辽宁省葫芦岛市三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编

这是一份辽宁省葫芦岛市三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编，共58页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

辽宁省葫芦岛市三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编

一、单选题
1．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）复数
A． B． C． D．
3．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ）
A． B．
C． D．
4．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）在展开式中，的系数为（    ）
A． B． C． D．
5．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）已知，且，则
A． B． C． D．
6．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）已知抛物线上一点到焦点F的距离，则（    ）
A．1 B．2 C．4 D．5
7．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）某保鲜封闭装置由储物区与充氮区（内层是储物区用来放置新鲜易变质物品，充氮区是储物区外的全部空间，用来向储物区输送氮气从而实现保鲜功能）．如图所示，该装置外层上部分是半径为2半球，下面大圆刚好与高度为3的圆锥的底面圆重合，内层是一个高度为4的倒置小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，为了保存更多物品，充氮区空间最小可以为（    ）

A． B． C． D．
8．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）已知函数．若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
9．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模），，则（    ）
A． B． C． D．
10．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）若复数，则（    ）
A． B． C． D．
11．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中，c为非零常数，则（    ）
A．两组样本数据的样本方差相同 B．两组样本数据的样本众数相同
C．两组样本数据的样本平均数相同 D．两组样本数据的样本中位数相同
12．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）的展开式中的常数项为（    ）．
A．－120 B．120 C．－60 D．60
13．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M与该品种水果中氢离子的浓度N有关，酿醋成功指数M与浓度N满足．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9，则该水果中氢离子的浓度约为（）（    ）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
14．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
15．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）已知直线恒过定点M，点N在曲线上，若（O为坐标原点），则的面积为（    ）
A． B．2 C． D．
16．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）已知函数的图象如图所示，将的图象向右平移个单位，使新函数为偶函数，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．
17．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知集合，，则
A． B． C． D．
18．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）是虚数单位，则的值为（    ）
A．13 B． C．5 D．
19．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
20．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知，为平面向量，且，，则，夹角的余弦值等于（    ）
A． B．－ C． D．－
21．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）芙萨克·牛顿，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》为太昍中心说提供了强有力的理论支持，推动了科学革命．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（単位：），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设在室内温度为的情况下，一桶咖啡由降低到需要，则的值为（    ）

A． B． C． D．
22．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）的展开式中的系数为（    ）
A．－80 B．－100 C．100 D．80
23．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）定义在区间上的函数的图象与的图象的交点为，过点作P1P⊥x轴于点P1，直线P1P与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为（    ）
A． B． C． D．
24．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知函数，在，且上有个交点则（    ）
A．0 B． C．2m D．2017

二、多选题
25．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）如图为某省高考数学卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，其中正确的为（    ）
数学近三年难易程度对比

A．近三年容易题分值逐年增加
B．近三年中档题分值所占比例最高的年份是年
C．年的容易题与中档题的分值之和占总分的以上
D．近三年难题分值逐年减少
26．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）设正实数a，b满足，则（    ）
A．有最小值4 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值
27．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，其特点是圆的周长和面积同时被平分，充分体现了相互转化、对称统一、和谐共存的特点．若函数的图像能够将圆的周长和面积同时平分，则称函数为这个圆的“和谐函数”．给出下列命题中正确的有（    ）

A．对于任意一个圆，其“和谐函数”至多有2个
B．函数可以是某个圆的“和谐函数”
C．正弦函数可以同时是无数个圆的“和谐函数”
D．函数不是“和谐函数”
28．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）已知，则下列有关函数在上零点的说法正确的是（    ）
A．函数有5个零点 B．函数有6个零点
C．函数所有零点之和大于2 D．函数正数零点之和小于4
29．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）已知抛物线过点，焦点为F，则（    ）
A．点M到焦点的距离为3
B．直线MF与x轴垂直
C．直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切
D．过点M与C相切的直线方程为
30．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）对于实数，，下列真命题的为（    ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，且，则的最小值为
31．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足平面ABC的是（    ）
A． B．
C． D．
32．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）已知函数，，函数的图象在点处的切线为，与两坐标轴交点分别为，；在点的切线为，与两坐标轴交点分别为，．若两条切线互相垂直，则下列变量范围正确的是（    ）
A． B．
C． D．
33．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知a，b为空间中两条不同直线，，为空间中两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（    ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
34．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）一辆赛车在一个周长为的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．

根据图1，以下四个说法中正确的是（    ）
A．在这第二圈的到之间，赛车速度逐渐增加
B．在整个跑道，最长的直线路程不超过
C．大约在这第二圈的到之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶
D．在图2的四条曲线（注：为初始记录数据位置）中，曲线最能符合赛车的运动轨迹
35．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（    ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015
B．任取一个零件是次品的概率为0.0525
C．如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为
36．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）设定义在R上的函数满足：①：②对任意实数满足；③存在大于零的常数m，使得 ，且当 时， ．则（    ）
A．  
B．当时，
C．函数在R上没有最值
D．任取

三、填空题
37．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）写出两个与终边相同的角___________．
38．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）2021年的两会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级医疗服务能力，加快建设分级诊疗体系，让乡村医生“下得去、留得住”．为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业发展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为___________．
39．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）已知数列满足：，若，且数列是单调递增数列，则实数t的取值范围是_____________．
40．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）已知向量，，，．若，则______．
41．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）写出一个使命题“，”成立的充分不必要条件______（用m的值或范围作答）．
42．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）已知数列，，对于任意正整数m，n，都满足，则______．
43．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）已知双曲线G的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P坐标为，双曲线G上点，满足，则______．
44．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）请估计函数零点所在的一个区间______.
45．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
46．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，为的内心，且，则的离心率为______．

四、双空题
47．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）在边长为2的正三角形中，D是的中点，，交于F．①若，则___________；②___________．
48．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）某校进行了物理学业质量监测考试，将考试成绩进行统计并制成如下频率分布直方图，a的值为______；考试成绩的中位数为______．


五、解答题
49．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
（1）求A；
（2）若，求的面积的最大值．
50．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）已知首项为2的数列中，前n项和满足．
（1）求实数t的值及数列的通项公式；
（2）将①，②，③三个条件任选一个补充在题中，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
51．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为，m，．若三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为．
（1）求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m的值；
（2）三个团队有X个在两年内出成果，求X分布列和数学期望．
52．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．

（1）求新多面体的体积；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求新多面体为几面体？并证明．
53．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对于，恒成立．求实数k的取值范围．
54．（2021·辽宁葫芦岛·统考一模）已知椭圆的焦距为，经过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线分别交椭圆于A，B．，Q为垂足．是否存在定点R，使得为定值，说明理由．
55．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最大值．
56．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，四边形ABCD的四个顶点在同一个圆上．已知，，．

(1)求边AB的长；
(2)设，，求的值．
57．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，在正六棱柱中，，．

(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值．
58．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）已知椭圆过点，，分别为椭圆C的左、右焦点．请从下面两个条件中选择一个补充到题中，并完成下列问题．条件①：；条件②：离心率．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线与圆相切，且与椭圆C交于MN两点，求面积的取值范围．
59．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）葫芦岛市矿产资源丰富，拥有煤、钼、锌、铅等51种矿种，采矿业历史悠久，是葫芦岛市重要产业之一．某选矿场要对即将交付客户的一批200袋钼矿进行品位（即纯度）检验，如检验出品位不达标，则更换为达标产品，检验时；先从这批产品中抽20袋做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有钼矿做检验，设每袋钼矿品位不达标的概率都为，且每袋钼矿品位是否达标相互独立．
(1)若20袋钼矿中恰有2袋不达标的概率为，求的最大值点；
(2)已知每袋钼矿的检验成本为10元，若品位不达标钼矿不慎出场，对于每袋不达标钼矿要赔付客户110元．现对这批钼矿检验了20袋，结果恰有两袋品位不达标．
①若剩余钼矿不再做检验，以（1）中确定的作为p的值．这批钼矿的检验成本与赔偿费用的和记作，求；
②以①中检验成本与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对余下的所有钼矿进行检验？
60．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）已知函数，．
(1)求的单调区间；
(2)设，若存在，使得，求证：
①；
②．
61．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）设等差数列的前项和为，已知，，等比数列满足，．
(1)求；
(2)设，求证：．
62．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，．
(1)求角的大小；
(2)求线段的长．
63．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，在四棱锥中，，，，，，．E为PD的中点．

(1)求证：平面PAB；
(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：点D到平面PAB的距离．
条件①：四棱锥；
条件②：直线PB与平面ABCD所成的角正弦值为．
64．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点，，直线PA与直线PB的斜率乘积为，点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)分别过，做两条斜率存在的直线分别交于C，D两点和E，F两点，且，求直线CD的斜率与直线EF的斜率之积．
65．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）新冠疫情过后，国内相继爆发了甲型H1N1流感病毒（甲流）和诺如病毒感染潮，为了了解感染病毒类型与年龄的关系，某市疾控中心随机抽取了部分感染者进行调查．据统计，甲流患者数是诺如病毒感染者人数的2倍，在诺如病毒感染者中60岁以上患者占，在甲流患者中60岁以上的人数是其他人数的一半．
(1)若根据卡方检验，有超过99．5%的把握认为“感染病毒的类型与年龄有关”，则抽取的诺如病毒感染者至少有多少人？
(2)研究发现，针对以上两种病毒比较有效的药物是奥司他韦和抗病毒口服液，并且发现奥司他韦治疗以上两种病毒有效的概率是抗病毒口服液的2倍．现对两种药物进行临床试验，对抗病毒口服液共进行两轮试验，每轮试验中若连续2次有效或试验3次时，本轮试验结束；对奥司他韦先进行3次试验，若至少2次有效，则试验结束，否则再进行3次试验后方可结束，假定两种药物每次试验是否有效均互相独立，且两种药物的每次试验费用相同．请结合以上针对两种药物的临床试验方案，估计哪种药物的试验费用较低？
附：（其中n=a+b+c+d）

0.10
0.05
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

66．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知函数，．
(1)，，求的最小值；
(2)设
①证明：；
②若方程有两个不同的实数解，证明：．

参考答案：
1．C
【分析】解不等式确定集合，然后由补集定义计算．
【详解】由已知，所以．
故选：C．
2．B
【详解】
故选B
3．A
【分析】先求得圆心到直线的距离即半径，再写出圆的方程即可.
【详解】圆心直线的距离为：，
因为直线与圆相切，
所以，
所以圆的方程是，
故选：A
4．A
【分析】根据二项式定理可得展开式的通项公式，代入即可求得的系数.
【详解】展开式的通项公式为：，
令，则的系数为.
故选：A.
5．B
【解析】将两边平方，可得，又根据可得答案.
【详解】由得，化简得，
因为，所以，所以，
所以

.
故选：B
【点睛】本题考查了平方关系式，考查了三角函数的符号法则，是解题关键，属于基础题.
6．B
【分析】由抛物线的定义可知，与已知条件结合得，把点M的坐标代入抛物线方程即可得解.
【详解】由抛物线的定义可知，
∵，∴，即,
∵点在抛物线上，
解得：或（舍去）,
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线定义写出，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题.
7．B
【分析】求出内层圆锥的底面半径，有半球体积加上外层圆锥体积减去内层小圆锥体积可得．
【详解】由球的性质知内层小圆锥底面半径为，
所以充氮区空间体积为．
故选：B．
8．D
【分析】对函数求导，设切点坐标，写出切线方程，将点（2,0）代入得到，由题意存在两条切线，可得方程有两个不等实数根，由判别式大于0可得答案.
【详解】，设切点坐标为（），则切线方程为，
又切线过点（2,0），可得，整理得，
曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足
，解得或，
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查过某点的切线方程的求法和切线的条数问题，运用了转化思想，将切线的条数转化为方程的根的个数.
9．C
【分析】先求出集合，再按照交集的定义计算即可.
【详解】由题意知：，故.
故选：C.
10．B
【分析】先按照复数的运算求出，再求即可.
【详解】，故.
故选：B.
11．A
【分析】由方差、平均数、众数和中位数的定义依次判断即可.
【详解】因为原来样本平均数，新样本平均数，C错误；
原来方差为，新样本方差为，A正确；
设原样本众数为，则新样本众数为，B错误；
设原样本中位数为，则新样本中位数为，D错误.
故选：A.
12．D
【分析】先求出展开式的通项，令即得解.
【详解】的展开式中的项为，
令，解得，
所以的展开式中的常数项为.
故选：D．
13．D
【分析】直接由题目中关系式解氢离子的浓度即可.
【详解】由题意知：，整理得，解得，又，故.
故选：D.
14．C
【分析】由为奇函数可化简不等式得到，利用单调性可得自变量的大小关系.
【详解】为奇函数，，又，，
则可化为：，
在单调递增，，解得：，
的取值范围为.
故选：C.
15．A
【分析】先由直线过定点求出，再结合以及N在曲线上求出，直接计算面积即可.
【详解】易知直线过定点，即，可得，设，
则，解得或，故，
故的面积为.
故选：A.
16．D
【分析】由，，可求得，由此可得平移后的解析式，根据平移后为偶函数可构造方程，结合可求得最小值.
【详解】由图象可知：，；
，，又，；
，，解得：，；
为偶函数，，
解得：，又，
当时，.
故选：D.
17．C
【分析】通过解一元一次不等式得到集合，再结合补集的定义即可得最后结果.
【详解】由得：，
又因为，所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，补集的概念及其运算，熟练掌握全集与补集的概念是解题的关键，属于基础题.
18．B
【分析】先对复数进行除法运算，再计算模长即可得到答案.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
19．A
【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解.
【详解】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；
对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；
对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.
20．C
【分析】先根据向量减法得，再根据向量夹角余弦值的坐标公式计算即可得答案.
【详解】∵，∴．
又，∴，
∴．
又，，
∴．
故选：C.
21．A
【分析】依题意可得，再根据指数与对数的关系计算可得.
【详解】依题意可得，即，所以，
所以.
故选：A
22．B
【分析】根据两项相乘，将，用的通项特征即可由分配律求解.
【详解】由中含的项为，中含的项为，故的展开式中的项为
，故系数为，
故选：B
23．C
【分析】设，则，，所以线段的长为，根据
结合同角三角函数基本关系可计算的值，即可求解.
【详解】设，则，由题意知，
所以，
因为，所以，
即，所以，
所以，
直线与函数的图象交于点，可得，
所以，
故选：C.
24．C
【分析】作出函数的大致图象，可利用函数的对称性分组求和即可得解．
【详解】因为，关于点对称，函数，关于点对称，
作出函数与大致图象，

由图可知交点成对出现，因为两个函数都关于对称，
所以每对交点关于点对称，每对交点横坐标和为，纵坐标和为，
所以.
故选：C.
25．AC
【分析】根据近三年高考数学卷中容易题、中档题、难题分值的数据的变化可判断ABD选项的正误；计算出年的容易题与中档题的分值之和可判断C选项的正误.
【详解】对于A选项，由图可知，近三年容易题分值逐年增加，A选项正确；
对于B选项，由图可知，近三年中档题分值所占比例最高的年份是年，B选项错误；
对于C选项，由图可知，年的容易题与中档题的分值之和为，所占比例为，C选项正确；
对于D选项，由图可知，近三年难题分值先增后减，D选项错误.
故选：AC.
26．ACD
【分析】根据基本不等式结合不等式的性质判断．
【详解】因为且，
所以，当且仅当时等号成立，即的最大值为，
，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确．
故选：ACD．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
27．BC
【分析】根据“和谐函数”的定义，判断函数是否为中心对称图形即可.
【详解】A.过圆心的直线都可以将圆的周长和面积平分，所以对于任意一个圆，其“和谐函数”有无数个，故错误；
B.因为函数的定义域为R，且 ，所以是奇函数，当圆心为原点时，可以是某个圆的“和谐函数”，故正确；
C.因为正弦函数是中心对称，当圆心为对称中心时，可以同时是无数个圆的“和谐函数”，故正确；
D.只要函数的图象过圆心时，函数是“和谐函数”，故错误；
故选：BC
28．BC
【分析】画出函数的图象，然后使用换元法，令，转化为可知的范围，然后结合图象进行判断即可.
【详解】画出函数的图象，如图所示：

令，则将问题转化为方程根的个数
当时，，又
所以，所以函数在处的切线方程为
又当时，
所以方程根的个数分别为
又，则如图：

所以方程共有6个交点，所以函数有6个零点，故A错，B对
设
由图可知：，

又，所以，当且仅当取等号
又，所以
所以，故C对，D错
故选：BC
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于画出函数图象并使用等价转化的思想以及结合换元法的使用.
29．AC
【分析】先求出，由抛物线的定义即可判断A、C选项；B选项由坐标即可判断；D选项易知点M不在直线上即可判断.
【详解】由题意知：，解得，即，焦点，准线.
由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于到准线的距离为，故A正确；
由焦点知直线MF不与x轴垂直，故B错误；

如图，设中点为，过作准线的垂线，垂足为，易知，
故以弦MN为直径的圆与C的准线相切，C正确；
由知M不在直线上，故D错误.
故选：AC.
30．BCD
【分析】根据不等式的性质判断ABC，利用对数函数的性质，基本不等式判断D．也可举反例说明．
【详解】时，，A错误；
，则，
，所以，B正确；
，若，则，则成立，
若，则显然成立，
若，则，，所以，综上成立，C正确；
，且，因为是增函数，所以且，
，当且仅当，即时等号成立．D正确．
故选：BCD．
31．BC
【分析】根据线面平行的判定定理或面面平行的性质定理，即可得解．
【详解】解：对于A，如图所示，点，为正方体的两个顶点，则，
所以、、、四点共面，
同理可证，即、、、四点共面，
平面，故A错误；

对于B，如图所示，为正方体的一个顶点，则，，
平面，平面，所以平面，同理可证平面
又，、平面，
平面平面，
又平面，
平面，故B正确；

选项C，如图所示，为正方体的一个顶点，则平面平面，
平面，
平面，故C正确；

对于D，连接，则，
，，，四点共面，
平面，与平面相矛盾，故D错误．

故选：BC．
32．AD
【分析】当时和时分别求导求出切线，的方程，再求出，依次计算出，构造函数求导确定单调性，进而求得范围.
【详解】当时，，，则，，故，令，解得，令，解得；当时，，，则，，故，令，解得，令，解得.由两条切线互相垂直可得，即，可得.
，令，，，故在上单减，，
故，A正确；
，令，，故在上单减，，故，B错误；
，令，，由可得，故在上单增，，故，C错误；
，令，，故在上单减，，故，D正确.
故选：AD.
33．ABD
【分析】利用面面平行的性质及线面垂直的性质，面面垂直的性质即可求解.
【详解】对于A，由，，得，又因为，所以，故A正确；
对于B，由，，得，因为，所以 ，故B正确；
对于C，由，，，得与异面或平行，故C错误；
对于D，由，，得或，又因为，所以，故D正确；
故选：ABD.
34．AD
【分析】根据弯道减速，直道可加速，再根据图像逐一判断即可.
【详解】由图1知，在2.6km到2.8km之间，图象上升，故在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；
在整个跑道上，高速行驶时最长为(1.8，2.4) 之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6km，故B不正确；
最长直线路程应在1.4到1.8之间开始，故C不正确；
由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确；
故选：AD.
35．ABC
【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率判断A、B正误；应用条件概率公式求C、D描述中对应的概率，判断正误.
【详解】A：由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，正确；
B：由题设，任取一个零件是次品的概率为，正确；
C：由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为，正确；
D：由条件概率，取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为，错误.
故选：ABC
36．ABD
【分析】利用赋值法以及即可求解A,根据，以及，利用不等式即可求解BC，根据赋值即可判断D.
【详解】对于A，令，则有条件②可得，故，
令，则 ，故A正确，
对于B，令，则，
当时，，所以
故，因此，故B正确，
对于C,由B可知，所以，所以，
当且仅当（取右边等号）（取左边等号）时，等号成立，
因此有最大值为，故C错误，
对于D，令得，故D正确，
故选：ABD
37．，(其他正确答案也可)
【分析】利用终边相同的角的定义求解.
【详解】设是与终边相同的角，
则，
令，得，
令，得，
故答案为：，(其他正确答案也可)
38．
【分析】根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】基本事件的总数为，
小李选择康庄且小王不选择夹山的事件数为，
所以所求概率为
故答案为：
39．
【分析】凑配出等比数列求出通项，可得，再利用递增数列的定义求解．
【详解】因为，得，是等比数列，
所以，，
，，
是递增数列，
时，，，所以，，
又，所以，，
综上，．
故答案为：．
【点睛】易错点睛：本题考查数列的单调性，根据单调性的定义解题是基本方法．求解时要注意表达式适用的范围，题中在由已知关系式求得通项公式中是从开始的项的表达式，因此在由求参数范围时，，不包含，因此最后还有一步：，否则会出错．
40．4
【分析】先求出，再按照向量垂直的坐标公式解方程即可.
【详解】由题意知：，又，故，解得.
故答案为：4.
41．（答案不唯一）
【分析】先求出命题“，”成立的充要条件为，再按照充分性必要性判断即可.
【详解】当时，易知，又，，
显然，故是命题“，”成立的充分不必要条件.
故答案为：（答案不唯一）.
42．
【分析】令,得，用累加法求出，由此利用裂项相消求和求出的值.
【详解】令，得，所以，则
，，……，，，
所以当时，
，
又满足上式，所以
所以，
.
故答案为：.
43．8
【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可.
【详解】
如图，设的内切圆与三边分别相切于，可得，又由双曲线定义可得，则，又，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为.
又，可得，化简得，即，
即是的平分线，由于，，可得即为的内心，且半径为2，则.
故答案为：8.
【点睛】本题关键点在于先利用切线长定理求得内切圆圆心横坐标为，再由得到在的平分线上，结合的横坐标为进而得到即为内心，利用双曲线定义及面积公式即可求解.
44．
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【详解】根据对数函数单调性的性质，
函数为上的减函数,
函数的图像在上为一条连续不断的曲线,
又,,
所以函数零点所在的一个区间为.
故答案为:.
45．
【分析】由圆的方程写出圆心与半径，根据圆切线的性质知：四边形PACB的面积为2S△PAC且S△PAC＝PA·AC、PA＝，只需结合点线距离公式求PC的最小值，即可得四边形PACB的面积的最小值.
【详解】依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1,1)，半径是1，
易知PC的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋3＝0的距离即，且，
由四边形PACB的面积为2S△PAC＝2×(PA·AC)＝PA·AC＝PA＝，
∴四边形PACB的面积的最小值是．
故答案为：
46．4
【分析】根据三角形内角平分线定理、三角形内心的性质，结合平面向量线性运算的性质、双曲线的定义和离心率公式进行求解即可.
【详解】如图所示，在焦点三角形中， 处长交于点，
因为为的内心，所以有，








，
因为，
所以有，
因此的离心率为，
故答案为：

【点睛】关键点睛：运用三角形内角平分线定理、平面向量线性运算、三角形内心的性质是解题的关键.
47．
【分析】作辅助线，利用平行线的性质，确定出F点是AD的几等分点，利用平面向量的线性运算即可用表示，求得x, y进而得解；再用来表示，用平面向量的数量积即可，即可得解.
【详解】
如图，过E作交于M，
由，得，，
又D是的中点，得，，故，即，
所以
所以，故
易知
由已知得
所以

故答案为：，
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积的运算，解题的关键是利用平面向量的线性运算用表示，，考查学生的分析与转化能力，及计算能力，属于中档题.
48． /0.035
【分析】根据频率之和为1即可求解，由面积之和为0.5的位置为中位数即可列方程求解.
【详解】由频率分布直方图可知：，
设中位数为，则，
故答案为：0.035，
49．（1）；（2）．
【分析】（1）根据题中条件的特点，将余弦转化为正弦，利用正弦定理转化为关于a,b,c的式子，用余弦定理求解即可.
（2）结合以及，题目求的是面积的最大值，想到求bc的最大值，利用余弦定理及基本不等式求解.
【详解】（1）由已知得：
，
由余弦定理得：

（2）由余弦定理得：，即，
当且仅当时，等号成立

∴面积最大值为.
【点睛】
（1）观察式子的特点，对正弦、余弦定理的特点要比较熟练.
（2）注意题目的问题是面积的最大值，故联想基本不等式，余弦定理等知识点.
50．（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由可求出，然后可求出；
（2）若选①用裂项相消法求出答案，若选②用分组求和法求出答案，若选③用错位相减法求出答案.
【详解】令得，所以

当时，经验证符合上式

若选①，，
所以
若选②：




若选③，，
，
则，
两式相减得：

，
故．
51．（1）；；（2）分布列见解析；期望为．
【分析】（1）设吉利研究所出成果为A，北汽科研中心出成果为B，长城攻坚站出成果为C，则由题意可得，即可求得，进而求得吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率；
（2）的可能取值为0，1，2，3，分别计算概率，列出分布列，计算期望.
【详解】（1）设吉利研究所出成果为A，北汽科研中心出成果为B，长城攻坚站出成果为C．
若三个团队中只有长城攻坚站出成果，则，即，解得：
吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率

（2）的可能取值为0，1，2，3





所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P





【点睛】方法点睛：本题考查互斥事件､相互独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
52．（1）；（2）；（3）新多面体是七面体；证明见解析．
【分析】（1）分别求得正四面体和正八面体的体积，由新多面体体积为原正四面体体积与正八面体体积之和求解；
（2）在正八面体中，取的中点为M，连结，易得为二面角的平面角，利用余弦定理求解；
（3）由（2）可知，正八面体任何相邻面构成的二面角余弦值均为，设此角为．再求得四面体相邻面所构成的二面角的余弦值为判断.
【详解】（1）如图所示：，在正四面体中，分别取PT，QR的中点，连接QN，RN，NG，
则 ，
所以平面QNR，
所以正四面体的体积为 ，
如图所示，在正八面体中，连接AC交平面EFBH于点O，则平面EFBH，
所以 ，
所以正八面体的体积为，
因为新多面体体积为原正四面体体积与正八面体体积之和，
所以.
（2）如图，在正八面体中，取的中点为M，连结，易得为二面角的平面角．
易得，，
由余弦定理得.
（3）新多面体是七面体，证明如下：
由（2）可知，正八面体任何相邻面构成的二面角余弦值均为，设此角为．
在正四面体中，易得为二面角的平面角．
由余弦定理得，
即正四面体相邻面所构成的二面角的余弦值为，
所以，因此新多面体是七面体．
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是将判断拼接后两个几何体相邻面是否共面，转化为二面角之和是否为而得解.
53．（1）在单调递增；在单调递减；（2）．
【分析】（1）求导，分别令，求解； 单调递减，
（2）法一：设，求导，令，由导数法得到在上单调递减，且，然后分，，讨论求解；法二：由，当时，恒成立，当时，转化为恒成立，令，用导数法求其最大值即可；
【详解】（1），
令得，
解得，
令得，
解得，
在单调递增，
在单调递减，
（2）法一：设，，
设，，
所以在上单调递减，
又，
当时，，在上单调递减，
恒成立，，
当时，令，
因此在单调递增，在单调递减，
所以不合题意，舍去．
当时，在单调递增，
不合题意，舍去，
综上所述，实数的取值范围是，
方法二：由，
当时，恒成立，
当时，，
令，
，
令，
，
当时，，
单调递减，，
单调递减，
，
由洛必达法则得
，
当，，

综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；；
54．（1）；（2）存在；答案见解析．
【分析】（1）利用，椭圆经过点列出方程，解出a,b,c即可.
（2）设出直线方程为，联立椭圆方程解出点M，N的坐标，题中可得l与m关系式，求出直线AB过定点，结合图形特点得中点R满足为定值，即可求出定值及点R坐标.
【详解】（1）由题意可知，又椭圆经过点知
解得，所以；
（2）设直线方程, 与椭圆C交于
，得
,
直线，即
因此M坐标为，同理可知
由知：
化简整理得
则
整理：
若则直线，过点P不符合题意
若则直线符合题意
直线过点
于是为定值且为直角三角形且为斜边
所以中点R满足为定值

此时点R的坐标为.
【点睛】（1）注意题目条件的利用，解方程的准确性;
（2）根据直线AB的特点来确定PD为定值，以及PD的中点R满足题目要求，要注意应用图形的几何特征.
55．(1)
(2)，

【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式直接构造方程组求得，由此可得；
（2）利用等差数列求和公式可求得，利用的二次函数性可求得最大值.
（1）
设等差数列的公差为，
则，解得：，.
（2）
由（1）得：，
则当时，.
56．(1)
(2)

【分析】（1）先在中由余弦定理求出，再在中由余弦定理求即可；
（2）先求出，再由正弦定理求得，将转化为，借助两角差的正弦公式即可求解.
(1)
根据题意得，，
在中，，
所以，
在中，，
整理得：，
解得或（舍）；
(2)
在中，，
，
，即，，
因为为锐角，所以，


.
57．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）以EA与FC交点建立空间直角坐标系，求出，，由即可证明；
（2）直接求出面的法向量和面的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值，再通过平方关系计算正弦值即可.
(1)
连接EA与FC交于O点，过O做垂直于底面的直线OZ，如图所示，以OA，OC，OZ所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系：

，，，，
，，
∵，
所以，；
(2)
，，，
设面的法向量为，
则由，即
解得：，，令，则
设面的法向量为，
则由，即
解得：，，令，则
，设二面角的平面角为，
则，．
58．(1)
(2)

【分析】（1）选择①：直接由解出，再利用点即可求出；选择②：由离心率得，再利用点即可求出；
（2）先由直线与圆相切求得，再联立直线和椭圆，表示出面积，令，结合的范围即可求得面积的取值范围．
(1)
选择①：
由题意知：，∵，解得，
又∵，解得，∴椭圆C的方程为：；
选择②：
∵，∴
又，由两式解得，∴椭圆C的方程为：；
(2)
圆O的圆心坐标为，半径，由直线与圆相切，得，故，
由消去y，得．
由题意可知，
所以．
设点，，则，，
所以

．
令，则，，
所以
59．(1)
(2)①2180；②应该对余下的钼矿都进行检验

【分析】（1）先求出2袋不达标的概率，再求导确定单调性，进而求得最大值点；
（2）①先判断出不达标的袋数服从二项分布，利用二项分布期望公式求得，进而求得；②直接由期望比较，作出决策即可.
【详解】（1）20袋钼矿中恰有2件不达标的概率为．
因此
令；得，当时，，单调递增，时，，单调递减，
所以的最大值点．
（2）由（1）知，．
①令表示余下的180袋钼矿中不达标的袋数，依据题意可知，故，
又，即，
所以．
②若对余下的钼矿进行检验，则所有检验成本为2000元．由于．应该对余下的钼矿都进行检验．
60．(1)若，在上单调递增；若，在上单调递减，在单调递增；
(2)①证明见解析；②证明见解析

【分析】（1）直接求导，分和讨论导数的正负，进而求得单调区间；
（2）①直接说明时函数单增，不满足条件即可；②先证得时，由得，令构造函数证得，进而证得，即.
【详解】（1）由题意，定义域为，，
若，则，在上单调递增；
若，则令，得，
，，单调递减；
，，单调递增，
综上：若，在上单调递增；
若，在上单调递减，在单调递增；
（2），，
①若，则由，得，在上单调递增，
故不存在，使得，所以；
②令，则，故，即，因为，
即，
所以，
又，所以，
下面证明：，即，
令，则原不等式化为，
证即可，
设，于是，
在上单调递减，所以，
所以成立，即成立，
所以，故.
【点睛】本题关键点在于先通过时，结合放缩得到，
再令构造函数证得，即可证得，从而证得结论.
61．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等差中项性质，计算得，
（2）根据等比数列的通项公式和等比中项性质，计算得，错位相减法证明
【详解】（1）由题意得 解得，，所以，
从而，
（2）由题意得，解得：，，，所以
又，令，
有

两式相减得，
整理得，得证.
62．(1)
(2)．

【分析】（1）由两角和与差公式化简求角即可；
（2）利用面积公式列方程解出线段的长．
【详解】（1）在中，由已知，可得：
则有：，
即
又，即有，
而，所以．
（2）在中，由（1）知，因为为角的角平分线，
则有，
由得：

解得，
所以线段的长为．
63．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）设为中点，连接、，由已知可证四边形是平行四边形，
利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）若选择条件①，设，则由求得，通过建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，利用空间中点到面的距离公式即可求解；
若选择条件②，设，则由直线PB与平面ABCD所成的角正弦值为求得，通过建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，利用空间中点到面的距离公式即可求解．
【详解】（1）设为中点，连接、，因为为的中点，
所以是三角形的中位线，所以且
又因为，，，所以，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；

（2）过作于，连接．
因为，又因为，
且，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
因为，所以为中点，
又因为平面平面，所以平面．
又平面，所以，
如图建立空间直角坐标系．

设，由题意得，，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则
，
令，则，所以．
选择条件①
由，解得，
设到平面的距离为，
则；
选择条件②
连接，则是在平面内的射影，
所以直线与平面所成的角为，
在Rt中，，
在中，，
，所以，所以，
设到平面的距离为，
所以．
64．(1)
(2)

【分析】（1）设，利用题意得到，化简即可；
（2）设直线为：，直线为：，分别与联立，利用韦达定理和弦长公式可求得，代入即可求解
【详解】（1）设，因为直线PA与直线PB的斜率乘积为，
所以，
整理得点的轨迹为为
（2）设直线为：①
设直线为：②
将①与曲线联立得：，
设，，，，
所以，
将②与曲线联立得：，
设，，，，
所以，
所以，
解得，所以
65．(1)27人
(2)奥司他韦试试验平均花费较低．

【分析】（1）根据超过99．5%的把握认为“感染病毒的类型与年龄有关”可得卡方的观测值满足 ，列不等式即可求解.
（2）分别求解抗病毒口服液试验总花费和奥司他韦试验总花费的数学期望，即可比较大小进行求解.
【详解】（1）设感染诺如病毒的患者为人，则感染甲流的患者为人，
感染两种病毒的60岁以上的患者人数均为，由题意必有，
而，所以，
又因为为整数，故抽取的诺如病毒感染者至少有27人．
（2）设抗病毒口服液治疗有效的概率为，每次试验花费为，
则奥司他韦治疗有效的概率为，故，
设抗病毒口服液试验总花费为X，X的可能取值为4m，5m，6m，
，
，

故
设奥司他韦试验总花费为Y，Y的可能取值为3m，6m，
，
，
所以，
由所以，
所以，所以奥司他韦试试验平均花费较低．
66．(1)0
(2)①证明见解析；②证明见解析

【分析】（1）求导函数得：，证得，在单调递增，；
（2）①构造函数即证：
求导分析得：在单调递减，在单调递增
所以，从而 得证;
②研究函数的图象，分析得在上单调递减，在上单调递增，不妨设，，，根据①的结论（当且仅当时取等号），求导证明（当且仅当时取等号），设直线与直线，交点的横坐标分别为，．
则，最后对数平均不等式证明求解.
【详解】（1）

令，
在单调递增，则，即
所以，在单调递增，
所以h（x）的最小值为0
（2）①要证明，可令，即证：
于是
易知，当时，当时，
当时，，当时
所以在单调递减，在单调递增
所以，则
②函数，，
所以在上单调递减，在上单调递增
不妨设，，，
由①知，，当且仅当时取等号，
求导证明令，
易知，当时，当时，
所以在单调递减，在单调递增
所以，即
故当且仅当时取等号，
设直线与直线，交点的横坐标分别为，．
则
①
对数平均不等式证明：（）

，设
令

所以函数在单调递增；；
所以，故有：（）恒成立；
由对数平均不等式得，
所以②
综合①②可知：．