2023年广东省番禺区中考一模数学试题

2023年广东省番禺区中考一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ）

A． B． C． D．

4．要使分式有意义，x的取值应满足（    ）

A． B． C． D．

5．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

7．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（    ）

A．9 B．6 C．  D．

9．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

10．如图，菱形中，．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________．

12．分解因式：______．

13．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 0007(毫米2)，这个数用科学记数法表示为__________．

14．在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同， 方差分别为，，则考核成绩更为稳定的运动员是________（填“甲”、“乙”中的一个）

15．把光盘、含角的三角板和直尺如图摆放，光盘与直尺和三角板的一边相切，若，则光盘的直径是____________．

16．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．

三、解答题

17．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

18．如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：．

19．已知T．

（1）化简T；

（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．

20．为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．

(1)求该斜坡的高度BD；

(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）

21．我区某中学举行书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题；

(1)请补全条形统计图；

(2)获得一等奖的同学中有来自七年级，有来自八年级，其他同学均来自九年级．现准备从获得一等奖的同学中任选两人参加市内书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率．

22．如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点．

（1）求的值和点的坐标；

（2）求的周长．

23．如图，是的直径，点C在上，且．

(1)尺规作图：过点O作的垂线，交劣弧于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)在（1）所作的图形中，求点O到的距离及的值．

24．已知抛物线（a，c为常数，）经过点，顶点为D．

(1)当时，求该抛物线的对称轴，写出顶点D的坐标；

(2)当时，点，若，求该抛物线的解析式；

(3)当时，点，过点C作直线l平行于x轴，是x轴上的动点，是直线l上的动点．试探究当a为何值时，的最小值为，并求此时点M，N的坐标．

25．（1）如本题图①，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．

（2）如本题图②，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，求的长．

（3）如本题图③，在四边形中，，对角线平分，点E为上一点，．若，求的长．

参考答案：

1．B

【分析】从数轴得出，据此判断即可．

【详解】解：由题意可知，，且，

∴，故选项A不合题意；

∴，故选项B合题意；

∴，故选项C不合题意；

∴，故选项D符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数．

2．A

【分析】直接利用算术平方根的性质以及立方根的性质分别化简，进而判断得出答案．

【详解】解：A．，故此选项符合题意；

B．，故此选项不合题意；

C．，故此选项不合题意；

D．，故此选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质以及立方根的性质，正确化简各数是解题关键．

3．D

【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解．

【详解】解∶如图，

一共有5条对称轴．

故选：D

【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．

4．B

【分析】由分式有意义，分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案．

【详解】解： 分式有意义，

故选：

【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式有意义，则分母不为零”是解题的关键．

5．A

【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】解：画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，

∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，

故选：A．

【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．

6．B

【分析】将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式，即求出的值，即可比较得出答案．

【详解】分别将A、B、C三点坐标代入反比例函数解析式得：

、、．

则．

故选B．

【点睛】本题考查比较反比例函数值．掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解答本题的关键．

7．C

【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可．

【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根，

∴=0，

∴，

解得，故C正确．

故选：C．

【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．

8．A

【分析】设与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接，证明，得到弓形的面积=弓形的面积，则 ．

【详解】解：设与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接，

∵四边形是正方形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴垂直平分，

∴，

∴弓形的面积=弓形的面积，

∴ ．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．

9．A

【分析】由旋转的性质可得，，，证明是等边三角形，得到，进一步证明，即可判断A；根据大角对大边即可判定B；根据三角形三边的关系即可判断C；根据现有条件无法证明，即可判断D．

【详解】解：由旋转的性质可得，，，

当A，D，E共线时，则，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，故A符合题意；

∵，

∴，故B不符合题意；

∵，

∴，故C不符合题意；

根据现有条件无法证明，故D不符合题意；

故选A．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，三角形三边的关系，证明是等边三角形是解题的关键．

10．A

【分析】由菱形的性质可证△ABC和△ ADC都是等边三角形，可得AC = AB = 2，∠BAC= 60°=∠ACD，分两种情况讨论，由锐角三角函数和三角形的面积公式可求y与x之间函数关系，由二次函数的性质可求解．

【详解】当时，如图1，过点Q作于点H，

由题意得，

菱形中，，

，

△ABC和△ ADC都是等边三角形，

，

，

，

的面积，

当时，如图2，过点Q作于点N，

由题意得，

，

，

的面积，

该图象开口向上，对称轴为直线，

时，y随x的增大而增大，

当时，y有最大值为．

故选：A．

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

11．

【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．

【详解】解：根据题意得：，

解得：．

故答案为：

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．

12．

【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．

【详解】

故答案为：．

【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．

13．7×10－7

【详解】考点：科学记数法—表示较小的数．

分析：科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．本题0.000 000 7＜1时，n为负数．

解：0.000 000 7=7×10-7．

故答案为7×10-7．

14．乙

【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．

【详解】解：∵，，，且平均成绩相同

∴射击成绩较稳定的运动员是乙，

故答案为：乙．

【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

15．

【分析】如图，，，由切线长定理可得，则，进而可得光盘的直径．

【详解】解：如图，，，

由切线长的性质可得，

∴，

∴光盘的直径为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了切线长定理，正切函数的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

16．或

【分析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可．

【详解】解：根据题意，

∵点称为点的“倒数点”，

∴，，

∴点B不可能在坐标轴上；

∵点A在函数的图像上，

设点A为，则点B为，

∵点C为，

∴，

①当点B在边DE上时；

点A与点B都在边DE上，

∴点A与点B的纵坐标相同，

即，解得：，

经检验，是原分式方程的解；

∴点B为，

∴的面积为：；

②当点B在边CD上时；

点B与点C的横坐标相同，

∴，解得：，

经检验，是原分式方程的解；

∴点B为，

∴的面积为：；

故答案为：或．

【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．

17．，图见解析

【分析】先分别求解两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，最后在数轴上表示即可．

【详解】解：，

解①得，；

解②得，；

∴不等式组的解集是；

解集在数轴上表示如下：

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于正确的运算求解．

18．见解析

【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．

【详解】证明：∵，

∴∠B=∠C，

∵，，

∴△ABE≌△DCF（AAS），

∴．

【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．

19．（1）；（2）．

【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；

（2）由正方形的面积求出边长a的值，代入计算即可求出T的值．

【详解】（1）T；

（2）由正方形的面积为9，得到a＝3，则T．

【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．(1)10m

(2)20m

【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．

（2）根据，可得，根据等腰三角形的性质即可求解．

【详解】（1），

（2）C，A，D三点共线，

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键．

21．(1)见解析

(2)

【分析】（1）先用参与奖的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出获一等奖的人数，然后补全条形统计图；

（2）条件题意得到获得一等奖的同学中七年级一人，八年级二人，九年级一人，再画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后根据概率公式计算．

【详解】（1）（人）

一等奖人数：（人）

如图所示

（2）用A表示七年级，B表示八年级，C表示九年级

综上，由12种等可能事件，分别为；其中有两种情况选出的两人中既有七年级又有九年级同学，故概率是

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．

22．（1）k=12，M（6,2）；（2）28

【分析】（1）将点A（3,4）代入中求出k的值，作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，证明△MEC∽△ADC，得到，求出ME=2，代入即可求出点M的坐标；

（2）根据勾股定理求出OA=5，根据点A、M的坐标求出DE，即可得到OC的长度，由此求出答案.

【详解】（1）将点A（3,4）代入中，得k=，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴MA=MC，

作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，

∴ME∥AD，

∴△MEC∽△ADC，

∴，

∴ME=2，

将y=2代入中，得x=6，

∴点M的坐标为（6,2）；

（2）∵A（3,4），

∴OD=3，AD=4，

∴,

∵A（3,4），M（6,2），

∴DE=6-3=3，

∴CD=2DE=6，

∴OC=3+6=9，

∴的周长=2(OA+OC)=28.

【点睛】此题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求函数图象上点的坐标，勾股定理，相似三角形的判定及性质.

23．(1)见解析

(2)3，

【分析】（1）如图，作的垂直平分线，与圆的交点即为，连接即可；

（2）由题意知，则半径为5，如图1，记与的交点为E，则是的中位线，，，即可得点O到的距离是3，则，，根据，计算求解即可．

【详解】（1）解：分别以 为圆心， 的长为半径画弧，连接两弧交点，与圆的交点即为，则即为的垂线，连接，下图即为所求；

（2）解：由题意知，

∴，

∴半径为5，

如图1，记与的交点为E，

∵，

∴点E是中点，

∴是的中位线，

∴，，

∴，

∴点O到的距离是3，

∴，

∴，

∴，

∴点O到的距离是3，的值为．

【点睛】本题考查了作垂线，直径所对的圆周角为直角，垂径定理，勾股定理，中位线的性质，余弦函数．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

24．(1)对称轴直线，点坐标

(2)或

(3)点，点

【分析】（1）利用对称轴方程即可求解；

（2）由两点间的距离公式求得，，再列式计算即可求解；

（3）作关于直线对称点，当，D，N三点共线时，取得最小值，即，进而求解即可.

【详解】（1）解：将点C代入，得，

对称轴，

，则

将代入，得，

∴点D坐标是；

（2）解：顶点D的坐标为

∴

∵

∴

解得或，

∴抛物线的解析式：或；

（3）解：将向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到和；此时点会与点D重合，将点D视为定点，作关于直线对称点，当，D，N三点共线时，取得最小值，即，

解得，（舍去）

∴，

解得

∴点，点

【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

25．（1）见解析；（2）；（3）

【分析】（1）由得，因而，所以平分；

（2）先证明，其中，再由相似三角形的对应边成比例求出的长；

（3）根据角平分线的特点，在上截取，连结，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出的长．

【详解】（1）证明：如图1，

平分，

，

，，

，

，

，

，

平分．

（2）如图2，

，

；

，

，

；

，

，

，

（3）在上取一点F，且，连接和

∵平分

∴，

又∵，，

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴长为

【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解第（3）题时，应注意探究题中的隐含条件，通过适当添加辅助线构造全等三角形和相似三角形；此题难度较大，属于考试压轴题．