2023年北京市东城区广渠门中学中考数学一检试卷(含答案)

这是一份2023年北京市东城区广渠门中学中考数学一检试卷(含答案)，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．圆锥B．长方体C．三棱柱D．圆柱
2．（2分）国家统计局发布2021年国内生产总值达到1140000亿元，比上年增长8.1%．将1140000用科学记数法表示应为（ ）
A．114×104B．11.4×105C．1.14×106D．1.14×105
3．（2分）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠2＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
4．（2分）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a+b＞0B．ab＞0C．a﹣b＞0D．|a|＞|b|
5．（2分）五边形的内角和是（ ）
A．360°B．540°C．720°D．1080°
6．（2分）不透明的袋子中有3个小球，其中有1个红球，1个黄球，1个绿球，除颜色外3个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）已知a、b表示如表第一行中两个相邻的数，且a＜＜b，那么a的值是（ ）
A．3.5B．3.6C．3.7D．3.8
8．（2分）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，正比例函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）分解因式：xy2﹣x＝ ．
11．（2分）方程＝的解为 ．
12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax与双曲线y＝交于点A（﹣1，2）和点B，则点B的坐标为 ．
13．（2分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，BC＝EF，∠B＝∠DEF．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是 （写出一个即可）．
14．（2分）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的度数为 ．
15．（2分）如图是甲、乙两名射击运动员10次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这10次射击成绩的方差为s甲2，s乙2，那么s甲2 s乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
16．（2分）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 ．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）
17．（5分）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知m2﹣m＝1，求代数式（2m+1）（2m﹣1）﹣m（m+3）的值．
20．（5分）已知：线段AB．
求作：Rt△ABC，使得∠BAC＝90°，∠C＝30°．
作法：
①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；
②连接BD，在BD的延长线上截取DC＝BD；
③连接AC．
则△ABC为所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD．
∵AB＝AD＝BD，
∴△ABD为等边三角形（ ）．（填推理的依据）
∴∠B＝∠ADB＝60°．
∵CD＝BD，
∴AD＝CD
∴∠DAC＝ （ ）．（填推理的依据）
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°．
∴∠C＝30°．
在△ABC中，
∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．
22．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC＝4，AD＝2，cs∠ACB＝，求BC的长．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值大于一次函数y＝mx﹣1（m≠0）的值，直接写出m的取值范围．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG＝HF，延长HF交AB的延长线于点M．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）若sinM＝，BM＝1，求AF的长．
25．（5分）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE＝x米，EF＝y米．
通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表：
（1）隧道顶面到路面AB的最大高度为 米；
（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．
（3）今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米，结合所画图象，请判断该货车是否安全通过： （填写“是”或“否”）．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，m），B（x0，n）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若存在﹣1＜x0＜1，使得m＜n，求a的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在边AC上，将射线BD绕点B逆时针旋转45°得到射线BM，过点D作DE⊥BM于E，延长CB到F，使BF＝AD，连接EF．
（1）依题意，补全图形，判断线段AE与EF的位置关系与数量关系，并证明；
（2）若H为线段BD的中点，连接AH，请用等式表示线段AE与AH之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于直线l：y＝x+1和线段BC，给出如下定义：若将线段BC沿直线l翻折可以得到⊙O的弦B'C'（B′，C'分别是B，C的对应点），则称线段BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”．例如：在图1中，线段BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”．
（1）如图2，点B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，以直线l为轴的⊙O的“关联线段”是 ；
（2）△ABC是边长为a的等边三角形，点A（0，1），若BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”，求a的值；
（3）如果经过点P（﹣1，5）的直线上存在以直线l为轴的⊙O的“关联线段”，直接写出这条直线与y轴交点的纵坐标m的取值范围．
2023年北京市东城区广渠门中学中考数学一检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）
1．（2分）如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A．圆锥B．长方体C．三棱柱D．圆柱
【分析】由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体是圆柱．
故选：D．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
2．（2分）国家统计局发布2021年国内生产总值达到1140000亿元，比上年增长8.1%．将1140000用科学记数法表示应为（ ）
A．114×104B．11.4×105C．1.14×106D．1.14×105
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：1140000＝1.14×106．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（2分）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠2＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠1的度数．
【解答】解：如图，
∵∠2＝50°，
∴∠3＝∠2＝40°，
∴∠1＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．
4．（2分）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．a+b＞0B．ab＞0C．a﹣b＞0D．|a|＞|b|
【分析】根据图示，可得：a＜0＜b，|a|＞|b|，据此逐项判定即可．
【解答】解：∵a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，
故A选项错误，不符合题意；
∵a＜0＜b，
∴ab＜0，
故B选项错误，不符合题意；
∵a＜0＜b，
∴a﹣b＜0，
故C选项错误，不符合题意；
∵|a|＞|b|，
∴D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．
5．（2分）五边形的内角和是（ ）
A．360°B．540°C．720°D．1080°
【分析】根据n边形的内角和为：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为整数），求出五边形的内角和是多少度即可．
【解答】解：五边形的内角和是：
（5﹣2）×180°
＝3×180°
＝540°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，掌握确n边形的内角和为：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为整数）是关键．
6．（2分）不透明的袋子中有3个小球，其中有1个红球，1个黄球，1个绿球，除颜色外3个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次摸出的小球都是红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中两次摸出的小球都是红球的有1种，
则两次摸出的小球都是红球的概率是；
故选：D．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
7．（2分）已知a、b表示如表第一行中两个相邻的数，且a＜＜b，那么a的值是（ ）
A．3.5B．3.6C．3.7D．3.8
【分析】根据表格中的数据直接得出a．
【解答】解：根据表格中的数据直接得出a＝3.6，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数大小，掌握估算无理数大小要用逼近法是解题关键．
8．（2分）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，正比例函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式．
【解答】解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
即y与x是一次函数关系，
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
＝﹣x2+5x，
∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x，
即满足二次函数关系，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，一次函数的应用等知识，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，解之即可求出x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数．
10．（2分）分解因式：xy2﹣x＝ x（y﹣1）（y+1） ．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：xy2﹣x，
＝x（y2﹣1），
＝x（y﹣1）（y+1）．
故答案为：x（y﹣1）（y+1）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．（2分）方程＝的解为 x＝5 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝x+5，
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x（x+5）≠0，
∴分式方程的解为x＝5．
故答案为：x＝5．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax与双曲线y＝交于点A（﹣1，2）和点B，则点B的坐标为 （1，﹣2） ．
【分析】根据双曲线的中心对称性即可求得点B的坐标．
【解答】解：∵直线y＝ax与双曲线y＝交于点A（﹣1，2）和点B，
∵点A、B关于原点对称，
∴B（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题是正比例函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的性质，应用反比例函数的中心对称性是解题的关键．
13．（2分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，BC＝EF，∠B＝∠DEF．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是 AB＝DE或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE （写出一个即可）．
【分析】根据“SAS”或“AAS”或“ASA”添加条件．
【解答】解：∵BC＝EF，∠B＝∠DEF．
∴当添加AB＝DE时，根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF；
当添加∠A＝∠D时，根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF；
当添加∠ACB＝∠DFE时，根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF；
故答案为：AB＝DE或∠A＝∠D或∠ACB＝∠DFE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
14．（2分）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的度数为 30° ．
【分析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
【解答】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，
由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又∵∠AOC＝90°，
∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．
15．（2分）如图是甲、乙两名射击运动员10次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这10次射击成绩的方差为s甲2，s乙2，那么s甲2 ＞ s乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【分析】从统计图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算．
【解答】解：由图中知，甲的成绩为7，10，7，9，10，9，8，10，8，7，
乙的成绩为9，8，10，9，9，8，9，7，7，9，
＝×（7+10+7+9+10+9+8+10+8+7）＝8.5，
＝×（9+8+10+9+9+8+9+7+7+9）＝8.5，
甲的方差s甲2＝[3×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2+2×（9﹣8.5）2]÷10＝1.45，
乙的方差s乙2＝[2×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）2+（10﹣8.5）2]÷10＝0.85，
∴s甲2＞s乙2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查方差的定义与意义，熟记方差的计算公式是解题的关键，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16．（2分）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 丙、丁、甲、乙或丙、丁、乙、甲或丙、甲、丁、乙或丙、乙、丁、甲 ．
【分析】先判断，丙购4票（3124）后，左余6座，右余5座，即可得出结论．
【解答】解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3，1，2，4号票，
此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，
即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，
①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买，
即丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、甲（6，8）、乙（10，12，14），
或丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、乙（6，8，10）、甲（12，14）；
②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5，7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6，8，10，12，14号票，
此时，四个人购买的票全在第一排，
即丙（3，1，2，4）、甲（5，7）、丁（6，8，10，12，14）、乙（9，11，13），
或丙（3，1，2，4）、乙（5，7，9）、丁（6，8，10，12，14）、甲（11，13），
因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排，
故答案为：丙、丁、甲、乙或丙、丁、乙、甲或丙、甲、丁、乙或丙、乙、丁、甲．
【点评】此题主要考查了推理与论证，判断出甲、乙购买的票在丙的同侧是解本题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）
17．（5分）计算：（π﹣1）0+4sin45°﹣+|﹣3|．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝1+4×﹣2+3
＝1+2﹣2+3
＝4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．（5分）解不等式组：．
【分析】分别解每一个不等式，然后即可得出解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞，
解不等式②得：x＜2，
∴此不等式组的解集为＜x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式的解法是解题关键．
19．（5分）已知m2﹣m＝1，求代数式（2m+1）（2m﹣1）﹣m（m+3）的值．
【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（2m+1）（2m﹣1）﹣m（m+3）
＝4m2﹣1﹣m2﹣3m
＝3m2﹣3m﹣1，
当m2﹣m＝1时，
原式＝3（m2﹣m）﹣1
＝3×1﹣1
＝2．
【点评】本题考查了考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序，用了整体代入思想．
20．（5分）已知：线段AB．
求作：Rt△ABC，使得∠BAC＝90°，∠C＝30°．
作法：
①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；
②连接BD，在BD的延长线上截取DC＝BD；
③连接AC．
则△ABC为所求作的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AD．
∵AB＝AD＝BD，
∴△ABD为等边三角形（ 三边相等的三角形是等边三角形 ）．（填推理的依据）
∴∠B＝∠ADB＝60°．
∵CD＝BD，
∴AD＝CD
∴∠DAC＝ ∠DCA （ 等边对等角 ）．（填推理的依据）
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°．
∴∠C＝30°．
在△ABC中，
∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明△ADB是等边三角形，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：连接AD．
∵AB＝AD＝BD，
∴△ABD为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）．（填推理的依据）》
∴∠B＝∠ADB＝60°．
∵CD＝BD，
∴AD＝CD
∴∠DAC＝∠DCA（等边对等角）．（填推理的依据）
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°．
∴∠C＝30°．
在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°．
故答案为：三边相等的三角形是等边三角形，∠DCA，等边对等角．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣2）＞0，然后解不等式即可；
（2）由于Δ＝4（3﹣k）＞0，k为正整数，Δ为完全平方数，则k＝2，然后用公式法解方程．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣2）＞0，
解得k＜3，
所以k的取值范围为k＜3；
（2）∵Δ＝4（3﹣k）＞0，
而k为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴k＝2，此时Δ＝4，
∴x＝＝＝1±1，
解得x1＝2，x2＝0，
即k的值为2，方程的两个根为x1＝2，x2＝0，
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
22．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC＝4，AD＝2，cs∠ACB＝，求BC的长．
【分析】（1）根据平行线的判定定理得到AC∥DE，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ACB＝∠DEB，根据平行四边形的性质得到DE＝AC＝4，CE＝AD＝2，求得BE＝5，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，BD⊥DE，
∴AC∥DE，
∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
又∵AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）解：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEB，
∴cs∠ACB＝cs∠DEB＝＝，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴DE＝AC＝4，CE＝AD＝2，
∴BE＝5，
∴BC＝BE﹣CE＝3，
故BC的长为3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值大于一次函数y＝mx﹣1（m≠0）的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据题意一次函数为y＝x+b，代入A（2，2），根据待定系数法即可求得；
（2）根据点A（2，2）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平行于直线y＝x，
∴k＝，
∵函数图象经过点A（2，2），
∴2＝+b．
∴b＝1．
∴一次函数的表达式为y＝x+1；
（2）把A（2，2）代入y＝mx﹣1，得2＝2m﹣1，
解得m＝，
∵当x＜2时，对于x的每一个值，一次函数y＝kx+b（k≠0）的值大于一次函数y＝mx﹣1（m≠0）的值，
∴≤m≤．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG＝HF，延长HF交AB的延长线于点M．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）若sinM＝，BM＝1，求AF的长．
【分析】（1）连接OF，根据CD⊥AB，可得∠A+∠AGE＝90°，再由HG＝HF，可得∠HFG＝∠AGE，然后根据等腰三角形的性质及切线的判定定理可得结论；
（2）连接BF，先证得△BFM∽△FAM，再根据sinM＝可得OM＝5，AM＝9，从而得BF的长，然后由勾股定理可得答案．
【解答】（1）证明：连接OF，
∵CD⊥AB，
∴∠AEG＝90°，
∴∠A+∠AGE＝90°，
∵HG＝HF，
∴∠HFG＝∠HGF，
∵∠HGF＝∠AGE，
∴∠HFG＝∠AGE，
∵OA＝OF，
∴∠A＝∠OFA，
∴∠OFA+∠HFG＝90°，即∠OFH＝90°，
∴HF是⊙O的切线；
（2）解：连接BF，
由（1）得，∠OFM＝90°，
∴∠BFO+∠BFM＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠A+∠ABF＝90°，
∵OB＝OF，
∴∠ABF＝∠BFO，
∴∠BFM＝∠A，
∵∠M＝∠M，
∴△BFM∽△FAM，
∴，
∵sinM＝，
∴，
∵BM＝1，OB＝OF，
∴，
∴OF＝4，
∴OM＝5，AM＝9，AB＝8，
∴FM＝＝3，
∴，
∴BF＝AF，
∵AF2+BF2＝AB2，
∴AF，
∴AF＝．
【点评】此题主要考查了圆的综合题目，熟练掌握切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，理解锐角三角函数是解题的关键．
25．（5分）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE＝x米，EF＝y米．
通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如表：
（1）隧道顶面到路面AB的最大高度为 3.99 米；
（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．
（3）今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米，结合所画图象，请判断该货车是否安全通过： 是 （填写“是”或“否”）．
【分析】（1）根据二次函数的对称性可知在x＝2时y取得最大值，由此可得结论；
（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标；
（3）先将D（0，3）代入抛物线，求出a的值，在y＝﹣0.2475（x﹣2）2+3.99中，令x＝0.8，求得相应的y值，结合卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.5m，可得卡车载物最高点距地面的距离，然后精确到0.1m，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据二次函数的对称性可知，当x＝2时，y有最大值3.99，
故答案为：3.99．
（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标；函数如图所示；
（3）将D（0，3）代入y＝a（x﹣2）2+3.99，
得4a+3.99＝3，解得a＝﹣0.2475，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.2475（x﹣2）2+3.99．
在y＝﹣0.2475（x﹣2）2+3.99中，
令x＝0.8，得y＝﹣0.2475（0.8﹣2）2+3.99＝3.6336，
∵3.6336﹣3＞0.5，
∴车厢最高点到隧道顶面的距离大于0.5米，
∴该货车能安全通过；
故答案为：是．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，m），B（x0，n）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若存在﹣1＜x0＜1，使得m＜n，求a的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴公式即可求解；
（2）利用图象法，构建不等式求解．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：，
（2）观察图象可知，当对称轴x＝a﹣1＞﹣2，即a＞﹣1时，存在﹣1＜x0＜1，使得m＜n．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．（7分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在边AC上，将射线BD绕点B逆时针旋转45°得到射线BM，过点D作DE⊥BM于E，延长CB到F，使BF＝AD，连接EF．
（1）依题意，补全图形，判断线段AE与EF的位置关系与数量关系，并证明；
（2）若H为线段BD的中点，连接AH，请用等式表示线段AE与AH之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意补全图形，证明△ADE≌△FBE（SAS），即可得到结论；
（2）延长AH到点T，使HT＝AH，证明△AHD≌△THB（SAS），推出AD＝BT，∠CAT＝∠BTI，求得∠ABT＝135°，∠ABF＝135°，证明△ABT≌△ABF（SAS），即可求解．
【解答】解：（1）补全图形，如图，AE＝EF，且AE⊥EF；理由如下，
∵将射线BD绕点B逆时针旋转45°得到射线BM，过点D作DE⊥BM于E，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝BE，
设BC与DE相交于点G，
∵∠DCG＝∠BEG＝90°，∠DGC＝∠BGE，
∴∠CDG＝∠EBG，
∴∠ADE＝∠FBE，
又∵DE＝BE，AD＝BF，
∴△ADE≌△FBE（SAS），
∴AE＝EF，∠AED＝∠FEB，
∴∠AEB＝∠DEB＝90°，
∴AE＝EF，且AE⊥EF；
（2）．理由见解析，
延长AH到点T，使HT＝AH，连接BT、ET、FT、AF，
∵H为线段BD的中点，HT＝AH，∠AHD＝∠THB，
∴△AHD≌△THB（SAS），
∴AD＝BT，∠CAT＝∠BTI，
∵∠AIC＝∠TIB，
∴∠ACI＝∠TBI＝90°，
∴∠TBF＝90°，
∴BF＝AD＝BT，
∵∠ABT＝45°+90°＝135°，∠ABF＝360°﹣90°﹣135°＝135°，
∴∠ABT＝∠ABF＝135°，
又∵BT＝BF，AB＝AB，
∴△ABT≌△ABF（SAS），
∴AT＝AF，
∴AF＝2AH，
由（1）得△AEF是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于直线l：y＝x+1和线段BC，给出如下定义：若将线段BC沿直线l翻折可以得到⊙O的弦B'C'（B′，C'分别是B，C的对应点），则称线段BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”．例如：在图1中，线段BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”．
（1）如图2，点B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，以直线l为轴的⊙O的“关联线段”是 B1C1，B2C2 ；
（2）△ABC是边长为a的等边三角形，点A（0，1），若BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”，求a的值；
（3）如果经过点P（﹣1，5）的直线上存在以直线l为轴的⊙O的“关联线段”，直接写出这条直线与y轴交点的纵坐标m的取值范围．
【分析】（1）分别作出线段B1C1，B2C2，B3C3关于直线l的对称线段CD，EF，GH，观察图形，可得结论；
（2）过点A作弦EG，FH，连接EF，GH，当△AEF，△AGH都是等边三角形时，过点O作OJ⊥FH于点J，连接OF．求出这两个等边三角形的边长，可得结论；
（3）如图3中，作点P关于直线y＝x+1的对称点P′（4，0）．求出两种特殊情形过点P的直线的解析式，可得结论．
【解答】解：（1）如图，以直线l为轴的⊙O的“关联线段”是线段B1C1，B2C2．
故答案为：B1C1，B2C2；
（2）如图2﹣1中，过点A作弦EG，FH，连接EF，GH，
当△AEF，△AGH都是等边三角形时，过点O作OJ⊥FH于点J，连接OF．
∵AE＝AF，AG＝AH，
∴y轴是△AEF，△AGH的对称轴，
∴∠OAJ＝30°，
∵A（0，1），
∴OA＝1，
∴OJ＝，AJ＝，
∵OF＝2，
∴FJ＝＝＝，
∴AF＝FJ﹣AJ＝﹣，AH＝AJ+JH＝+，
∴当BC是以直线l为轴的⊙O的“关联线段”时，△ABC的边长为﹣或+，
∴a的值为﹣或+；
（3）如图3中，作点P关于直线y＝x+1的对称点P′（4，0）．
过点P′作直线P′F与⊙O在第一象限相切于点F，设P′F交直线l于点J，作直线PJ交x轴于点K，作PM⊥x轴于点M．
∵OF⊥P′F，OF＝2，OP′＝4，
∴OP′＝2OF，
∴∠OP′F＝30°，
∵直线PK与直线P′F关于直线l对称，
∴∠MPJ＝∠MP′J＝30°，
∴MK＝5×＝，
∴OK＝﹣1，
∴K（﹣1，0），
∴直线PK的解析式为y＝﹣x+5﹣，
∴直线PK交y轴于点（0，5﹣），
当过点P′的直线P′F与⊙O在第四象限相切于点F时，同法可得直线PK的解析式为y＝x+5+，
观察图象可知，满足条件的m的值为m＞5+或m＜5﹣．
【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．x
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4
x2
9
9.61
10.24
10.89
11.56
12.25
12.96
13.69
14.44
15.21
16
x（米）
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
y（米）
3.00
3.44
3.76
3.94
3.99
3.92
3.78
3.42
3.00
x
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10.24
10.89
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