2023年湖北恩施市中考一模数学试卷

这是一份2023年湖北恩施市中考一模数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖北恩施市中考一模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数等于（　　）
A． B．2023 C． D．
2．如图几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）
A． B． C． D．
3．函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≥0 C．x＞0且x≠1 D．x≥0且x≠1
4．一个正方体的表面展开图如图所示，把它折成正方体后，与“山”字相对的字是（    ）

A．水 B．绿 C．建 D．共
5．下列运算正确的是（   ）
A． B． C． D．
6．某校航模兴趣小组共有50位同学，他们的年龄分布如表：
年龄/岁
13
14
15
16
人数
5
23
▃
▃
由于表格污损，15和16岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是（　　）
A．平均数、众数 B．众数、中位数
C．平均数、方差 D．中位数、方差
7．将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（　　）

A． B． C． D．
8．杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（年）提出的这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）﹒问阔及长各几步．”若设阔为步，则可列方程（    ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点B和D，分别以点B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交AB于点E，若，则的长度为（    ）

A．3 B． C． D．2
10．如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，则的最小值是（    ）

A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6
11．如图，已知中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同速度由点向点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当与全等时，点运动的时间是（    ）

A． B． C． D．或
12．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若＞﹣4，则＞c．其中正确结论的个数为(   )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
13．的算术平方根是_______．
14．分解因式：_____．
15．如图，内切于，切点分别为、、，若，，，则图中阴影部分的面积是_______．

16．对于正数，规定，例如：，，，…利用以上的规律计算：_______．

三、解答题
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在中，，于点，平分，分别交、于点、，于点，连接，求证：四边形是菱形．

19．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：

请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有　名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是　度；
(2)补全调查结果条形统计图；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
20．如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：，）

21．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、两点，与双曲线交于点、两点，．

(1)求，的值；
(2)求点坐标并直接写出不等式的解集；
(3)连接并延长交双曲线于点，连接、，求的面积．
22．在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉树．经市场调查发现：购买2棵柏树和3棵杉树共需440元，购买3棵柏树和1 棵杉树共需380元．
（1）求柏树和杉树的单价；
（2）若本次美化乡村道路臀购买柏树和杉树共150棵（两种树都必须购买），且柏树的棵数不少于树的3倍，设本次活动中购买柏树x棵，此次购树的费用为w元．
①求w与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围？
②要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
23．如图，是的直径，是圆上的一点，为的中点，过点作的切线与的延长线交于点，与的延长线交于点，弦、交于点．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
24．抛物线与轴交于A、两点，与轴交于点，直线经过点、，已知点坐标为，点在抛物线上，设点的横坐标为．

(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)如图1，连接，，，若是直角三角形，求点的坐标；
(3)如图2，若点在直线下方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值．

参考答案：
1．B
【分析】根据相反数的定义进行计算即可．
【详解】解：的相反数是2023．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
2．A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称的图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．D
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得，x≥0且x﹣1≠0，
解得：x≥0且x≠1，
故选：D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
4．D
【分析】分析题意，由正方体表面展开图“222”型特征，找出“山”字的相对字为“共”.
【详解】假设以“青”为正方体底面，将展开面折叠还原，容易得出“山”与“共”相对，“建”与“绿”相对，“青”与“水”相对.故选D.
【点睛】正方体表面展开图有多种形式，如“141”、“132”、“222”“33”，需要熟练掌握.
5．B
【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法分别判断即可．
【详解】A：，错误；
B：正确；
C：，错误；
D：，错误
故答案选：B．
【点睛】本题考查幂运算以及合并同类项，掌握相关公式以及运算法则是解题关键．
6．B
【分析】根据众数、中位数的定义进行判断即可．
【详解】解：一共有50人，中位数是从小到大排列后处在第25、26位两个数的平均数，而13岁的有5人，14岁的有23人，因此从小到大排列后，处在第25、26位两个数都是14岁，因此中位数是14岁，不会受15岁，16岁人数的影响；
因为14岁有23人，而13岁的有5人，15岁、16岁共有22人，因此众数是14岁；
故选：B．
【点睛】此题考查应用统计量解决实际问题，正确掌握众数的定义，中位数的定义是解题的关键．
7．A
【分析】由平行线的性质可知，再利用三角形外角的定义和性质即可求解．
【详解】解：由题意知，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握两直线平行、同位角相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
8．A
【分析】根据长宽关系得到长为，结合面积公式即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，长为步，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式．
9．C
【分析】利用基本作图可知，根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由作法得，
∴，
∵
∴，
在中，，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，作图-作垂线，以及勾股定理，得出是解答本题的关键．
10．B
【分析】根据题意可证四边形ECFM是矩形，得EF=CM，再由垂线段最短得CM最短进而可得EF最短，最后进行计算即可．
【详解】连接CM，

∵MEAC，MFBC，
∴MEC=MFC=90°,
∵C=90°，
∴四边形ECFM是矩形，
∴EF=CM，
当CMAB时，CM最短，如下图：

当CMAB，
，
∴，
∵在RtABC中，
=，
∴，
∴CM=2.4，
∴CM的最小值是2.4，
∴EF=CM=2.4，
∴EF的最小值是2.4．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、垂线段最短定理和勾股定理，解决此题的关键是要找到CM最短时的情况．
11．A
【分析】根据，求出，根据点为的中点，求出，分时，时，两种情况进行讨论，并注意验证当时，不成立，从而可以求出t的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同速度由点向点A运动，
∴， ，
当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，解得：，
此时，，
∵，
∴此种情况不成立，
综上分析可知，，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质，注意分类讨论．
12．B
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．
【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，
∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴函数的最大值为4a﹣2b+c，
∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；
∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．
∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，
∴16a+c＞4b，故③正确；
∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），
∵抛物线开口向下，
∴若-4<<0，则＞c．若≥0，则≤c，故④错误；
故选：B
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
13．
【分析】根据算术平方更定义直接计算即可得到答案；
【详解】解：∵的平方根是，
∴的算术平方根是，
故答案为；
【点睛】本题考查算术平方根的定义：一个数的正的平方根叫这个数的算术平方根．
14．
【分析】先提公因式，再用平方差公式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键，注意分解一定要彻底．
15．/
【分析】先利用切线的性质，由，，可知，，再根据勾股定理求出圆的半径，然后利用扇形的面积公式计算，阴影部分的面积正方形的面积扇形的面积．
【详解】解：连接，，

内切于，切点分别为、、，，
，，
设圆的半径为，
是直角三角形，
又内切于，切点分别为、、，
，
，，
根据勾股定理得，
解得或，负值舍去．
阴影部分的面积正方形的面积扇形的面积，
图中阴影部分的面积是
故答案为：．
【点睛】本题考查了求扇形面积，三角形内心的应用，勾股定理，切线长定理的应用，求圆的半径是解题的关键．
16．
【分析】根据，得到，即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，，
∴
，
故答案为：；
【点睛】本题考查分式化简求值及规律，解题的关键是得到．
17．，
【分析】根据异分母分式的算法先算括号里面的，接下来利用分式除法法则计算出结果即可．
【详解】解：

当时，原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练分式的混合运算法则是解题的关键．
18．见解析
【分析】根据角平分线定理判断出CE=EH，进而得出AC=AH，判断出△CAF≌△HAF，推出∠ACD=∠AHF，再判断出∠B=∠ACD=∠FHA，推出HFCE，再推出CFEH，得出平行四边形CFHE，根据菱形判定推出即可．
【详解】证明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，
∴CE=EH，
在Rt△ACE和Rt△AHE中，AE=AE，CE=EH，由勾股定理得：AC=AH，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAF=∠HAF，
在△CAF和△HAF中

∴△CAF≌△HAF（SAS），
∴∠ACD=∠AHF，
∵CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠CDA=∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=∠AHF，
∴FHCE，
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴CFEH，
∴四边形CFHE是平行四边形，
∵CE=EH，
∴四边形CFHE是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，角平分线性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
19．(1)120，99
(2)见解析
(3)

【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：参与了本次问卷调查的学生人数为：（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：120，99；
（2）解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：（名），
则选修“园艺”的学生人数为：（名），
补全条形统计图如下：

（3）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20．这艘轮船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析
【分析】如图，过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BAC=30°，∠CBD=45°，解Rt△ACD和Rt△BCD，求出CD即可．
【详解】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：

根据题意可知∠BAC=90°−60°=30°，∠DBC=90°-45°=45°，AB=30×1=30（km），
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=45°，
tan∠DBC=，即=1
∴CD=BD
设BD=CD=xkm，
在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠DAC=30°，
∴tan∠DAC=，即
解得x=15+15≈40.98，
∵40.98km>40km
∴这艘船继续向东航行安全．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用；解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义．
21．(1)，
(2)，或
(3)

【分析】（1）根据点在直线上，把点代入，求出的值；过作轴于点，得，根据，可求出点的坐标，可得点的坐标，代入反比例函数，即可求出的值；
（2）根据交点坐标的性质，可求出点的坐标，根据，得，根据函数图象，即可得到解集；
（3）根据同底同高，得，，即可．
【详解】（1）∵点在直线上，
∴
解得
过作轴于点
∴
∵
∴
∴
∴
∴在中，令，得
∴
∴
∴．

（2）∵点是和交点
∴
解得，
∵点在第三象限
∴
∴由图象得，当或时，
不等式的解集为或．
（3）∵和同底同高
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质，不等式的解集，交点坐标，三角形面积的转换．
22．（1）柏树的单价为100元，杉树的单价为80元；（2）①，且x为整数；②要使此次费用最少，柏树购买113棵，杉树37棵，最少费用为14260元．
【分析】（1）设柏树的单价为m元，杉树的单价为n元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）①根据单价、数量与费用的关系列出一次函数即可；再由题意本次购买柏树和杉树共150棵，且两种树都必须购买，可得不等式组，柏树的棵树不少于杉树的3倍，列出相应不等式求解，综合即可得x的取值范围；
②根据一次函数的增减性质可得w随x的增大而增大，由x的取值范围代入求解即可．
【详解】解：（1）设柏树的单价为m元，杉树的单价为n元，
根据题意可得：
，
解得：，
答：柏树的单价为100元，杉树的单价为80元；
（2）①设本次活动中购买柏树x棵，则杉树棵，
由（1）及题意可得：
，
∵本次购买柏树和杉树共150棵，且两种树都必须购买，
即：，
∴，
∵柏树的棵树不少于杉树的3倍，
∴，
解得：，
综合可得：，且x为整数；
②由①可得：，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w最小，此时，
（元），
（棵），
∴要使此次费用最少，柏树购买113棵，杉树37棵，最少费用为14260元．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组、不等式组及一次函数的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）连接，，交于，根据得到，结合得到，即，根据是的切线，为半径得到，即可得到证明；
（2）根据得到，结合得到，即可得到证明
（3）连接，根据，，得到，结合（2）得到，即可得到，结合三角函数即可得到答案；
【详解】（1）证明：连接，，交于，
∵是劣弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，为半径，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵D是劣弧的中点
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，

∵，，
∴
由（2）可得，
∴，
∴，
∵是劣弧的中点
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
则，
∵，，
∴
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，又
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是根据圆的性质得到等角及直角．
24．(1)抛物线解析式为，直线解析式为
(2)点的坐标为或
(3)的最大值为

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可求解；
（2）是直角三角形要分三种情况进行讨论.：当时与当，求的值即可求点坐标；
（3）过作轴交于，求得，，则，过作轴交轴于，进而可得，再进而求解即可．
【详解】（1）将代入二次函数关系式，求得，
求出抛物线解析式为，
将代入二次函数关系式，求得，
∴
将、分别代入中，得：
，解得：，
求出直线解析式为，
（2）是直角三角形要分三种情况进行讨论.
当时，在以为直径的圆与抛物线的交点上，显然这种情况不存在.
当，可得解析式为，进而求其与抛物线的另一个交点，可得，则
当，可得解析式为，进而求其与抛物线的另一个交点，可得，则
∴点的坐标为或
（3）过作轴交于，

∵，
∴，
∴，
∴，，
∴
过作轴交轴于，
∴，
∴，
∴，
∴
又
即
又，故时取得最大值.
【点睛】本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．