2023年北京市海淀区清华附中中考数学模拟试卷（3月份）(含答案)

这是一份2023年北京市海淀区清华附中中考数学模拟试卷（3月份）(含答案)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱B．球C．三棱柱D．长方体
2．（3分）故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达720000平方米，在世界宫殿建筑群中面积最大．请将720000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.72×105B．7.2×105C．7.2×104D．72×103
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．|a|＜|b|B．ad＞0C．a+c＞0D．d﹣a＞0
5．（3分）若正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
6．（3分）如图，直线AB∥CD，AB平分∠EAD．若∠1＝100°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．（3分）在一个不透明的袋中有2个红球和1个白球，这些球除颜色外部相同．搅匀后，随机从中摸出一个球．记下颜色后放回袋子中，充分搖匀后，再从中随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，长方体的体积是100m3，底面一边长为2m．记底面另一边长为xm，底面的周长为lm，长方体的高为hm．当x在一定范围内变化时，l和h都随x的变化而变化，则l与x，h与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．反比例函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，反比例函数关系
二、填空题（共8小题，每题3分）
9．（3分）如图所示的网格是正方形网格，△ABC是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
10．（3分）因式分解mx2+2mx+m＝ ．
11．（3分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 ．
12．（3分）如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且弧AD＝弧CB，∠A＝40°，则∠CEB的度数为 ．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1•y2的值为 ．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE与AC于点F，则的值是 ．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0）上，若0＜n＜1，则y1，y2，y3的大小关系为 ．（用“＜”表示）
16．（3分）如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房O与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且BC＞AC＞AB．已知厂房O到每条公路的距离相等．
（1）则点O为△ABC三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）；
（2）如图设BC＝a，AC＝b，AB＝c，OA＝x，OB＝y，OC＝z，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ．
三、解答题（共9小题，17-22题6分，23-24题8分）
17．（6分）计算：（）﹣1+（π﹣2022）0﹣3tan30°+|3﹣|．
18．（6分）解分式方程：．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为2，求m的值．
20．（6分）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
21．（6分）如图，一次函数y＝kx+4k（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点C（2，m）．
（1）当m＝2时，求一次函数的解析式及点A的坐标；
（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝x的值大于一次函数y＝kx+4k（k≠0）的值，求k的取值范围．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过点B作⊙O的切线交OD的延长线于点F．
（1）求证：∠A＝∠BOF；
（2）若AB＝4，DF＝1，求AE的长．
23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a＞0）上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）抛物线上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且t＜x1＜t+1，4﹣t＜x2＜5﹣t．
①当时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；
②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．
24．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为射线DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．
（1）如图1，当点E在线段CD上时，
①依题意补全图形；
②求证：点G为BF的中点．
（2）如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．
25．在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB，点P和图形G定义如下：线段AB绕点P逆时针旋转90°得到线段A'B'（A'和B'分别是A和B的对应点），若线段AB和A'B'均在图形G的内部（包括边界），则称图形G为线段AB关于点P的旋垂闭图．
（1）如图，点C（1，0），D（3，0）．
①已知图形G1：半径为3的⊙O；
G2：以O为中心且边长为6的正方形；
G3：以线段OD为边的等边三角形．
在G1，G2，G3中，线段CD关于点O的旋垂闭图是 ．
②若半径为5的⊙O是线段CD关于点T（t，0）的旋垂闭图，求t的取值范围；
（2）已知长度为4的线段AB在x轴负半轴和原点组成的射线上，若存在点Q（2+a，2﹣a），使得对半径为2的⊙Q上任意一点P，都有线段AB满足半径为r的⊙O是该线段关于点P的旋垂闭图，直接写出r的取值范围．
2023年北京市海淀区清华附中中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每题3分）
1．（3分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱B．球C．三棱柱D．长方体
【分析】根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个圆，
故该几何体是一个圆柱．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
2．（3分）故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达720000平方米，在世界宫殿建筑群中面积最大．请将720000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.72×105B．7.2×105C．7.2×104D．72×103
【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
【解答】解：将720000用科学记数法表示应为7.2×105．
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法，关键是掌握用科学记数法表示较大数的方法．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是关键．
4．（3分）实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．|a|＜|b|B．ad＞0C．a+c＞0D．d﹣a＞0
【分析】根据实数在数轴上的位置，得出各个数的大小关系，再根据绝对值的大小，判断相关代数式的符号．
【解答】解：由实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置可知，a＜b＜0＜c＜d，
∴|a|＞|b|，ad＜0，a+c＜0，d﹣a＞0，
因此选项D正确，
故选：D．
【点评】本题考查数轴表示数，有理数的四则运算法则，理解符号、绝对值是确定有理数的必要条件．
5．（3分）若正多边形的一个外角的度数为45°，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
【分析】根据多边形的外角和等于360°计算即可．
【解答】解：360÷45＝8（条），
故答案为：C．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．
6．（3分）如图，直线AB∥CD，AB平分∠EAD．若∠1＝100°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据邻补角的定义、角平分线的定义及平行线的性质求解即可．
【解答】解：∵∠1＝100°，
∴∠EAD＝180°﹣∠1＝80°，
∵AB平分∠EAD，
∴∠EAB＝∠BAD＝∠EAD＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠EAB＝40°，
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
7．（3分）在一个不透明的袋中有2个红球和1个白球，这些球除颜色外部相同．搅匀后，随机从中摸出一个球．记下颜色后放回袋子中，充分搖匀后，再从中随机摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有4种结果，
∴两次都摸到红球的概率为，
故选：D．
【点评】本题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
8．（3分）如图，长方体的体积是100m3，底面一边长为2m．记底面另一边长为xm，底面的周长为lm，长方体的高为hm．当x在一定范围内变化时，l和h都随x的变化而变化，则l与x，h与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．反比例函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，反比例函数关系
【分析】根据底面的周长公式“底面周长＝2（长+宽）“可表示出l与x的关系式，根据长方体的体积公式“长方体体积＝长×宽×高”可表示出h与x，根据各自的表达式形式判断函数类型即可．
【解答】解：由底面的周长公式：底面周长＝2（长+宽），
可得：l＝2（x+2），
即：l＝2x+4．
∴l与x的关系为：一次函数关系．
根据长方体的体积公式：长方体体积＝长×宽×高，
可得：100＝2xh，
∴h＝，
∴h与x的关系为：反比例函数关系．
故选：D．
【点评】此题考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数，二次函数，反比例函数等知识，熟知函数的相关类型并能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键．
二、填空题（共8小题，每题3分）
9．（3分）如图所示的网格是正方形网格，△ABC是 锐角 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
【分析】根据三边的长可作判断．
【解答】解：∵AB2＝32+12＝10，AC2＝12+42＝17，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＞BC2，
∴△ABC为锐角三角形，
故答案为：锐角．
【点评】本题考查了三边的关系，会利用三边关系确定三角形的形状：若三角形的三边分别为a、b、c，①当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；②当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；③当a2+b2＝c2时，△ABC为直角三角形．
10．（3分）因式分解mx2+2mx+m＝ m（x+1）2 ．
【分析】提公因式m后，再利用完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：原式＝m（x2+2x+1）
＝m（x+1）2，
故答案为：m（x+1）2．
【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式是的结构特征是正确解答的前提．
11．（3分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 ．
【分析】根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费＝435元，②篮球的单价﹣足球的单价＝3元，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：
，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
12．（3分）如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且弧AD＝弧CB，∠A＝40°，则∠CEB的度数为 80° ．
【分析】根据圆周角定理推论得到∠A＝∠C＝40°，由三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵弧AD＝弧CB，∠A＝40°，
∴∠A＝∠C＝40°，
∴∠CEB＝∠A+∠C＝80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查了圆周角定理推论，熟记圆周角定理推论是解题的关键．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1•y2的值为 ﹣4 ．
【分析】联立两个函数表达式得：kx＝，即kx2﹣4＝0，则x1x2＝﹣，故x1•y2＝kx1x2＝k（﹣）＝﹣4，即可求解．
【解答】解：联立两个函数表达式得：kx＝，即kx2﹣4＝0，
则x1x2＝﹣，
点N在直线上，则y2＝kx2，
故x1•y2＝kx1x2＝k（﹣）＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，利用根与系数的关系是本题解题的关键．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE与AC于点F，则的值是 ．
【分析】在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，根据DE＝DC，可得AB＝CD＝DE＝CE，再由AB∥CD，可得△ABF∽△CEF，对应边成比例即可求得结论．
【解答】解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∵DE＝DC，
∴AB＝CD＝DE＝CE，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0）上，若0＜n＜1，则y1，y2，y3的大小关系为 y1＜y2＜y3 ．（用“＜”表示）
【分析】求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离的大小判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵0＜n＜1，
∴﹣2＜n﹣2＜﹣1，﹣1＜n﹣1＜0，1＜n+1＜2，
∴点（n﹣2，y1）到对称轴的距离最大，（n+1，y3）到对称轴距离最短，
∴y1＜y2＜y3，
故答案为：y1＜y2＜y3．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房O与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且BC＞AC＞AB．已知厂房O到每条公路的距离相等．
（1）则点O为△ABC三条 角平分线 的交点（填写：角平分线或中线或高线）；
（2）如图设BC＝a，AC＝b，AB＝c，OA＝x，OB＝y，OC＝z，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 y+c+b+z ．
【分析】（1）利用角平分线的性质定理判断即可；
（2）首先得出O为△ABC的内心，进而得出△ABO≌△EBO（SAS），在△ECO中，y﹣x＜a﹣b推出d3﹣d1＜0，同理d3﹣d2＜0，d3﹣d4＜0，d3﹣d5＜0，d3﹣d6＜0，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点O到每条公路的距离相等，
∴点O是△ABC的角平分线的交点．
故答案为：角平分线；
（2）共有6条线路：d1＝x+c+a+z，d2＝x+b+a+y，d3＝y+c+b+z，d4＝y+a+b+x，d5＝z+b+c+y，d6＝z+a+c+x，
在CB上截取CE＝CA，连接OE，
在△ACO和△ECO中，
，
∴△ACO≌△ECO（SAS），
∴OA＝OE，
在△EBO中，
y﹣x＜a﹣b推出d3﹣d1＜0，
同理d3﹣d2＜0，d3﹣d4＜0，d3﹣d5＜0，d3﹣d6＜0，
∴d3最短，
故答案为：y+c+b+z．
【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边；以及在同一个三角形内大角对大边．
三、解答题（共9小题，17-22题6分，23-24题8分）
17．（6分）计算：（）﹣1+（π﹣2022）0﹣3tan30°+|3﹣|．
【分析】利用负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义化简运算即可．
【解答】解：原式＝2+1﹣3×+2﹣3
＝3﹣+2﹣3
＝．
【点评】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义，正确利用上述法则与性质化简运算是解题的关键．
18．（6分）解分式方程：．
【分析】根据解分式方程的步骤解答即可，①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【解答】解：，
方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得
x+（x+1）（x﹣1）＝x（x﹣1），
解得x＝，
当x＝时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以分式方程的解为x＝．
【点评】本题考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．
19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为2，求m的值．
【分析】（1）先求一元二次方程的根的判别式Δ，然后再证明Δ≥0即可；
（2）不妨设方程的两实数根为x1，x2且x1＞x2，则x1﹣x2＝2，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，进而变形即可求解．
【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0的根的判别式Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m+1）＝m2+4m+4﹣4m﹣4＝m2，
不论m取任何实数，都有m2≥0即Δ≥0成立；
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
故该方程总有两个实数根；
（2）不妨设方程的两实数根为x1，x2且x1＞x2，
则x1﹣x2＝2，
∴，
又∵x1+x2＝m+2，x1x2＝m+1，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（m+2）2﹣4（m+1）＝4，
∴m＝2或m＝﹣2，
故m的值为2或﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式以及直接开平方求解一元二次方程等知识，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系的应用是解答此题的关键．
20．（6分）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【分析】选择方法一：根据题意，先证明△ADE≌△CFE，然后证明四边形DBCF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】解：选择方法一，证明如下：
根据题意，如图：
AB∥CF，
∴∠DAE＝∠ECF
∵E是AC的中点，
∴AE＝EC．
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（ASA）．
∴AD＝CF，DE＝EF＝DF，
∵D是AB的中点，
∴BD＝AD，
∴BD＝CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝BC．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
21．（6分）如图，一次函数y＝kx+4k（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点C（2，m）．
（1）当m＝2时，求一次函数的解析式及点A的坐标；
（2）当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝x的值大于一次函数y＝kx+4k（k≠0）的值，求k的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式，利用x轴上点的坐标特征即可求得A的坐标；
（2）求得哈y＝x，当x＝﹣1时的函数值，然后代入y＝kx+4k得﹣1＝﹣k+4k，即可求得k＝﹣，结合图象即可求得k的取值．
【解答】解：（1）把点（2，2）代入y＝kx+4k得，2＝2k+4k，
解得k＝，
∴一次函数的解析式为y＝x+，
令y＝0，则x+＝0，
解得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0）；
（2）当x＝﹣1时，y＝x＝﹣1，
把 （﹣1，﹣1）代入y＝kx+4k得﹣1＝﹣k+4k，
∴k＝﹣，
由图象可知当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝x的值大于一次函数y＝kx+4k（k≠0）的值，k的取值范围是k≤﹣．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，数形结合是解题的关键．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过点B作⊙O的切线交OD的延长线于点F．
（1）求证：∠A＝∠BOF；
（2）若AB＝4，DF＝1，求AE的长．
【分析】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得∠CAB＝2∠DAB，然后再利用圆周角定理可得∠DOB＝2∠DAB，即可解答；
（2）连接BE，据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，再利用（1）的结论证明△EAB∽△BOF，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°
∵AB＝AC，
∴∠CAB＝2∠DAB，
∵∠DOB＝2∠DAB，
∴∠CAB＝∠BOF；
（2）解：连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°
∵AB＝4，
∴OB＝OD＝AB＝2，
∵DF＝1，
∴OF＝OD+DF＝3，
∵BF与⊙O相切于点B，
∴∠OBF＝90°，
∴∠AEB＝∠OBF＝90°，
∵∠CAB＝∠BOF，
∴△EAB∽△BOF，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
∴AE的长为．
【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a＞0）上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）抛物线上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且t＜x1＜t+1，4﹣t＜x2＜5﹣t．
①当时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；
②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）由抛物线解析式可得抛物线与y轴交点坐标，再由抛物线经过（4，2）可得抛物线对称轴．
（2）①由t＝可得x1与x2的取值范围，从而可得点P，Q到对称轴的距离大小关系，进而求解．
②设点P（x1，y1）关于直线x＝2的对称点为P'（x0，y1），由y1≠y2可得x0≠x2，x1≠x2，通过解不等式求解．
【解答】解：（1）将x＝0代入y＝ax2+bx+2得y＝2，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，2），
又∵抛物线经过（4，2），
∴抛物线对称轴为直线x＝2．
（2）①∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
当t＝时，点＜x1＜，＜x2＜．
∴|x1﹣2|＜，|x2﹣2|，
∴点P到对称轴距离小于点Q到对称轴距离，
∴y1＜y2．
②设点P（x1，y1）关于直线x＝2的对称点为P'（x0，y1），
则x0＝4﹣x1，
∵t＜x1＜t+1，
∴3﹣t＜x0＜4﹣t，
∵4﹣t＜x2＜5﹣t，
∴x0≠x2，
当t+1≤4﹣t或5﹣t≤t时，x1≠x2，
解得t≤或t≥．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
24．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为射线DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．
（1）如图1，当点E在线段CD上时，
①依题意补全图形；
②求证：点G为BF的中点．
（2）如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①根据题意画图即可，②由条件可证△ABE≌△ACF（SAS），得到∴ABE＝∠ACF＝45°，从而有CF⊥BC，再通过平行线分线段成比例即可证出G为BF的中点；
（2）由（1）知△ABE≌△ACF，可得BE＝CF，G为BF的中点仍然成立，设AD＝CD＝x，CE＝y，表示出AE，BE，AG即可发现它们之间的数量关系．
【解答】解：（1）①如图1：
②如图，连接CF，
∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝45°+45°＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AD∥CF，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BG＝FG，
∴G为BF的中点．
（2）2AE2﹣4AG2＝BE2.理由如下：
如图2，连接CF，
由（1）可知：△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠BCF＝90°，G为BF的中点仍然成立，
且BE＝CF，
设AD＝CD＝x，CE＝y，
则BE＝CF＝2x+y，
∵DG＝，
∴AG＝，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE2＝x2+（x+y）2，
∴AE2＝2x2+2xy+y2，BE2＝（2x+y）2＝4x2+4xy+y2，AG2＝，
∴2AE2﹣4AG2＝BE2．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出AE，BE，AG的长度是解决问题的关键．
25．在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB，点P和图形G定义如下：线段AB绕点P逆时针旋转90°得到线段A'B'（A'和B'分别是A和B的对应点），若线段AB和A'B'均在图形G的内部（包括边界），则称图形G为线段AB关于点P的旋垂闭图．
（1）如图，点C（1，0），D（3，0）．
①已知图形G1：半径为3的⊙O；
G2：以O为中心且边长为6的正方形；
G3：以线段OD为边的等边三角形．
在G1，G2，G3中，线段CD关于点O的旋垂闭图是 G1，G2 ．
②若半径为5的⊙O是线段CD关于点T（t，0）的旋垂闭图，求t的取值范围；
（2）已知长度为4的线段AB在x轴负半轴和原点组成的射线上，若存在点Q（2+a，2﹣a），使得对半径为2的⊙Q上任意一点P，都有线段AB满足半径为r的⊙O是该线段关于点P的旋垂闭图，直接写出r的取值范围．
【分析】（1）①分别在坐标系中画出G1，G2，G3，再画出线段CD绕点O逆时针旋转90°的线段C′D′即可得到答案；
②如图1所示，当点T在点C左侧，且此时刚好点D'落在⊙O上时，如图2所示，当点T在点D右侧，且此时刚好点C'落在⊙O上时，求出这两种临界情形下t的值，即可得到答案；
（2）先求出点Q在直线y＝﹣x+4上运动；不妨设点A在点B的左侧，如图2﹣1所示，连接AQ并延长交⊙Q于M，点A绕点M逆时针旋转90°后的对应点为A'，在x轴上去一点E使得AE＝AA'，由旋转的性质可得AM＝A'M，∠AMA'＝90°，则AE＝AA′＝AM，由于点A到⊙Q上任意一点的距离的最大值是AM，则AE的最大值即为AM，故只需要⊙O刚好能够使得点E在⊙O上，此时⊙O的半径有最小值，最小值为AM−OA，则只需要找到AQ值最小时，则此时⊙O半径有最小值；故当AQ与直线y＝﹣x+4垂直时，AQ有最小值，即AM有最小值，如图2﹣2所示，当点A的坐标为（﹣2，0）且AQ与直线y＝﹣x+4垂直时，AQ有最小值，即AM有最小值，证明∠HFO＝45°，求出QA＝QF＝4，则AM＝4+2，进一步求出OA′＝4+2，则r≥4+2．
【解答】解：（1）①由下图可知，在G1，G2，G3中，线段CD关于点O的旋垂闭图是G1，G2，
故答案为：G1，G2；
②如图1所示，当点T在点C左侧，且此时刚好点D'落在⊙O上时，
由旋转的性质可得D'T＝DT，∠D'TD＝90°，
∵T（t，0），D（3，0），
∴D'T＝DT＝3﹣t，
∴D'（t，3﹣t），
∵D'在⊙O上，
∴OD'＝5，
∴t2+（3﹣t）2＝25，
∴2t2﹣6t﹣16＝0，
解得t＝或t＝（不符合题意，舍去）；
如图2所示，当点T在点D右侧，且此时刚好点C'落在⊙O上时，
由旋转的性质可得C'T＝CT，∠C'TC＝90°，
∵T（t，0），C（1，0），
∴C'T＝CT＝t﹣1，
∴C'（t，1﹣t），
∵C'在⊙O上，
∴OC′＝5，
∴t2+（1﹣t）2＝25，
∴2t2﹣2t﹣24＝0，
解得t＝4或t＝﹣3（不符合题意的值舍去）；
∴当≤t≤4时，半径为5的⊙O是线段CD关于点T（t，0）的旋垂闭图；
（2）∵Q（2+a，2﹣a），
∴yQ+xQ＝2+a+2﹣a＝4，
∴yQ＝﹣xQ+4，
∴点Q在直线y＝﹣x+4上运动；
∵长度为4的线段AB在x轴负半轴和原点组成的射线上，
∴不妨设点A在点B的左侧，
如图2﹣1所示，连接AQ并延长交⊙Q于M，点A绕点M逆时针旋转90°后的对应点为A'，在x轴上取一点E使得AE＝AA'，
由旋转的性质可得AM＝A'M，∠AMA'＝90°，
∴AE＝AA′＝AM，
∵点A到⊙Q上任意一点的距离的最大值是AM，
∴AE的最大值即为AM，
∴只需要⊙O刚好能够使得点E在⊙O上，此时⊙O的半径有最小值，最小值为AM−OA，
∵A、Q都是动点，
∴只需要找到AQ值最小时，则此时⊙O半径有最小值；
∵点到直线的距离，垂线段最短，
∴当AQ与直线y＝﹣x+4垂直时，AQ有最小值，即AM有最小值，
∴如图2﹣2所示，当点A的坐标为（﹣4，0）且AQ与直线y＝﹣x+4垂直时，AQ有最小值，即AM有最小值，
设直线y＝﹣x+4与x轴交于点F，与y轴交于H，则F（4，0），H（0，4），
∴OH＝OF＝4，AF＝8，
∴∠HFO＝45°，
∵∠AQF＝90°，
∴∠QAF＝45°＝∠QFA，
∴QA＝QF＝AF＝4，
∴AM＝AQ+QM＝4+2，
∴AA′＝AM＝8+2，
∴OA′＝AA′−OA＝4+2，
∴r≥4+2．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，坐标与图形变化——旋转，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题等等，正确画出示意图，利用数形结合的思想求解是解题的关键．已知：如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE∥BC，且．
方法一
证明：如图，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF．
方法二
证明：如图，过点E作EF∥AB交BC于F．
已知：如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．
求证：DE∥BC，且．
方法一
证明：如图，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF．
方法二
证明：如图，过点E作EF∥AB交BC于F．