2023年北京市海淀区首都师大附中中考数学调研试卷（3月份）(含答案)

这是一份2023年北京市海淀区首都师大附中中考数学调研试卷（3月份）(含答案)，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市海淀区首都师大附中中考数学调研试卷（3月份）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
2．（2分）党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.28×1013 B．2.8×1011 C．2.8×1012 D．28×1011
3．（2分）如图，∠AOC＝120°，∠AOB＝30°，OD平分∠BOC，则∠AOD＝（　　）

A．75° B．80° C．45° D．90°
4．（2分）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（　　）
A．1080° B．540° C．2700° D．2160°
5．（2分）布袋中装有2个红球、3个白球、5个黑球，它们除颜色外均相同，则从袋中任意摸出一个球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论正确的是（　　）

A．b+c＞0 B．＞1 C．ad＞bc D．|a|＞|b|
7．（2分）如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BFA的面积比为（　　）

A．1： B．1：2 C．1：4 D．1：8
8．（2分）某函数的图象如图所示，当0≤x≤a时，在该函数图象上可找到n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），使得，则n的取值不可能为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
10．（2分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝　 　．
11．（2分）若n为整数，且n＜＜n+1，则n的值为 　 　．
12．（2分）分式方程的解x＝　 　．
13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，AB，若∠OAB＝35°，则∠ABP＝　 　°．

14．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝6x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1+y2的值是 　 　．
15．（2分）如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 　 　时，四边形ACBD为矩形．

16．（2分）某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如下表所示．若每台机器只完成一项工作，则完成五项工作的效益值总和的最大值为 　 　．
工作
效益
机器
一
二
三
四
五
甲
15
17
14
17
15
乙
22
23
21
20
20
丙
9
13
14
12
10
丁
7
9
11
9
11
戊
13
15
14
15
11
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组．
19．（5分）已知x2﹣3x﹣2＝0，求代数式（x+1）（x﹣1）﹣（x+3）2+2x2的值．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于﹣4，求m的取值范围．
21．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16，求OG的长．

22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，且经过点（0，1）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23．（5分）某校七、八年级各有学生600人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下：
选择样本，收集数据
从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育测试，测试成绩（百分制）如下：（单位：分）
七年级 85 79 89 83 89 98 68 89 79 59
99 87 85 89 97 86 89 90 89 77
八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 94
62 99 94 51 88 97 94 98 85 91
分组整理，描述数据
（1）按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全七年级20名学生安全教育频数分布直方图．

（说明：成绩90分及以上为优秀，80～89分为良好，80分以下为不合格）
分析数据，计算填空
（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示，请补充完整，
年级
平均数/分
中位数/分
众数/分
优秀率
七年级
85.3
　 　
　 　
　 　
八年级
85.4
91.5
94
55%
分析数据，解决问题
（3）请估计该校七、八年级成绩优秀学生共有人数．
（4）整体成绩较好的年级为　 　，理由为　 　．
24．（6分）如图，AC为⊙O的直径，BD为⊙O的一条弦，过点A作直线AE，使∠EAB＝∠D．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）若∠ABD＝30°，AB＝2，BC＝6，求BD的长．

25．（6分）“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图1，北京地铁（BeijingSubway）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．

（1）建立模型
①收集数据
r（秒）
0
4
8
12
16
20
24

…
s（米）
256
196
144
100
64
36
16

…
②建立平面直角坐标系
为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系．
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是 　 　函数的图象．
⑤求函数解析式
解：设s＝at2+bt+c（a≠0），因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256．
请根据表格中的数据，求a，b的值．
验证：把a，b的值代入s＝at2+bt+256中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．
（2）应用模型
列车从减速开始经过 　 　秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为 　 　米．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（x0，m），（a﹣1，n），是抛物线y＝ax2﹣2a2x上的点，x0≠a﹣1．
（1）当x0＝2，m＝n时，求a和n的值；
（2）若﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，求a的取值范围．
27．（7分）在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AD上一点（不与A、D重合），连接EB、EC．

将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上，在图1中补全图形：
（1）求∠CEF的度数；
（2）探究线段AC，AE，AF之间的数量关系，并加以证明；
（3）将线段EC绕点E旋转，在旋转过程中与边AB交于点H，连接CH，若AB＝5，当AE＝BH时，请写出CH+CE的最小值．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，将图形W上除原点O外的每一点P变换为射线OP上的点P'，使OP⋅OP'＝4，称点P'是点P的“对应点”，P'构成的图形是图形W的“反形”．
已知点S是满足OS＝r的动点，以点S为圆心作过点O的⊙S．点T在半径为4的⊙O上运动，过点T作⊙O的切线l．
（1）如图，当r＝2时，对于S（2，0），在图中画出⊙S上的点P1（4，0），P2（2，2）的“对应点”P'1，P'2；
（2）当点T运动至点（0，4）时，设Q'为切线l上一点的“对应点”，试求OQ'的最大值；
（3）如果存在点S与点T，使⊙S的“反形”中存在一点M'，切线l的“反形”中存在一点N'，满足M'N'≤1，直接写出r的取值范围．


2023年北京市海淀区首都师大附中中考数学调研试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，底层是两个正方形，上层左边是一个正方形，
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
2．（2分）党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.28×1013 B．2.8×1011 C．2.8×1012 D．28×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：2800000000000＝2.8×1012．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2分）如图，∠AOC＝120°，∠AOB＝30°，OD平分∠BOC，则∠AOD＝（　　）

A．75° B．80° C．45° D．90°
【分析】由∠AOC＝120°，∠AOB＝30°，得到∠BOC＝90°，由OD平分∠BOC，求出∠BOD，即可解决问题．
【解答】解：∵∠AOC＝120°，∠AOB＝30°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠BOC＝45°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝30°+45°＝75°．
故选：A．
【点评】本题考查角的计算，角平分线的定义，关键是掌握角平分线的定义．
4．（2分）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（　　）
A．1080° B．540° C．2700° D．2160°
【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和．
【解答】解：多边形的边数是：360÷45＝8，
则多边形的内角和是：（8﹣2）×180＝1080°．
故答案为：A．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．
5．（2分）布袋中装有2个红球、3个白球、5个黑球，它们除颜色外均相同，则从袋中任意摸出一个球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】让白球的个数除以球的总数，即为从袋中任意摸出一个球是白球的概率．
【解答】解：∵布袋中装有2个红球，3个白球，5个黑球，共10个球，从袋中任意摸出一个球共有10种结果，其中出现白球的情况有3种可能，
∴是白球的概率是．
故选：A．
【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
6．（2分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论正确的是（　　）

A．b+c＞0 B．＞1 C．ad＞bc D．|a|＞|b|
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a＜b＜0＜c＜d，根据有理数的运算，可得答案．
【解答】解：∵b+d＝0，
由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d，
A、∵b+d＝0，
∴b+c＜0，
故A不符合题意；
B、＜0，
故B不符合题意；
C、ad＜bc＜0，
故C不符合题意；
D、|a|＞|b|＝|d|，
故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，有理数的运算，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a＜b＜0＜c＜d是解题关键．
7．（2分）如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BFA的面积比为（　　）

A．1： B．1：2 C．1：4 D．1：8
【分析】利用平行四边形的性质得出AB∥DC，AB＝DC，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴△CEF∽△ABF，
∴＝，
∵E为DC的中点，
∴＝＝，
∴＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出△CEF∽△ABF是解题关键．
8．（2分）某函数的图象如图所示，当0≤x≤a时，在该函数图象上可找到n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），使得，则n的取值不可能为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】设＝k，则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）也都在函数y＝kx的图象上，根据正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点的个数即可得出答案．
【解答】解：设＝k，
则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）也都在函数y＝kx的图象上，
即：正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点，
由图象可知，正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点可能有1个或2个或3个或4个或5个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数图象，数形结合是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥5　．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得x≥5，
故答案为：x≥5．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10．（2分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝　a（a﹣b）2　．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：a3﹣2a2b+ab2，
＝a（a2﹣2ab+b2），
＝a（a﹣b）2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，分解因式一定要彻底．
11．（2分）若n为整数，且n＜＜n+1，则n的值为 　4　．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【解答】解：∵＜＜，即4＜＜5，且n为整数，n＜＜n+1，
∴n＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提．
12．（2分）分式方程的解x＝　　．
【分析】利用解分式方程的一般步骤解答即可．
【解答】解：去分母得：
2x＝3﹣2×2（x﹣1），
去括号得：
2x＝3﹣4x+4，
移项，合并同类项得：
6x＝7，
∴x＝，
经检验，x＝是原方程的解，
∴x＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法的一般步骤是解题的关键．
13．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，AB，若∠OAB＝35°，则∠ABP＝　55　°．

【分析】根据切线的性质得PA＝PB，OA⊥PA，则∠OAP＝90°，可得∠BAP＝55°，从而得到∠ABP的度数．
【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，OA⊥PA，
∵∠OAB＝35°，
∴∠BAP＝90°﹣∠OAB＝55°，
∵PA＝PB，
∴∠ABP＝∠BAP＝55．
故答案为：55．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
14．（2分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝6x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则y1+y2的值是 　0　．
【分析】根据正比例函数的图象、反比例函数图象的性质得出交点A与交点B关于原点对称，进而得出其纵坐标互为相反数，得出答案．
【解答】解：由正比例函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象和性质可知，
其交点A（x1，y1）与B（x2，y2）关于原点对称，
∴y1+y2＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象的交点，理解正比例函数、反比例函数图象的对称性是正确判断的前提．
15．（2分）如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交∠ABM和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当 　O是AB的中点　时，四边形ACBD为矩形．

【分析】证∠OCB＝∠OBC，则OC＝OB，同理OD＝OB，再由OA＝OB，证出四边形ACBD是平行四边形，然后证AB＝CD，即可得出结论．
【解答】解：添加条件为：O是AB的中点，理由如下：
∵CD∥MN，
∴∠OCB＝∠CBM，
∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC＝∠CBM，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
同理可证：OB＝OD，
∴OB＝OC＝OD，
∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD＝OC+OD，AB＝OA+OB，
∴AB＝CD，
∴平行四边形ACBD是矩形，
故答案为：O是AB的中点．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
16．（2分）某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如下表所示．若每台机器只完成一项工作，则完成五项工作的效益值总和的最大值为 　79　．
工作
效益
机器
一
二
三
四
五
甲
15
17
14
17
15
乙
22
23
21
20
20
丙
9
13
14
12
10
丁
7
9
11
9
11
戊
13
15
14
15
11
【分析】由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15＝80，但不能同时取得，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，效益值总和取最大．
【解答】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15＝80，但不能同时取得；
要使总和最大，甲可以承担第二或四项工作，得效益值17；丙只能承担第三项工作，得效益值14，；丁则不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作，得效益值11；
①乙若承担第二项工作，戊承担第一项工作，甲承担第四项工作，此时效益值总和为17+23+14+11+13＝78；
②乙若不承担第二项工作，则承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为17+22+14+11+15＝79，
∴甲承担第二项，乙承担第一项，丙承担第三项，丁承担第五项，戊承担第四项工作时，完成五项工作的效益值总和的最大值是79，
故答案为：79．
【点评】本题考查简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17．（5分）计算：．
【分析】先进行二次根式、特殊角的函数值、0次幂、绝对值，再算乘法，后算加减．
【解答】解：
＝3﹣4×+1﹣
＝3﹣2+1﹣
＝（3﹣2﹣1）+1
＝0+1
＝1．
【点评】此题考查了二次根式、特殊角的函数值、0次幂、绝对值、乘法、加减等运算，关键是能确定准确的运算顺序，并能对以上知识进行准确计算．
18．（5分）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再把其解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，
解不等式①，得x≤3，
解不等式②，得x≥0，
故原不等式组的解集为0≤x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（5分）已知x2﹣3x﹣2＝0，求代数式（x+1）（x﹣1）﹣（x+3）2+2x2的值．
【分析】利用完全平方公式，平方差公式计算乘方，乘法，然后合并同类项进行化简，再利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式＝x2﹣1﹣（x2+6x+9）+2x2
＝x2﹣1﹣x2﹣6x﹣9+2x2
＝2x2﹣6x﹣10，
∵x2﹣3x﹣2＝0，
∴x2﹣3x＝2，
原式＝2（x2﹣3x）﹣10
＝2×2﹣10
＝4﹣10
＝﹣6．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于﹣4，求m的取值范围．
【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到Δ＝（m﹣2）2，根据非负数的性质得到Δ≥0，然后根据判别式的意义得到结论．
（2）利用求根公式得到x1＝m﹣1，x2＝1．根据题意得到m﹣1＜﹣4，即可求得m＜﹣3．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac
＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵Δ＝（m﹣2）2≥0，
∴x＝．
∴x1＝m﹣1，x2＝1．
∵此方程有一个根小于﹣4．
∴m﹣1＜﹣4．
∴m＜﹣3．
故m的取值范围是m＜﹣3．
【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
21．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16，求OG的长．

【分析】（1）根据平行四边形的性质可知OA＝OC，根据已知可得AE＝BE，所以OE∥BC，EF⊥BC于点F，OG⊥BC于点G，则EF∥OG，先证明四边形是平行四边形，再证∠EFG是直角即可；
（2）根据菱形的性质可知AC⊥BD，根据已知可求出OC，然后利用等面积法求出OG即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝ED．
∴OE∥BC，
∴OE∥FG，
∵EF⊥BC于点F，OG⊥BC于点G，
∴EF∥OG，
∴四边形EFGO是平行四边形
∵EF⊥BC，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形EFGO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC，OC＝AC，OB＝BD，
∵AB＝10，BD＝16，
∴OB＝8，BC＝10，
在Rt△BOC中，OC＝＝6，
∴，
即，
∴OG＝4.8．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟记矩形的判定方法是解题的关键．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，且经过点（0，1）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝﹣1，再将点（0，1）代入y＝﹣x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，
∴k＝﹣1，
又∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点（0，1），
∴b＝1，
∴这个一次函数的表达式为y＝﹣x+1；

（2）∵当x＜﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，
∴m≥﹣1且m≠0；
故答案为：m≥﹣1且m≠0．

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
23．（5分）某校七、八年级各有学生600人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下：
选择样本，收集数据
从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育测试，测试成绩（百分制）如下：（单位：分）
七年级 85 79 89 83 89 98 68 89 79 59
99 87 85 89 97 86 89 90 89 77
八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 94
62 99 94 51 88 97 94 98 85 91
分组整理，描述数据
（1）按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全七年级20名学生安全教育频数分布直方图．

（说明：成绩90分及以上为优秀，80～89分为良好，80分以下为不合格）
分析数据，计算填空
（2）两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示，请补充完整，
年级
平均数/分
中位数/分
众数/分
优秀率
七年级
85.3
　88　
　89　
　20%　
八年级
85.4
91.5
94
55%
分析数据，解决问题
（3）请估计该校七、八年级成绩优秀学生共有人数．
（4）整体成绩较好的年级为　八年级　，理由为　八年级的中位数、众数、优秀率都比七年级的高．　．
【分析】（1）统计七年级的各个分数段人数，即可补全频数分布直方图；
（2）利用中位数、众数、优秀率的意义进行计算即可；
（3）分别求出七年级的优秀人数，八年级的优秀人数即可；
（4）从中位数、众数、优秀率上比较得出答案．
【解答】解：（1）统计七年级各个分数段的人数，补全频数分布直方图，

（2）将七年级的20名学生的成绩从小到大排列后处在第10、11位的两个数的平均数为＝88，
因此中位数是88；
出现次数最多的数是89，因此众数是89；
优秀人数有4人，因此优秀率为4÷20＝20%；
故答案为：88，89，20%，填写表格如下：

（3）600×20%+600×55%＝120+330＝450（名），
答：该校七、八年级成绩优秀学生共有450名；
（4）整体成绩较好的是八年级，理由是：中位数、众数、优秀率都比七年级的高；
故答案为：八年级；八年级的中位数、众数、优秀率都比七年级的高．
【点评】本题考查频数分布直方图、中位数、众数、平均数的意义和计算方法，掌握计算方法是正确计算的前提．
24．（6分）如图，AC为⊙O的直径，BD为⊙O的一条弦，过点A作直线AE，使∠EAB＝∠D．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）若∠ABD＝30°，AB＝2，BC＝6，求BD的长．

【分析】（1）根据圆周角定理和切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接CD，过D作DH⊥BC于H，根据圆周角定理得到∠CDA＝∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC＝＝＝2，求得CD＝AC＝，设BH＝x，则CH＝6﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠EAB＝∠D，∠ACB＝∠ADB，
∴∠EAB＝∠ACB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CAE＝∠CAB+∠EAB＝∠CAB+∠C＝90°，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：连接CD，过D作DH⊥BC于H，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠CDA＝∠ABC＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝30°，
∴∠DAC＝∠CBD＝60°，
∴AC＝＝＝2，
∴CD＝AC＝，设BH＝x，则CH＝6﹣x，
∴DH＝x，
∵CD2＝CH2+DH2，
∴30＝（6﹣x）2+（x）2，
解得x＝或x＝（不合题意舍去），
∴BD＝2BH＝3+．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（6分）“城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．”如图1，北京地铁（BeijingSubway）是中华人民共和国北京市的城市轨道交通系统，规划于1953年，始建于1965年，运营于1969年，是中国第一个地铁系统．小华了解到列车从慈寿寺站开往花园桥站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后一秒滑行的距离．为了解决这个问题，小华通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离s（米）与滑行时间t（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．

（1）建立模型
①收集数据
r（秒）
0
4
8
12
16
20
24

…
s（米）
256
196
144
100
64
36
16

…
②建立平面直角坐标系
为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系．
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是 　二次　函数的图象．
⑤求函数解析式
解：设s＝at2+bt+c（a≠0），因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256．
请根据表格中的数据，求a，b的值．
验证：把a，b的值代入s＝at2+bt+256中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．
（2）应用模型
列车从减速开始经过 　32　秒，列车停止；最后一秒钟，列车滑行的距离为 　　米．
【分析】（1）③按照对应值描点连线即可；
④根据图象可判断是二次函数；
⑤利用待定系数法求出二次函数解析式，再把其他数值代入即可；
（2）把s＝0代入可得t的值，分别计算出第31秒和第32秒时s的值可得最后1秒滑行的距离．
【解答】解：（1）③如图，


④可能是二次函数图象，
故答案为：二次；

⑤设s＝at2+bt+c（a≠0），
因为t＝0时，s＝256，所以c＝256，则s＝at2+bt+256．
把（4，196）和（8，144）代入可得，
，
解得：a＝，b＝﹣16，
∴s＝t2﹣16t+256，
当t＝12时，s＝×144﹣16×12+256＝100，
当t＝16时，s＝×256﹣16×16+256＝64，
当t＝20时，s＝×400﹣16×20+256＝36，
当t＝24时，s＝×576﹣16×24+256＝16，
∴其余几组数值都在函数图象上，减速阶段列车离停车线的距离s（米）与减速时间t（秒）的函数关系式为s＝t2﹣16t+256；

（2）应用模型：
∵S＝t2﹣16t+256＝，
∴当s＝0时，＝0，
解得t＝32，
当t＝31时，s＝，
当t＝32时，s＝0，
∴﹣0＝（m）．
故答案为：32，．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，利用待定系数法得出二次函数的解析式是解题关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点（x0，m），（a﹣1，n），是抛物线y＝ax2﹣2a2x上的点，x0≠a﹣1．
（1）当x0＝2，m＝n时，求a和n的值；
（2）若﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，求a的取值范围．
【分析】（1）由解析式求得对称轴，由m＝n可得点（2，m），（a﹣1，n）关于抛物线的对称轴对称，即可得到＝a，解得a＝1，把（0，n）代入y＝x2﹣2x即可求得n＝0；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x＝a，抛物线经过原点，再利用抛物线的对称性和二次函数的性质，分两种情况讨论得到关于a的不等式（组），解得即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2a2x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，
∵x0＝2，m＝n，
∴点（2，m），（a﹣1，n）关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝a，
∴a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x，
把点（0，n）代入得n＝0．
（2）∵抛物线y＝ax2﹣2a2x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，
当x＝0时，y＝0，
∴抛物线经过原点，
∴抛物线过点（2a，0），
当抛物线开口向下时，则a＜0，
∵﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，
∴m＞0，n＜0，
∴，
解得﹣＜a＜﹣1；
当抛物线开口向上时，则a＞0，
∵﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，
∴m＞0，n＜0，
∴a﹣1＞0，
解得a＞1；
故a的取值范围是或a＞1．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握关于抛物线对称轴对称的两个点的坐标关系是解题关键．
27．（7分）在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AD上一点（不与A、D重合），连接EB、EC．

将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上，在图1中补全图形：
（1）求∠CEF的度数；
（2）探究线段AC，AE，AF之间的数量关系，并加以证明；
（3）将线段EC绕点E旋转，在旋转过程中与边AB交于点H，连接CH，若AB＝5，当AE＝BH时，请写出CH+CE的最小值．
【分析】（1）可推出∠AFE＝∠ABE＝∠ACE，从而得出低昂A、E、C、F共圆，从而得出∠CEF＝∠CAF＝120°；
（2）在AC上截取C＝AF，作EH⊥AC于H，可推出△AEF≌△GEC，从而AE＝EG，∠AEF＝∠CEG，进而得出∠AEG＝∠FEC＝120°，进一步可得出结果；
（3）将AC绕点A顺时针旋转90°至AN，连接NE，连接CN，结合全等三角形的判定和性质进行分析求解．
【解答】解：（1）如图1，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠CAF＝120°，
∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BE＝CE，
∴∠DBE＝∠DCE，
∴∠ABC﹣∠DBE＝∠ACB﹣∠DCE，
∴∠ABE＝∠ACE，
由旋转可知：BE＝EF，
∴∠ABE＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠ABE，
∴点A、E、C、F共圆，
∴∠CEF＝∠CAF＝120°；
（2）如图2，

AC＝AF+AE，理由如下：
在AC上截取CG＝AF，作EH⊥AC于H，
由（1）知：∠AFE＝∠ACE，
∵EF＝BE＝CE，
∴△AEF≌△GEC（SAS），
∴AE＝EG，∠AEF＝∠CEG，
∴∠AEF+∠FEG＝∠CEG+∠FEG，AH＝HG＝AG
∴∠AEG＝∠FEC＝120°，
∴∠AEH＝∠GEH＝，
∴AH＝AE•sin∠AEH＝AE•sin60°＝AE，
∴AG＝2AH＝，
∴AC＝CG+AG＝AF+AE．
（3）如图，将AC绕点A顺时针旋转90°至AN，连接NE，连接CN，

则∠NAE＝90°﹣∠CAD＝60°，AN＝AC＝BC＝5，
∴∠NAE＝∠CBH＝60°，
又∵AE＝BH，
∴△NAE≌△CBH（SAS），
∴CH＝EN，
∴CH+CE＝NE+EC≥CN，
当N、E、C三点共线时NE+EC最小，
在等腰直角△CAN中：CN＝，
∴CH+CE的最小值为5．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，等边三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，将图形W上除原点O外的每一点P变换为射线OP上的点P'，使OP⋅OP'＝4，称点P'是点P的“对应点”，P'构成的图形是图形W的“反形”．
已知点S是满足OS＝r的动点，以点S为圆心作过点O的⊙S．点T在半径为4的⊙O上运动，过点T作⊙O的切线l．
（1）如图，当r＝2时，对于S（2，0），在图中画出⊙S上的点P1（4，0），P2（2，2）的“对应点”P'1，P'2；
（2）当点T运动至点（0，4）时，设Q'为切线l上一点的“对应点”，试求OQ'的最大值；
（3）如果存在点S与点T，使⊙S的“反形”中存在一点M'，切线l的“反形”中存在一点N'，满足M'N'≤1，直接写出r的取值范围．

【分析】（1）由“对应点”定义，可求点P1'（1，0），点P2'（1，1），即可求解；
（2）由题意可得OQ≥4，由对应点定义可得OQ'≤1，即可求解；
（3）先确定点N'和点M'的轨迹，即可求解．
【解答】解：（1）∵点P1（4，0），P2（2，2），
∴OP1＝4，OP2＝2，
∵OP1•OP1'＝4，
∴OP1'＝1，
又∵OP1在x轴上，
∴点P1'（1，0），
∵OP2•OP2'＝4，
∴OP2'＝，
∵OP2在直线y＝x上，
∴点P2'（1，1）；
（2）∵点T（0，4），
∴⊙O的切线解析式为y＝4，
∴点Q纵坐标为4，
∴OQ≥4，
∵OQ•OQ'＝4，
∴0＜OQ'≤1，
∴OQ'的最大值为1；
（3）∵点N是⊙O的切线上，
∴ON≥4，
∴0＜ON'≤1，
∴点N'在以O为圆心，1为半径的圆内或圆上（原点除外），
∵0＜M'N'≤1，
∴点M'在以O'为圆心，2为半径的圆内或圆上（原点除外），
∴0＜OM'≤2，
∴OM≥2，
∴2r≥2，
∴r≥1．

【点评】本题是圆的综合题，切线的性质，理解新定义并运用是解题的关键．