2023年湖南省浏阳市中考一模数学试题

这是一份2023年湖南省浏阳市中考一模数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省浏阳市中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．实数的倒数是（　　）
A．2 B． C． D．
2．2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施，数据2200亿用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
4．如图，一个由6个大小相同、棱长为1的正方体搭成的几何体，下列关于这个几何体的说法正确的是（  ）

A．主视图的面积为6 B．左视图的面积为2
C．俯视图的面积为4 D．俯视图的面积为3
5．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
5
7
4
2
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（  ）
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
6．已知点A(a，1)与点B(5，b)关于原点对称，则a、b值分别是(    )
A．a=5，b=1 B．a=﹣5，b=1 C．a=﹣5，b=﹣1 D．a=1，b=5
7．据省统计局发布，2022年我省有效发明专利数比2021年增长23%．假定2023年的年增长率保持不变，2021年和2023年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（    ）
A． B．
C． D．
8．如图，直线，线段交，于D，B两点，过点A作，交直线于点C，若，则（    ）

A．70° B．100° C．110° D．160°
9．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B＝25°，则∠C的大小等于(  )

A．25° B．20° C．40° D．50°
10．如图1，点P从的顶点B出发，沿匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则的面积是（    ）

A．24 B．40 C．48 D．80

二、填空题
11．函数中自变量的取值范围是______．
12．设，是一元二次方程的两个根，则的值是________．
13．为了解某区九年级3600名学生中观看2022北京冬奥会开幕式的情况，随机调查了其中200名学生，结果有160名学生全程观看了开幕式，请估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为________人．
14．分式与的和为4，则x的值为_________．
15．如图，是半圆O的直径，，为弦，于D，交半圆O于点E，于F，若，则的长为________．

16．先阅读，再解答：对于三个数a、b、c中，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数．例如：，；
（1）________；
（2）若，则x的值为________．

三、解答题
17．计算：；
18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

19．如图，某校为检测师生体温，在校门口安装一台测量体温的红外线测温仪．已知测温仪A距地面2.74m，为了了解测温仪的有效测温区间，陈师傅做了如下实验：当他走到F处时，测温仪开始显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为24°；当他走到E处时，测温仪停止显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°．若，求有效测温区间的长度．（参考数据：，，）

20．如图，，，点O是的交点，过点O作于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求的长
21．《民法典》颁布实施已经一年多，胜利社区为了解社区居民对《民法典》内容的知晓情况，对社区居民进行了抽样调查，按知晓情况可分如下四类：A类——完全知晓；B类——知晓；C类——部分知晓；D类——不知晓．并根据调查结果制作了如下不完整的统计图．
知晓等级
频数（人）
频率
A
m
0.1
B
20
0.4
C
a
n
D
10
0.2

请根据图表中的数据回答下列问题：
(1)表中________，________，________；
(2)补全条形统计图；
(3)为了加大《民法典》的宣传力度，社区管理部门准备在完全知晓的居民中征集2名志愿宣传者，已知完全知晓的居民中有2名女性，其他为男性，求恰好抽到一男和一女的概率是多少．
22．某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元．
(1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
(2)已知该中学需要购买两种球拍共副，羽毛球拍的数量不超过副．现商店推出两种购买方案，方案：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．
23．如图，在平行四边形ABCD中，，BE平分交CD于O，交AD延长线于E，连接CE．
（1）求证：四边形BCED是菱形；
（2）若，，求的面积．

24．如图，是的直径，C是上的一个动点，延长至，使，垂直于弦，垂足为点，点在上．

(1)当与相切时，求的度数；
(2)芳芳观察后发现，的值为，点点说的值随动点的变化而变化，你为谁的结论是正确的，请给予证明；
(3)设，求与之间的函数关系式．
25．平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；

参考答案：
1．D
【详解】直接利用倒数：乘积是1的两数互为倒数，即可得出答案．
【分析】解：实数的倒数是：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2．C
【分析】科学记数法的表现形式为 ，其中 ，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数的绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：2200亿，
2200亿用科学记数法表示为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 ，其中 ，为整数，确定与的值是解题的关键．
3．C
【分析】由同底数幂的除法可判断A，由积的乘方运算可判断B，由合并同类项可判断C，由完全平方公式可判断D，从而可得答案．
【详解】解：故A不符合题意；
故B不符合题意；
，故C符合题意；
故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是同底数幂的除法，积的乘方运算，合并同类项，完全平方公式的应用，熟练以上基础运算是解本题的关键．
4．C
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，在不同的视图中分别看到几个小正方形的面，即可得出相应视图的面积，与选项比较即可得出答案．
【详解】解：A. 从主视图看，可以看到5个面，故本选项错误；
B. 从左视图看，可以看到3个面，故本选项错误；
C. 从俯视图看，可以看到4个面，故本选项正确；
D. 由以上判断可知，故本选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查了三视图的相关知识.正确理解主视图、左视图、俯视图的定义，并能根据几何形体画出它的三视图是解题的关键．
5．A
【分析】由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是20人可得，中位数是将数据从小到大排序后的第10和11个所对应册数的平均数即可求得结果；
【详解】由表中数据可得，人数基数最大的7人所应的册数是3，所以众数是3．
将数据从小到大排序后，第10和第11个数据均为3，所以中位数为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关键．
6．C
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】由题意，得
a=-5，b=-1，
故选C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7．B
【分析】根据题意可知2022年我省有效发明专利数为万件，2023年我省有效发明专利数为，再结合题意即可解答．
【详解】解：由题意得：2022年我省有效发明专利数为万件，
2023年我省有效发明专利数为万件，即万件．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了增长率问题，弄清题意、找到各量之间的数量关系是解题的关键．
8．C
【分析】利用垂直定义可得的度数, 根据三角形外角的性质求得，再利用平行线的性质可得的度数即可解答．
【详解】解：∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴．
故选：C．

【点睛】本题主要考查了垂直定义、三角形外角的性质、平行线的性质等知识点,明确各角之间的关系是解答本题的关键．
9．C
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
【详解】如图，连接OA．

∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°．
∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠C＝40°．
故选C．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点．
10．C
【分析】由图2知，，当时，的值最小，即中，边上的高为8（即此时），据此求解即可．
【详解】解：由图2知，，当时，的值最小，即中，边上的高为8（即此时），
当时，，同理可得，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
11．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数大于等于0进行解题．
12．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
13．2880
【分析】用总人数乘以样本中观看冬奥会开幕式的九年级学生人数所占比例即可．
【详解】解：估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为（人）．
故答案为：2880．
【点睛】本题主要考查用样本估计总体，明确题意、求出全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数所占的百分比是解答本题的关键．
14．3
【详解】解：首先根据分式与的和为4，
可得：+=4，
去分母，可得：7﹣x=4x﹣8，
解得：x=3，经检验x=3是原方程的解，
故答案为3．
15．
【分析】由定理得出，推出，根据垂径定理求出的长，再根据勾股定理求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题的是垂径定理，全等三角形的性质和判定等知识，解此题的关键是求出和求出的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．
16． 或
【分析】（1）根据，即可得出答案；
（2）分情况分别列出关于x的方程，解方程可得．
【详解】解：（1）∵，
∴，
故答案为：；
（2）①当5最小时，∴，，此种情况不成立，
②当最小时，∴，，∴，，解得：；
③当最小时，，，
∴，
Ⅰ、当2最大时，∴，，∴，∴，解得：（舍去）；
Ⅱ、当最大时，∴，，∴，∴，解得：；
Ⅲ、当最大时，∴，，此种情况不成立，
综上，x的值为或．
【点睛】本题主要考查新定义下解不等式组和一元一次方程的能力，根据新定义列出不等式组和一元一次方程是根本，由已知等式找到x的两个分界点以准确分类讨论是解题的关键．
17．0
【分析】由零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数进行化简，即可得到答案．
【详解】解：原式，                              
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
18．；解集表示见解析
【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：原不等式组为，
解不等式①，得；
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为 ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
19．
【分析】延长交于点，则，根据锐角三角函数即可求解．
【详解】如图，延长交于点，则．

．
在中，
，
在中，
，
．
．
答：有效测温区间的长度约为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义．
20．(1)见解析
(2)

【分析】（1）利用“”证明，进而得出答案；
（2）首先证明，进而得出，根据勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：在与中，
，
∴，                                    
∴，                                          
∴；
（2）解：由（1）知，，
∵，
∴，                                  
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
21．(1)5；15；0.3
(2)见解析
(3)

【分析】（1）先求出总人数，根据总人数乘以0.1得到m；总人数减去A、B、D的人数可得a；a除以总人数50可得n；
（2）根据人数补图即可；
（3）列树状图解答．
【详解】（1）解：总调查人数为人，
，
，
，
故答案为：5,15,0.3；
（2）补全条形统计图如图：

（3）由题意知，五名完全知晓的居民中有2名女性，3名男性，画树状图如图：

共有20种等可能的结果，恰好抽到一男和一女的结果有12种，
∴恰好抽到一男和一女的概率为．
【点睛】此题考查了统计表与条形统计图，利用部分的数量及频率求总体人数，画条形统计图，列树状图求概率，正确理解统计图表是解题的关键．
22．(1)购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元
(2)当购买羽毛球拍的数量少于副时，选择方案更实惠；当购买羽毛球拍的数量等于副时，两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于副且不超过副时，选择方案更实惠

【分析】（1）设购买一副乒乓球拍需元，一副羽毛球拍需元，根据“购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买（且为整数）副羽毛球拍，则选择方案所需总费用为元，选项方案所需总费用为元，分，及三种情况，即可求出的取值范围或的值，此题得解．
【详解】（1）解：设购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元，
依题意得：，
解得：，
答：购买一副乒乓球拍需元，购买一副羽毛球拍需元．．
（2）设购买（且为整数）副羽毛球拍，则：
选择方案所需总费用为：（元），
选项方案所需总费用为：（元），
当时，
解得：，
∵，
∴；
当时，
解得：；
当时，
解得：，
∵，
∴．
答：当购买羽毛球拍的数量少于副时，选择方案更实惠；当购买羽毛球拍的数量等于副时，两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于副且不超过副时，选择方案更实惠．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出选项各方案所需总费用．
23．（1）见解析；（2）16
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出BC∥AE，根据平行线的性质得出∠CBE=∠DEB，求出∠DEB=∠DBE，推出BD=DE，再根据菱形的判定推出即可；
（2）根据菱形的性质得出BO=EO，∠DOE=90°，求出OD是△ABE的中位线，求出AB和BE，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AE，
∴∠CBE=∠DEB，
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE=∠DBE，
∴∠DEB=∠DBE，
∴BD=DE，
又∵BC=BD，
∴BC=DE且BC∥DE，
∴四边形BCED是平行四边形，
又∵BC=BD，
∴四边形BCED是菱形；
（2）解：∵四边形BCED是菱形，
∴BO=EO，∠DOE=90°，
又∵AD=BC=DE，
∴OD是△ABE的中位线，
∴OD∥AB，AB=2OD=4，∠ABE=∠DOE=90°，
∵，
∴BE=8，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形的面积，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的中位线等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
24．(1)
(2)芳芳正确，证明见解析
(3)

【分析】当是的切线时，则，则，再利用直角三角形斜边 的中线等于斜边的一半，得出，即可由等腰三角形的判定定理得出结论；
（2）连接，是的直径，，又得出，证明，进而即可求解．
（3）连接，根据题意得出，又，所以，再根据，则，然后证，得，因为，代入即可求解．
【详解】（1）证明：当是的切线时，则，
，
，
，，
．

；
（2）解：芳芳正确，如图所示，连接，

是的直径，


，
，

又，则，
即，

芳芳正确；
（3）解：如图，连接，

是的直径，
，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，圆周角定理的推论，相似三角形的性质，正切的定义，熟练掌握相关性质是解题的关键．
25．(1)， ，，
(2)存在，，，，，，，，
(3)存在， ，

【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，进而分别令，解方程即可求解；
（2）根据题意，对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解；
（3）存在点使最小，作点关于的对称点，连接交于点，连接，求得直线的解析式，直线的解析式为，联立方程即可求解．
【详解】（1）解：将，代入，
即，解得：，
∴，
令，则，
令，则，
解得：，
，，
（2）解：存在是直角三角形，
∵，对称轴为直线，
设，
∵，，
∴，，
①当时，,
∴
解得：
②当时，,
∴
解得：
③当时，,

解得：或.
综上所述：，，，，，，，
（3）存在点使最小，理由如下：
作点关于的对称点，连接交于点，连接，

由对称性可知，，
，
当、、三点共线时，有最小值，
，，，，
，
，
由对称性可知，
，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
，；
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．