△ADP（SAS），…
请你完成剩余的证明过程．
（2）迁移应用：李老师在（1）的基础上，添加了BE＝3和DF＝2两个条件，请求出正方形ABCD的边长．
（3）拓展探究：如图2，在边长为6的正方形ABCD中，点 E在BC的延长线上，CE＝3，连接AE交CD于点F，动点G在边AB上，动点P在线段AF上（点P与A、F 不重合），且∠GPA＝45°，连接GP并延长，交射线CD 于点H，设CH＝m，请直接写出m的取值范围．
【解答】（1）证明：如图1中，
延长FD到点P使DP＝BE，连接AP，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠ADP＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADP中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADP（SAS），
∴AE＝AP，∠BAE＝∠DAP，
∵∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠DAE+∠DAP＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAP＝45°，
在△AEF和△APF中，
，
∴△AEF≌△APF（SAS），
∴EF＝PF，
∵DP＝BE，
∴EF＝BE+DF．
（2）解：由（1）可得EF＝BE+DF＝5，
设正方形ABCD的边长是x，
在Rt△CEF中，EC＝x﹣3，CF＝x﹣2，EF2＝EC2+CF2，
∴52＝（x﹣3）2+（x﹣2）2，
解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去），
∴正方形ABCD的边长是6；
（3）解：过点A作AM∥HG交CD的延长线于M，过点F作FN⊥AM于N，则∠NAF＝∠GAP＝45°，
∵CF∥AB，
∴△ECF∽△EBA，
∴，
∴，
∴CF＝2，
∴DF＝DC﹣CF＝4，
∴AF＝＝＝2，
∴NF＝AF＝，
设DM＝x，则MF＝x+4，AM＝＝，
∵S△AMF＝AM•NF，
∴（x+4）×6＝，
解得x＝或x＝﹣30（舍去），
∴CM＝，
∵动点P在线段AF上（点P与A、F 不重合），CF＝2，
∴2＜m＜．
2023年河南省许昌市中考数学一模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（3分）的绝对值是（ ）
A． B． C．﹣2023 D．2023
2．（3分）下列立体图形的主视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）我国神舟十五号载人飞船于2022年11月30日，在距地面约390000米的轨道上与中国空间站天和核心舱交会对接成功，将390000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.9×104 B．39×104 C．39×106 D．3.9×105
4．（3分）一副直角三角板如图摆放，点F在BC的延长线上，点D在AC上，若DE∥BF，则∠CDF的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
5．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
7．（3分）计算＝（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按1：1：2的比例确定四人的最终得分，并以此为依据录用得分最高者，那么（ ）将被录用．
应聘者
项目
甲
乙
丙
丁
学历
9
8
9
8
经验
7
6
7
6
工作态度
5
9
6
8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（3分）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，矩形的面积为Sm2当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
10．（3分）如图，原点O为▱ABCD的对称中心，AB∥x轴，与y轴交于点E（0，1），AD与x轴交于点F（﹣，0），AE：BE＝1：2，若将△AOE绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第502次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣，0） D．（，0）
11．（3分）扬州某日的最高气温为6℃，最低气温为﹣2℃，则该日的日温差是 ℃．
12．（3分）请填写一个常数，使得关于x的一元二次方程2x2﹣x+ ＝0有两个不相等的实数根．
13．（3分）在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K1，K2，K3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
14．（3分）如图，在2×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，线段CD与弧AC交于点E，则图中弧AE的长度为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P是边AB上的动点，沿CP所在的直线折叠∠A，使点A的对应点落在点A′处．当A′P与Rt△ABC的边平行时，线段AP 的长为 ．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（10分）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：（）．
小明同学的部分解答过程如下：
解：原式＝[]×
＝[]×
＝×③
……
（1）请你分析小明的解答从第 步开始出现错误（填序号）；
（2）请写出正确解答过程，并求出当x＝﹣2时此式的值．
17．（9分）如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．
18．（9分）教育部印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》指出学校要完善作业管理办法，加强学科组、年级组作业统筹，合理调控作业结构，建立作业校内公示制度，并确保每天初中书面作业平均完成时间不超过90分钟．某初级中学为了解学生每天完成课后作业用时情况，从本校学生中随机抽取300名进行问卷调查，并将调查结果进行了整理，结果如下．
调查问卷
1．近两周你每天完成课后作业用时约， 分钟．
如果你每天完成课后作业用时超过90分钟，请回答第2个问题．
2．影响你完成课后作业用时的主要原因是 .（ 单选）
A．作业难度大
B．作业题量大
C．自身写作业效率低
D．其他
学生课后作业用时频数分布表
课后作业用时x（分钟）
x≤60
60＜x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
x＞90
人数
15
44
57
136
48
影响学生课后作业用时统计图：
（影响因素：A．作业难度大 B．作业题量大 C．自身写作业效率低 D．其他）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，学生完成课后作业用时的中位数落在 这一组．
（2）若该校共有学生1000人，请估计有多少人未能在90分钟内完成课后作业．
（3）请对该校学生完成课后作业用时情况作出评价，并提出两条合理化建议．
19．（9分）许昌市中央公园是目前国内最大的开放式城市中心公园，是市民们游玩的好去处，公园内有许多供游客休息用的凉亭．某数学兴趣小组测量凉亭最高点到地面的距离，如图，点D，A、E在同一水平线上，测得∠DAC＝80°，∠BCA＝110°，AC＝2米．BC＝2.2米．求凉亭最高点到地面的距离BN的长．（sin80°≈0.985，cos80°≈0.174，tan80°≈5.671，1.732，结果精确到0.01米）
20．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点（不与点A，B重合），连接AC，BC．点P为线段AB延长线上一点，连接PC，∠CAB＝∠BCP．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）作∠CPB的角平分线，交AC于点M，交BC于点N．
①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
②若∠CPB＝30°，NC＝3，求MN的长．
21．（9分）据悉，河南省中招体育考试成绩将于2024年起，由现在的满分70分提高到100 分计入总分．某中学为了满足体育课的需要，计划购买A，B两个品牌的篮球若干个，市场调研得知，购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元．
（1）求A，B两种品牌篮球的单价；
（2）学校在选定的超市实际购买时，发现有两种购买方案：
方案一：购买A品牌篮球的数量如果不超过10个，按原价销售；如果超过10个，超过部分按八折优惠；B品牌篮球一律按原价销售．
方案二：购买A品牌和B品牌篮球都按八五折优惠．
该中学计划购买A品牌篮球x个，B品牌篮球10个．
①请分别写出这两种方案所需的费用y（单位：元）与x的函数关系式；
②已知x＞10，则该校选择哪种方案购买更合算？请说明理由．
22．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3 经过点A（2，3）．
（1）用含a的式子表示b；
（2）若抛物线开口向上，点P（m，n）是抛物线上一动点，当﹣1≤m≤2时，n的最大值是5，求a的值．
（3）将点M（﹣1，4）向右平移5个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
23．（10分）（1）问题背景：数学课上，李老师出示了如下题目：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF．
小华同学给出了如下的部分证明过程．
证明：延长FD到点P使DP＝BE，连接AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADP＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADP中，
Rt△ABE≌Rt△ADP（SAS），…
请你完成剩余的证明过程．
（2）迁移应用：李老师在（1）的基础上，添加了BE＝3和DF＝2两个条件，请求出正方形ABCD的边长．
（3）拓展探究：如图2，在边长为6的正方形ABCD中，点 E在BC的延长线上，CE＝3，连接AE交CD于点F，动点G在边AB上，动点P在线段AF上（点P与A、F 不重合），且∠GPA＝45°，连接GP并延长，交射线CD 于点H，设CH＝m，请直接写出m的取值范围．
2023年河南省许昌市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（3分）的绝对值是（ ）
A． B． C．﹣2023 D．2023
【解答】解：的绝对值是．
故选：A．
2．（3分）下列立体图形的主视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．球的主视图是圆，故本选项不符合题意；
B．圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项符合题意；
C．圆柱的主视图的矩形，故本选项不符合题意；
D．三棱柱的主视图的矩形（矩形内部有一条纵向的虚线），故本选项不符合题意．
故选：B．
3．（3分）我国神舟十五号载人飞船于2022年11月30日，在距地面约390000米的轨道上与中国空间站天和核心舱交会对接成功，将390000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.9×104 B．39×104 C．39×106 D．3.9×105
【解答】解：390000＝3.9×105．
故选：D．
4．（3分）一副直角三角板如图摆放，点F在BC的延长线上，点D在AC上，若DE∥BF，则∠CDF的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【解答】解：由题意得：∠ACB＝60°，∠EDF＝45°，
∵DE∥BF，
∴∠EDC＝∠ACB＝60°，
∴∠CDF＝∠EDC﹣∠EDF＝15°．
故选：B．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：解不等式x+1＜0得，x＜﹣1,
解不等式﹣2x≤6得，x≥﹣3，
∴不等式组的解集为：﹣3≤x＜﹣1,在数轴上表示为：
故选：A．
6．（3分）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
【解答】解：∵四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
当∠ABD＝∠CBD时，
由AD∥BC得：∠CBD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
故选：C．
7．（3分）计算＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：原式＝，
故选：B．
8．（3分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按1：1：2的比例确定四人的最终得分，并以此为依据录用得分最高者，那么（ ）将被录用．
应聘者
项目
甲
乙
丙
丁
学历
9
8
9
8
经验
7
6
7
6
工作态度
5
9
6
8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：甲的最终得分为＝6.5，
乙的最终得分为＝8，
丙的最终得分为＝7.5，
∵6.5＜7.5＜8，
∴乙最终将被录用，
故选：B．
9．（3分）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，矩形的面积为Sm2当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【解答】解：由题意得，
2x+y＝40，
∴y＝40﹣2x，
即y与x是一次函数关系．
∵S＝xy
＝x（40﹣x）
＝﹣x2+40x，
∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+40x，
即满足二次函数关系，
故选：A．
10．（3分）如图，原点O为▱ABCD的对称中心，AB∥x轴，与y轴交于点E（0，1），AD与x轴交于点F（﹣，0），AE：BE＝1：2，若将△AOE绕原点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第502次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣，0） D．（，0）
【解答】解：连接OC，设CD交y轴于点G，BC交x轴于点H，
∵原点O为▱ABCD的对称中心，
∴点G与点E关于点O对称，点H与点F关于点O对称，点C与点A关于点O对称，
∵E（0，1），F（﹣，0），
∴G（0，﹣1），H（，0），
∵AB∥x轴，点F和点H在x轴上，
∴AB∥FH，
∵AF∥BH，
∴四边形ABHF是平行四边形，
∴AB＝FH＝+＝3，
∵AE：BE＝1：2，
∴AE＝AB＝×3＝1，
∴A（﹣1，1），
∴C（1，﹣1），
∵每4次旋转360°，且502÷4＝125（周）……2（次），
∴第502次旋转结束时△AOE旋转到△COG的位置，此时点A与点C重合，
∴点A的坐标为（1，﹣1），
故选：A．
11．（3分）扬州某日的最高气温为6℃，最低气温为﹣2℃，则该日的日温差是 8 ℃．
【解答】解：根据题意得：6﹣（﹣2）＝6+2＝8（℃），
则该日的日温差是8℃．
故答案为：8．
12．（3分）请填写一个常数，使得关于x的一元二次方程2x2﹣x+ ﹣1（答案不唯一） ＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：设常数项为c，
根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4×2×c＞0．
解得c＜，
所以c可以取﹣1．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
13．（3分）在如图所示的电路图中，当随机闭合开关K1，K2，K3中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合（K1，K3），（K1，K2），（K3，K1），（K2，K1），
∴能够让灯泡发光的概率为：＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，在2×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，线段CD与弧AC交于点E，则图中弧AE的长度为 π ．
【解答】解：连接AC、AD．
∵AD2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5，
CD2＝12+32＝10，
∴AD＝AC，AD2+AC2＝CD2．
∴△ACD是等腰直角三角形．
∴∠ACD＝45°．
∴∠AOE＝90°．
∵∠ABC是直角，
∴AC是直径．
∴AC＝．
∴OE＝OA＝AC＝．
∴l＝＝π．
故答案为：π．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P是边AB上的动点，沿CP所在的直线折叠∠A，使点A的对应点落在点A′处．当A′P与Rt△ABC的边平行时，线段AP 的长为 2或 ．
【解答】解：①当A′P∥AC时，如图，
根据折叠的性质可得，∠APC＝∠A′PC，
∵A′P∥AC，
∴∠ACP＝∠A′PC，
∴∠ACP＝∠APC，
∴AC＝AP＝2；
②当A′P∥BC时，设A′C交AC于点D，如图，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
根据折叠的性质可得，∠A＝∠A′＝60°，AP＝AP′，AC＝A′C＝2，
∵A′P∥BC，
∴∠A′PD＝∠B＝30°，
∴∠A′DP＝180°﹣∠A′﹣∠A′PD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝30°，
在Rt△ACD中，AD＝＝1，CD＝AC•sinA＝2×＝，
∴A′D＝A′C﹣CD＝，
设AP＝A′P＝x，则PD＝AD﹣AP＝1﹣x，
在Rt△A′PD中，A′D2+PD2＝A′P2，
∴，
解得：x＝，
∴AP＝．
综上，线段AP 的长为2或．
故答案为：2或．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16．（10分）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：（）．
小明同学的部分解答过程如下：
解：原式＝[]×
＝[]×
＝×③
……
（1）请你分析小明的解答从第 ③ 步开始出现错误（填序号）；
（2）请写出正确解答过程，并求出当x＝﹣2时此式的值．
【解答】解：（1）小明的解答从第③步开始出现错误；
故答案为：③
（2）原式＝
＝
＝
＝
＝，
当x＝﹣2时，原式＝＝．
17．（9分）如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象经过点B（1，3），
∴a+1＝3，
∴a＝2．
∴一次函数的解析式为y＝2x+1，
∵反比例函数y＝的图象经过点B（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）令y＝0，则2x+1＝0，
∴x＝﹣．
∴A（﹣，0）．
∴OA＝．
∵BC⊥x轴于点C，B（1，3），
∴OC＝1，BC＝3．
∴AC＝1＝．
∴△ABC的面积＝×AC•BC＝．
18．（9分）教育部印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》指出学校要完善作业管理办法，加强学科组、年级组作业统筹，合理调控作业结构，建立作业校内公示制度，并确保每天初中书面作业平均完成时间不超过90分钟．某初级中学为了解学生每天完成课后作业用时情况，从本校学生中随机抽取300名进行问卷调查，并将调查结果进行了整理，结果如下．
调查问卷
1．近两周你每天完成课后作业用时约， • 分钟．
如果你每天完成课后作业用时超过90分钟，请回答第2个问题．
2．影响你完成课后作业用时的主要原因是 • .（ 单选）
A．作业难度大
B．作业题量大
C．自身写作业效率低
D．其他
学生课后作业用时频数分布表
课后作业用时x（分钟）
x≤60
60＜x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
x＞90
人数
15
44
57
136
48
影响学生课后作业用时统计图：
（影响因素：A．作业难度大 B．作业题量大 C．自身写作业效率低 D．其他）
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，学生完成课后作业用时的中位数落在 80＜x≤90 这一组．
（2）若该校共有学生1000人，请估计有多少人未能在90分钟内完成课后作业．
（3）请对该校学生完成课后作业用时情况作出评价，并提出两条合理化建议．
【解答】答：（1）300个数据的中位数是第150个和第151个数据的平均数，
本题中这两个数据都在80＜x≤90这一组中．
故答案为：80＜x≤90．
（2）1000×＝160（人）．
答：该校1000人中约有160人未能在90分钟内完成课后作业．
（3）①建议学校降低作业的难度；
②建议学校减少作业量．（答案不唯一）．
19．（9分）许昌市中央公园是目前国内最大的开放式城市中心公园，是市民们游玩的好去处，公园内有许多供游客休息用的凉亭．某数学兴趣小组测量凉亭最高点到地面的距离，如图，点D，A、E在同一水平线上，测得∠DAC＝80°，∠BCA＝110°，AC＝2米．BC＝2.2米．求凉亭最高点到地面的距离BN的长．（sin80°≈0.985，cos80°≈0.174，tan80°≈5.671，1.732，结果精确到0.01米）
【解答】解：如图，过点C作CF⊥BN于点F，过点C作CG⊥DE于点G，
则四边形CGNF为矩形，
∴CF∥GN，CG＝FN，
∴∠DAC＝∠ACF＝80°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝30°，
在Rt△BCF中，BF＝BC•sin∠BCF＝2.2×＝1.1（米），
在Rt△ACG中，CG＝AC•sin∠GAC＝2×0.985≈1.97（米），
∴FN＝CG≈1.97米，
∴BN＝BF+FN＝1.1+1.97≈3.07（米）．
∴凉亭最高点到地面的距离BN的长为3.07米．
20．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点（不与点A，B重合），连接AC，BC．点P为线段AB延长线上一点，连接PC，∠CAB＝∠BCP．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）作∠CPB的角平分线，交AC于点M，交BC于点N．
①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
②若∠CPB＝30°，NC＝3，求MN的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO，
∵∠CAB＝∠BCP，
∴∠BOC+∠BCP＝90°，
即∠OCP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC为⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线；
（2）①如图，PM为所作；
②∵PM平分∠APC，
∴∠APM＝∠CPM，
∵∠CMN＝∠CAB+∠APM，∠CNM＝∠PCN+∠CPN，
而∠CAB＝∠PCN，
∴∠CMN＝∠CNM，
∴CM＝CN，
∵∠ACB＝90°，
∴△CMN为等腰直角三角形，
∴MN＝CN＝3．
21．（9分）据悉，河南省中招体育考试成绩将于2024年起，由现在的满分70分提高到100 分计入总分．某中学为了满足体育课的需要，计划购买A，B两个品牌的篮球若干个，市场调研得知，购买5个A品牌和购买10个B品牌的篮球共需1300元；购买10个A品牌和购买5个B品牌的篮球共需1400元．
（1）求A，B两种品牌篮球的单价；
（2）学校在选定的超市实际购买时，发现有两种购买方案：
方案一：购买A品牌篮球的数量如果不超过10个，按原价销售；如果超过10个，超过部分按八折优惠；B品牌篮球一律按原价销售．
方案二：购买A品牌和B品牌篮球都按八五折优惠．
该中学计划购买A品牌篮球x个，B品牌篮球10个．
①请分别写出这两种方案所需的费用y（单位：元）与x的函数关系式；
②已知x＞10，则该校选择哪种方案购买更合算？请说明理由．
【解答】解：（1）设A品牌篮球的单价为m元，B品牌篮球的单价为n元，
根据题意，得，
解得，
答：A品牌篮球的单价为100元，B品牌篮球的单价为80元；
（2）①方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+10×80＝100x+800，
当x＞10时，y＝100×10+100×0.8（x﹣10）+80×10＝80x+1000，
方案二：y＝100×0.85x+80×0.85×10＝85x+680，
∴方案一：当0＜x≤10时，y＝100x+800；当x＞10时，y＝80x+1000；
方案二：y＝85x+680；
②当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算，理由如下：
∵x＞10，
当80x+1000＞85x+680时，x＜64，此时方案二合算；
当80x+1000＝85x+680时，x＝64，此时两种方案费用相同；
当80x+1000＜85x+680时，x＞64，此时方案一合算，
∴当10＜x＜64时，选择方案二合算；当x＝64时，两种方案费用相同；当x＞64时，选择方案一合算．
22．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3 经过点A（2，3）．
（1）用含a的式子表示b；
（2）若抛物线开口向上，点P（m，n）是抛物线上一动点，当﹣1≤m≤2时，n的最大值是5，求a的值．
（3）将点M（﹣1，4）向右平移5个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3 经过点A（2，3），
∴4a+2b+3＝3，
∴b＝﹣2a．
（2）如图1，∵b＝﹣2a，
∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+3，
设抛物线y＝ax2﹣2ax+3与直线x＝﹣1、直线x＝2分别交于点B、点C，
∵当x＝﹣1时，y＝a+2a+3＝3a+3；当x＝2时，y＝4a﹣4a+3＝3，
∴B（﹣1，3a+3），C（2，3），
∵y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3，
∴该抛物线的顶点为（1，﹣a+3），对称轴为直线x＝1，
∴设点C关于直线x＝1的对称点为点D，则D（0，3），
∵a＞0，且﹣1＜0，
∴3a+3＞3，
∴当点P与点B重合，即m＝﹣1时，n＝3a+3最大，
∴3a+3＝5，
解得a＝．
（3）∵点M（﹣1，4）向右平移5个单位长度得到点N，
∴N（4，4），
设抛物线y＝ax2﹣2ax+3与直线x＝﹣1交于点B，与直线x＝4交于点E，则B（﹣1，3a+3），E（4，8a+3），
当a＜0时，如图2，
∵3a+3＜3，8a+3＜3，
∴点B、点E都在直线MN的下方，
∴当抛物线的顶点在线段MN上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴﹣a+3＝4，解得a＝﹣1；
当a＞0时，如图3，
∵当点B在点M下方，且点E与点N重合或在点N上方时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴，解得≤a＜，
综上所述，a的取值范围是a＝﹣1或≤a＜．
23．（10分）（1）问题背景：数学课上，李老师出示了如下题目：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF．
小华同学给出了如下的部分证明过程．
证明：延长FD到点P使DP＝BE，连接AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADP＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADP中，
Rt△ABE≌Rt△ADP（SAS），…
请你完成剩余的证明过程．
（2）迁移应用：李老师在（1）的基础上，添加了BE＝3和DF＝2两个条件，请求出正方形ABCD的边长．
（3）拓展探究：如图2，在边长为6的正方形ABCD中，点 E在BC的延长线上，CE＝3，连接AE交CD于点F，动点G在边AB上，动点P在线段AF上（点P与A、F 不重合），且∠GPA＝45°，连接GP并延长，交射线CD 于点H，设CH＝m，请直接写出m的取值范围．
【解答】（1）证明：如图1中，
延长FD到点P使DP＝BE，连接AP，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠ADP＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADP中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADP（SAS），
∴AE＝AP，∠BAE＝∠DAP，
∵∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠DAE+∠DAP＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAP＝45°，
在△AEF和△APF中，
，
∴△AEF≌△APF（SAS），
∴EF＝PF，
∵DP＝BE，
∴EF＝BE+DF．
（2）解：由（1）可得EF＝BE+DF＝5，
设正方形ABCD的边长是x，
在Rt△CEF中，EC＝x﹣3，CF＝x﹣2，EF2＝EC2+CF2，
∴52＝（x﹣3）2+（x﹣2）2，
解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去），
∴正方形ABCD的边长是6；
（3）解：过点A作AM∥HG交CD的延长线于M，过点F作FN⊥AM于N，则∠NAF＝∠GAP＝45°，
∵CF∥AB，
∴△ECF∽△EBA，
∴，
∴，
∴CF＝2，
∴DF＝DC﹣CF＝4，
∴AF＝＝＝2，
∴NF＝AF＝，
设DM＝x，则MF＝x+4，AM＝＝，
∵S△AMF＝AM•NF，
∴（x+4）×6＝，
解得x＝或x＝﹣30（舍去），
∴CM＝，
∵动点P在线段AF上（点P与A、F 不重合），CF＝2，
∴2＜m＜．
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