辽宁省沈阳市三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编

这是一份辽宁省沈阳市三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编，共58页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

辽宁省沈阳市三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编

一、单选题
1．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知集合，集合，则（    ）
A． B．
C． D．
2．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知复数z满足，则（    ）
A．2 B．3 C． D．
3．（2023·辽宁沈阳·统考一模）命题p：直线与抛物线有且仅有一个公共点，命题q：直线与抛物线相切，则命题p是命题q的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
4．（2023·辽宁沈阳·统考一模）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（    ）

A． B． C． D．
5．（2023·辽宁沈阳·统考一模）如图是函数图像的一部分，设函数，，则可以表示为（    ）

A． B．
C． D．
6．（2023·辽宁沈阳·统考一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
7．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
8．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知椭圆的右焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交该椭圆上半部分于点P，以FP，FO（O为坐标原点）为邻边作平行四边形，点Q恰好也在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
9．（2022·辽宁沈阳·统考一模）集合，，则（    ）
A． B． C． D．
10．（2022·辽宁沈阳·统考一模）已知为虚数单位，若复数，则（    ）
A．1 B．2 C． D．
11．（2022·辽宁沈阳·统考一模）关于双曲线与，下列说法中错误的是（    ）
A．它们的焦距相等 B．它们的顶点相同
C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同
12．（2022·辽宁沈阳·统考一模）夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（    ）
A． B． C． D．
13．（2022·辽宁沈阳·统考一模）已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，则的前n项和（    ）
A． B． C． D．
14．（2022·辽宁沈阳·统考一模）如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（    ）

A． B．6 C． D．4
15．（2022·辽宁沈阳·统考一模）已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
16．（2022·辽宁沈阳·统考一模）若函数，则是在有两个不同零点的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
17．（2021·辽宁沈阳·统考一模）已知集合，（    ）
A． B． C． D．
18．（2021·辽宁沈阳·统考一模）已知复数，则（    ）
A．2 B． C．4 D．6
19．（2021·辽宁沈阳·统考一模）已知，则（    ）
A． B． C． D．
20．（2021·辽宁沈阳·统考一模）函数的部分图象大致是（    ）
A． B．
C． D．
21．（2021·辽宁沈阳·统考一模）构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（    ）

A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5
B．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分
C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高
D．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大
22．（2021·辽宁沈阳·统考一模）已知抛物线的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若的中点到y轴的距离为3，则直线的斜率为（    ）
A． B． C．2 D．4
23．（2021·辽宁沈阳·统考一模）设是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点在C的左支上，且，则的面积为（    ）
A．8 B． C．4 D．
24．（2021·辽宁沈阳·统考一模）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、鲍、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、鲍、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、鲍、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“鲍”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（ ）
A．960 B．1024 C．1296 D．2021

二、多选题
25．（2023·辽宁沈阳·统考一模）某产品的质量指标值服从正态分布，则下列结论正确的是（    ）
A．越大，则产品的质量指标值落在内的概率越大
B．该产品的质量指标值大于的概率为
C．该产品的质量指标值大于的概率与小于的概率相等
D．该产品的质量指标值落在内的概率与落在内的概率相等
26．（2023·辽宁沈阳·统考一模）是各项均为正数的等差数列，其公差，是等比数列，若，，则（    ）
A． B．
C． D．
27．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（    ）
A．切线长的最小值为
B．四边形面积的最小值为
C．若是圆的一条直径，则的最小值为
D．直线恒过定点
28．（2023·辽宁沈阳·统考一模）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论中正确的为（    ）
A．在上是增函数
B．的最小正周期为
C．的最大值为
D．若，则．
29．（2022·辽宁沈阳·统考一模）某团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示，
年龄
28
29
30
32
36
40
45
人数
1
3
3
5
4
3
1
有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（    ）
A．众数是32 B．众数是5 C．极差是17 D．25%分位数是30
30．（2022·辽宁沈阳·统考一模）已知函数，则（    ）
A．的最小值为0
B．的最小正周期为
C．的图象关于点中心对称
D．的图象关于直线轴对称
31．（2022·辽宁沈阳·统考一模）已知圆，直线，为直线上一动点，过点作圆的两条切线为切点，则（    ）
A．点到圆心的最小距离为 B．线段长度的最小值为
C．的最小值为 D．存在点，使得的面积为
32．（2022·辽宁沈阳·统考一模）若，，则下列不等关系正确的有（    ）
A． B． C． D．
33．（2021·辽宁沈阳·统考一模）函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，对于函数，下列说法正确的是（    ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增
D．的图象关于点对称
34．（2021·辽宁沈阳·统考一模）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近，若取，侧棱长为米，则（    ）

A．正四棱锥的底面边长为6米 B．正四棱锥的底面边长为3米
C．正四棱锥的侧面积为平方米 D．正四棱锥的侧面积为平方米
35．（2021·辽宁沈阳·统考一模）新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容（    ）
A．可能是家常菜青椒土豆丝 B．可能是川菜干烧大虾
C．可能是烹制西式点心 D．可能是烹制中式面食
36．（2021·辽宁沈阳·统考一模）已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（    ）
A． B． C．0 D．2

三、填空题
37．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知向量，，且，则等于______．
38．（2023·辽宁沈阳·统考一模）若，则被5除的余数是______．
39．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知实数x，y满足，则的最大值为______．
40．（2022·辽宁沈阳·统考一模）函数的最大值为______．
41．（2022·辽宁沈阳·统考一模）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______．（用数字作答）
42．（2022·辽宁沈阳·统考一模）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．
43．（2022·辽宁沈阳·统考一模）已知三棱柱中，，，，，则四面体的体积为______．
44．（2021·辽宁沈阳·统考一模）已知平面向量，非零向量满足，则__________．（答案不唯一，写出满足条件的一个向量坐标即可）
45．（2021·辽宁沈阳·统考一模）已知，则的最小值为__________．
46．（2021·辽宁沈阳·统考一模）已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为___________．
47．（2021·辽宁沈阳·统考一模）在正四棱锥中，，若四棱锥的体积为，则该四棱锥外接球的体积为_________．

四、双空题
48．（2023·辽宁沈阳·统考一模）三棱锥中，，，点E为CD中点，的面积为，则AB与平面BCD所成角的正弦值为______，此三棱锥外接球的体积为______．

五、解答题
49．（2023·辽宁沈阳·统考一模）设，向量，，．
(1)令，求证：数列为等差数列；
(2)求证：．
50．（2023·辽宁沈阳·统考一模）在中，角、、的对边分别为、、．已知．
(1)求角的大小；
(2)给出以下三个条件：①，；②；③．
若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）的角平分线交于点，求的长．
51．（2023·辽宁沈阳·统考一模）如图，在矩形ABCD中，，E为边CD上的点，，以BE为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且使二面角为直二面角，三棱锥的体积为．

(1)求证：平面平面PAE；
(2)求二面角的余弦值．
52．（2023·辽宁沈阳·统考一模）2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金．已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为，黄政/孙艺赢的概率为，且每场比赛相互独立．
(1)若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率；
(2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？
(3)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X的分布列．
53．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知双曲线的离心率为2，右焦点F到渐近线的距离为，过右焦点F作斜率为正的直线l交双曲线的右支于A，B两点，交两条渐近线于C，D两点，点A，C在第一象限，O为坐标原点．
(1)求双曲线E的方程；
(2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求的取值范围．
54．（辽宁省沈阳市2023届高三下学期教学质量监测（一）数学试题）已知，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的值．
55．（2022·辽宁沈阳·统考一模）从①，②这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答．
已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．（填写①或②，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答．）
(1)求B；
(2)若，的面积为，求a．
56．（2022·辽宁沈阳·统考一模）等差数列和等比数列满足，，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知：①；②，使．设S为数列中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S的值．
57．（2022·辽宁沈阳·统考一模）现有一种需要两人参与的棋类游戏，规定在双方对局时，二人交替行棋．一部分该棋类游戏参与者认为，在对局中“先手”（即：先走第一步棋）具有优势，容易赢棋，而“后手”（即：对方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋）不具有优势，容易输棋．
(1)对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，分数据如下表所示．请将表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关？

先手局
后手局
合计
赢棋
45


输棋


45
合计

25
100
(2)现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制（即：比赛中任何一方赢得两局就获胜，同时比赛结束，比赛至多进行三局）．在甲先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为；在乙先手局中，甲赢棋的概率为，乙赢棋的概率为．若比赛中“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设比赛共进行X局，求X的分布列和数学期望．
附：，．

0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635

58．（2022·辽宁沈阳·统考一模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，．

(1)求证：平面PAC；
(2)求二面角的余弦值．
59．（2022·辽宁沈阳·统考一模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为，点A是椭圆的左顶点，点E坐标为，经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l斜率存在且不为0．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AM，AN分别交直线于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG的斜率分别为k，，求证：为定值．
60．（2022·辽宁沈阳·统考一模）已知．
(1)求证：对于，恒成立；
(2)若对于，有恒成立，求实数a的取值范围．
61．（2021·辽宁沈阳·统考一模）已知各项均为正数的等差数列的公差为4，其前n项和为且为的等比中项
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
62．（2021·辽宁沈阳·统考一模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
（1）求的值；
（2）若点D为边的中点，，求的值．
63．（2021·辽宁沈阳·统考一模）为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、锦、铭等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图

（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；
（2）规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3．从（1）中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X，求X的数学期望．
64．（2021·辽宁沈阳·统考一模）如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，D是的中点．

（1）证明：平面．
（2）若，求二面角的余弦值
65．（2021·辽宁沈阳·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过的直线l与C交于A，B两点，若，求．
66．（2021·辽宁沈阳·统考一模）已知函数
（1）若在上是减函数，求实数m的取值范围；
（2）当时，若对任意的，恒成立，求实数n的取值范围．

参考答案：
1．C
【分析】根据不等式求集合，进而根据交集运算求解.
【详解】∵，，
∴.
故选：C.
2．D
【分析】根据复数的四则运算求复数z，进而可求模长.
【详解】∵，则，
∴.
故选：D.
3．C
【分析】由充分必要条件的概念结合抛物线的性质可得结果．
【详解】∵抛物线的对称轴为轴，
∴一条直线与抛物线有且仅有一个公共点，则该直线与抛物线相切或者该直线与轴垂直，
∵直线存在斜率，与轴不垂直，
∴“直线与抛物线有且仅有一个公共点”等价于“直线与抛物线相切”，则命题p是命题q的充要条件.
故选：C.
4．B
【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.
【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为，该正面体共个顶点，
因此，该正八面体的总曲率为.
故选：B.
5．D
【分析】根据图象特征取特值分析排除.
【详解】由图象可得：
，但，故B不符合；
，但，故A不符合；
，但，故C不符合；
故选：D.
6．C
【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.
【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.
故选：C.
7．A
【分析】构建，求导判断单调性和最值可以的大小关系，构建，求导判断单调性可以判断的大小关系，进而可得结果.
【详解】构建，则，
令，则；令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，
可得，即，
构建，则，
当时，恒成立，
故在上单调递增，则，
可得在上恒成立，
则，即，
故.
故选：A.
8．B
【分析】设出点P的坐标，由给定条件及椭圆的对称性可得点Q的坐标，再借助斜率坐标公式求出点P的坐标即可求解作答.
【详解】设点，，中，，而点P，Q均在椭圆上，由椭圆对称性得，

令椭圆半焦距为c，，由得：，解得，
而，因此，即，又，则，
整理得，而，则有，解得，
所以该椭圆的离心率为.
故选：B
【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见求法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
9．C
【分析】利用交集的定义直接求解
【详解】因为，，
所以，
故选：C
10．D
【分析】根据复数的除法运算，化简可得.由复数模的定义即可求得.
【详解】复数，
则由复数除法运算化简可得


，
所以由复数模的定义可得，
故选:D.
【点睛】本题考查了复数的化简与除法运算,复数模的定义及求法,属于基础题.
11．B
【分析】分别求出双曲线，的焦距、顶点坐标、离心率、渐近线，即可得到结果.
【详解】由，可得，其焦距为，顶点坐标为，离心率为，渐近线方程为；
由，可得，其焦距为，顶点坐标为，离心率为，渐近线方程为；
所以双曲线与的顶点坐标不同.
故选: B.
12．C
【分析】记事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨，根据条件概率的公式计算即可得出结果.
【详解】记事件A为甲地下雨，事件B为乙地下雨，

在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为.
故选：C
13．B
【分析】根据等差数列的通项公式和等比中项的性质求出首项，根据等差数列求和公式即可求解.
【详解】设等差数列公差d＝2，
由，，成等比数列得，，即，解得，∴n×0＋＝.
故选：B.
14．B
【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】解：如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，，
因为，，
所以，
所以，，
所以，
所以，
所以当，即时，的最小值为.
故选：B

15．A
【分析】利用对数函数的性质可知，，又，由此即可得到结果.
【详解】因为，所以；
因为，
所以.
故选:A.
16．A
【分析】将问题转化为，令，利用导数讨论的单调性，求出，由在有2个不同零点的充要条件为，从而作出判断.
【详解】，令，
则，令，
，令，
得，解得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，所以，
在有2个不同零点的充要条件为函数与图象在第一象限有2个交点，
所以，即有2个零点的充要条件为，
又是的充分不必要条件，
所以“”是“有2个零点在”的充分而不必要条件，
故选：A
17．A
【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合，再利用集合的交补运算求解即可．
【详解】因为，
，
又，
所以.
故选：A.
18．D
【分析】根据复数代数形式的乘法运算计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以，所以
所以．
故选：D
19．B
【分析】运用诱导公式及齐次化即可或解.
【详解】由，得，所以，
从而
故选：B
20．D
【分析】通过函数的定义域判断选项C，通过函数的奇偶性判断选项B，当时，通过函数的正负判断选项A，即可得出结果.
【详解】因为，
所以的定义域为，
则，故排除C；
而，
所以为奇函数，
其图象关于原点对称，故排除B；
当时，，，所以排除A．
故选：D．
21．C
【分析】利用极差的概念，平均数的概念以及根据统计图表的相关知识判断选项即可.
【详解】对于A，高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，
所以极差为，A错误；
对于B，两班的德育分相等，B错误；
对于C，高三（1）班的平均数为，
（2）班的平均数为，故C正确；
对于D，两班的体育分相差，
而两班的劳育得分相差， D错误，
故选：C．
22．B
【分析】由的中点到y轴的距离为3可求得，得出点坐标，即可求出斜率.
【详解】的中点到y轴的距离为3，
，即，解得，
代入抛物线方程可得，
因为F点的坐标为，所以直线的斜率为．
故选：B.
23．A
【分析】根据已知条件可以求出，由双曲线的可得点在以为直径的圆上，利用时直角三角形，利用勾股定理以及双曲线的定义即可求出，再由三角形的面积公式即可求解.
【详解】由，
不妨设，，
所以，所以点在以为直径的圆上，
即是以为直角顶点的直角三角形，
故，即．
又，
所以，
解得：，
所以．
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件分析出是直角三角形，再利用勾股定理和双曲线的定义求出的值.
24．C
【分析】排课可分为以下两大类：（1）“丝”被选中，（2）“丝”不被选中，结合分类计数原理，即可求解.
【详解】由题意，排课可分为以下两大类：
（1）“丝”被选中，不同的方法总数为种；
（2）“丝”不被选中，不同的方法总数为种．
故共有种．
故选：C
25．BC
【分析】利用与正态密度曲线的关系可判断A选项；利用正态密度曲线的对称性可判断BCD选项.
【详解】设随机变量.
对于A选项，越大，则产品的质量指标值落在内的概率越小，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，由正态密度函数的对称性可知，C对；
对于D选项，
，
所以，，D错.
故选：BC.
26．AD
【分析】对于函数的零点为，分类讨论结合导数分析可得当时，，当时，，即可判断结果.
【详解】由题意可设：等比数列的公比为，
由，，可得，
则，
构建，即，
若，，则，即为函数的零点，
当时，则在上单调递减，
故在内至多有一个零点，不合题意；
当时，则，
∵，则在上单调递增，故在上至多有一个零点，
当在内无零点，则在上恒成立，
故在上单调递增，则在内至多有一个零点，不合题意；
当在内有零点，设为，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，且，
可得当时，，当时，，
故，即，，
A、D正确，B、C错误.
故选：AD.
27．ABD
【分析】利用勾股定理可求得切线长的最小值，可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质以及的最小值，可判断C选项；设点，求出直线的方程，可求得直线恒过定点的坐标，可判断D选项.
【详解】圆心为，圆的半径为，由圆的几何性质可知，，.
对于A选项，，
当时，取最小值，且，
所以，，A对；
对于B选项，由切线长定理可知，，，，
所以，，所以，，B对；
对于C选项，易知为的中点，
，C错；
对于D选项，设点，则，
线段的中点为，，
所以，以为直径的圆的方程为，
即圆的方程为，
将圆的方程与圆的方程作差可得，
即，故直线的方程为，
变形可得.
由可得，所以，直线恒过定点，D对.
故选：ABD.
28．ACD
【分析】由在上单调性判断A；根据周期的定义判断B；借助导数求出f(x)在周期长的区间上的最大值判断C；由f(x)在周期长的区间上的最大最小值判断D作答.
【详解】对A：∵，则，可得在上是增函数，
∴在上是增函数，A正确；
对B：∵，
∴的最小正周期不是，B错误；
对C：，则为奇函数，
的最小正周期分别为，故的最小正周期为
∵，
当时，令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，则在上的最大值为，
由为奇函数可得：在上的最小值为，
由周期函数可得：的最大值为，最小值为，C正确；
对D：若，不妨设为最大值点，为最小值点，
则，故，
可得当时，取到最小值，D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：根据正弦函数的周期性和奇偶性分析的周期性和奇偶性，这与我们在处理问题时，只需分析在上单调性和最值即可.
29．ACD
【分析】根据人数最多确定众数；最大值减去最小值为极差；利用分位数的定义求解25%分位数.
【详解】年龄为32的有5人，故众数是32，A正确，B错误；
45-28=17，极差为17，C正确；
因为，所以，故25%分位数是30，D正确.
故选：ACD
30．BD
【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后逐个分析判断
【详解】


，
对于A，当时，取得最小值，所以A错误，
对于B，的最小正周期为，所以B正确，
对于C，由，得，所以的图象的对称中心为，所以C错误，
对于D，由，得，所以的图象的对称轴为直线，当时，，所以的图象关于直线轴对称，所以D正确，
故选：BD
31．ACD
【分析】根据直线与圆的位置关系，可知当与直线垂直时，点到圆心的距离最小，根据点到直线的距离即可判断A是否正确；在直角三角形中，，在结合选项A，即可判断B是否正确；设，在直角三角形中，求出，根据二倍角公式可得，再根据数量积公式可得，结合对勾函数的性质，即可求出的最小值，进而判断C是否正确；根据题意可求当且仅当与直线垂直时弦长度的最小值，此时的面积最小，最小值为，由此即可判断D是否正确.
【详解】要使得点到圆心的最小距离，即与直线垂直时，即到直线的距离，即，故A正确；

由图可知，在直角三角形中，，要使得线段长度的最小，则取最小值，

由选项A可知，长度的最小值为，故B错误；
设，
又，
又在直角三角形中，，
所以，
所以

令
又，所以，又函数，在区间上单调递增，
所以，即的最小值为，故C正确；
圆的圆心，半径，
又点到直线的距离，即；
由切线长定理知，直线垂直平分线段，得，
当且仅当与直线垂直时取“”，即弦长度的最小值为，
此时，设的中点为，

则，所以，
所以的面积的最小值为：，
又，所以存在点P，使得的面积为，故D正确.
故选：ACD.
32．ABD
【分析】由，，得，则，然后逐个分析判断即可
【详解】由，，得，所以，
对于A，，所以A正确
对于B，因为，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以C错误，
对于D，因为，
所以，
由于，且，因为，所以等号不成立，所以，
所以，
所以，所以D正确，
故选：ABD
33．ABD
【分析】先化简得出，求出变化后得解析式，即，然后根据正弦函数的性质分别判断每个选项的正误.
【详解】对于选项A，因为，其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，所以的最小正周期为,故A正确；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C,当时，，则在区间上单调递增是不正确的,故C错误；
对于选项D, ，函数的图象关于点对称，故D正确,  
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是先化简得出，再求出.
34．AC
【分析】利用已知条件画出图像，设O为正方形的中心，为的中点，设底面边长为，利用线面角的定义得出，根据已知条件得到各边的长，进而求出正四棱锥的侧面积即可.
【详解】
如图，在正四棱锥中，
O为正方形的中心，为的中点，
则，
设底面边长为．
因为，
所以．
在中，，
所以，底面边长为6米，
平方米．
故选：AC.
35．BD
【分析】根据合情推理，分别假设小华选择的烹饪选修课，判断甲、乙、丙的说法即可得出选项.
【详解】若小华选择的是家常菜青椒土豆丝，
则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足条件，排除；
若小华选择的是川菜干烧大虾，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足条件；
若小华选择的是烹制西式点心，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足条件，排除；
若小华选择的是烹制中式面食，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足条件．
故小华选择的可能是川菜干烧大虾或者烹制中式面食，
所以选：BD．
36．BC
【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到，代入，令，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.
【详解】因为的两根为，
所以，
从而．
令，
则，．
因为，
所以，
所以在上恒成立，
从而在上单调递增．
又，
所以，
即的取值范围是，
故选：BC．
【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数 ，利用导数求取值范围是解决本题的关键.
37．
【分析】根据向量平行的坐标表示求得，再根据两角差的正切公式运算求解.
【详解】∵，则，则，可得，
∴.
故答案为：.
38．4
【分析】分别取，两式相加可求得，进而根据二项式定理展开，判断被5除的余数.
【详解】由题知，时，①，
时，②，
由①＋②得，，
故，
所以被5除的余数是4.
故答案为：4.
39．
【分析】由得，令，可解得，代入，结合三角函数的性质求得答案.
【详解】由得，
令，可解得，则，当时等号成立．
故的最大值为.
故答案为：.
40．/1.5
【分析】利用余弦的二倍角公式可得，再令，可知函数等价于，利用二次函数的性质即可求出结果.
【详解】因为，所以，
令，
所以函数等价于，
又，
当时，，即函数的最大值为.
故答案为：.
41．-192
【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和可得，解出n，结合通项公式计算即可求出的系数.
【详解】由题意知，
二项式系数之和，
所以
所以，
所求的系数为.
故答案为：-192
42．/0.5
【分析】用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，由题可知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式即得.
【详解】如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，
B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，
即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.
故答案为：
43．/
【分析】利用题干条件证明出全等，作出辅助线，证明出线面垂直，即高线，利用余弦定理和勾股定理求出高线，进而利用体积公式求出答案.
【详解】取BC中点D，连接AD，，过点作⊥AD于点E，因为，，，所以，，故，所以，因为，所以BC⊥平面，因为平面，所以BC⊥，因为，所以⊥平面ABC，由余弦定理得：，所以，因为，由勾股定理逆定理可得：，由勾股定理得：，所以，所以，因为，所以，所以，故，所以点B到底面的距离为，，则四面体的体积为.

故答案为：
44．
【分析】设，根据，代入公式，即可求得满足题意的答案.
【详解】设，因为，所以，可取．
故答案为：
45．16
【分析】根据题意由展开利用基本不等式可求解.
【详解】因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为16.
故答案为：16.
46．3
【分析】根据极限形式和求导公式得，进而得，计算得解.
【详解】由，可得．
因为，所以，即，则，
所以，．
故答案为：3.
47．
【分析】首先作平面，垂足为H．连接，得到，，从而，根据四棱锥的体积为，得到，再设出外接球的球心，得到方程，解方程再求外接球体积即可.
【详解】如图所示：

作平面，垂足为H．连接，则H为的中点．
设，则，，从而，故四棱锥的体积为，解得．
由题意可知正四棱锥外接球的球心O在上，连接．
设正四棱锥外接球的半径为R，
则，即
解得，故该四棱锥外接球的体积为．
故答案为：
48． / /
【分析】设平面，垂足为，可证得在的平分线上，易知AB与平面BCD所成角即为，，从而可求得，利用三角形面积公式可求得，结合已知条件与余弦定理，勾股定理可证得，从而为外接球直径，利用球的体积计算即可．
【详解】设平面，垂足为，如图，

过作于点，过作于，连接，
由平面，平面，得，
又，平面，平面，
平面，得，同理，
从而均为直角三角形，
∵，，
∴，则在的平分线上，易知AB与平面BCD所成角即为．
∵，
∴，
又，
，即，则AB与平面BCD所成角的正弦值为，
又，解得，
又，
，
，同理，
，为外接球直径，
三棱锥外接球的体积为．
故答案为：，.
49．(1)证明见详解
(2)证明见详解

【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算可得，进而可得，结合等差数列的定义分析证明；
（2）利用裂项相消法分析证明.
【详解】（1）由题意可得：，
则，可得，
故数列是以首项，公差的等差数列.
（2）由（1）可得：，
则，
∵，故.
50．(1)
(2)（i）；（ii）.

【分析】（1）由已知条件可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）由以及①或②或③解三角形，可得出正确的条件.
（i）求出的值，利用正弦定理可求得的值；（ii）由结合三角形的面积公式可求得的长.
【详解】（1）解：因为，若，则，不满足，
所以，，，.
（2）解：由及①，由余弦定理可得，即，
，解得；
由及②，由余弦定理可得，
由可得，可得；
由及③，由三角形的面积公式可得，可得.
经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，故，.
（i）将，代入②可得可得.
在中，由正弦定理，故.
（ii）因为，即，
所以，.
51．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）取BE中点，则，由三棱锥的体积得，可得，由平面ABCD得，故平面PBE，得，又，可得平面，进而得证；
（2）以D为原点，为x，y轴正向，过作轴垂直于平面ABCD，建立空间直角坐标系，分别求出平面BPA和平面DPA的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
【详解】（1）设，由题意为等腰直角三角形，折叠后为等腰直角三角形，
取BE中点，连接PF，则，
由于二面角为直二面角，故平面ABCD，且，
则，
得，即．
则，故，
又平面ABCD，故，又PF与BE相交，
故平面PBE，故，
又，且PE与AE相交，故平面，
又面PAB，故平面平面.
（2）以D为原点，为x，y轴正向，过作轴垂直于平面ABCD，建立空间直角坐标系，

则，，
设平面BPA的法向量为，则，
取，可得，
设平面DPA的法向量为，则，
取，可得，
则，
由于二面角为钝角，故其余弦值为．
52．(1)
(2)28
(3)分布列见详解

【分析】（1）根据题意结合对立事件的概率求法运算；
（2）根据题意可得有四则可能，再结合组合数运算求解；
（3）根据题意分析可得奖金数X的可能取值，结合（2）求相应的概率，即可得结果.
【详解】（1）“比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金”的对立事件为“黄政/孙艺组合再连赢2场”，
故比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率.
（2）设5场比赛中韩菲/陈宇组合赢场、黄政/孙艺组合赢场，用表示比赛结果，
若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则有：，
故共有种不同的情况.
（3）若韩菲/陈宇组合赢1场、黄政/孙艺组合赢4场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为0元；
若韩菲/陈宇组合赢2场、黄政/孙艺组合赢3场，则韩菲/陈宇组合需再连赢2场，其概率为，故韩菲/陈宇组合获得奖金数为元；
若韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，则韩菲/陈宇组合需再赢1场，其概率为，故韩菲/陈宇组合获得奖金数为元；
若韩菲/陈宇组合赢4场、黄政/孙艺组合赢1场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为10000元；
即奖金数X的可能取值有，则有
，
故奖金数X的分布列为：

0
2500
7500
10000





53．(1)
(2)

【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线的距离，列出的方程组，解得结果即可.
（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据题目条件，写出，根据的范围即可求出结果.
【详解】（1）设双曲线 的右焦点，渐近线方程为，
则右焦点到渐近线的距离
又，则，
∴双曲线的方程为 .
（2）设直线的方程为，设
联立方程得，



渐近线方程为 则A到两条渐近线的距离满足，

联立方程得  
联立方程得


.

恒成立
即恒成立，
∴所求的取值范围为
54．(1)见解析
(2)

【分析】（1）求导，通过，判断导数方程两根大小，数形结合判断函数单调性.
（2）根据函数单调性可判断函数有两个零点时是极值为时，求出极值解方程可得.
【详解】（1）


，
当单调递增，
当，单调递减，
当单调递增.
综上所述，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）情况一：若,即时,由的单调性,其在上恒为正,无零点,
在增区间至多有一个零点,不符题意.
情况二：若,即时,
由于,由零点存在定理,在区间上存在一个零点，
取,则,
，
当时,,由于在区间上单调递增,
故在恒为正,无零点,由零点存在定理,在区间上存在一个零点,符合题意，
情况三：若,即时,同情况二可得在增区间恒为正,无零点,
仅有一个零点,不符题意，
综上,的取值范围是.
【点睛】思路点睛：本题第二问在于合理地分类讨论，结合函数单调性，连续性，利用零点存在定理证明每类情况时的零点个数.
55．(1)选①②，结果一致，均有；
(2)选①②，结果一致，均有.

【分析】（1）选①：利用正弦定理得到，求出，选②：利用余弦定理得：，求出；（2）选①②过程相同，先由面积公式得到，再使用余弦定理求出，从而求出.
(1)
选①：，由正弦定理得：，因为，所以，故，因为，所以；
选②：，由余弦定理得：，因为，所以；
(2)
选①：，
由面积公式得：，解得：，由余弦定理得：，解得：，解得：，
选②：
由面积公式得：，解得：，由余弦定理得：，解得：，解得：
56．(1)
(2)

【分析】（1）根据题意列出相应的方程组，求出的公差d和的公比q，可得答案；
（2）确定，再根据条件得到，根据，可判断出的取值，进而求得答案.
(1)
由等差数列和等比数列满足，，，且，
设的公差为d，的公比为q,
可得 ,将代入，解得 ，由，则取，
故；
(2)
由，，令 ，
由于 ，故 ，即，
，使，故令 ，
则 ，由于 ，
故可以看出当 时，成立，
故 .
57．(1)有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关.
(2)X的分布列见解析，.

【解析】(1)
完善后的列联表如下表所示：

先手局
后手局
合计
赢棋
45
10
55
输棋
30
15
45
合计
75
25
100
故，
故有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关.
(2)
可取值2,3.
，， 的分布列如下表所示：

2
3

.

故.
58．(1)证明见解析；
(2)


【分析】（1）以A为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由，即可证明；
（2）求平面的法向量和平面的法向量，利用数量积公式可得答案.
(1)
平面，平面，平面，
，，又，
、、两两互相垂直，
以A为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
因为，，
则，，，，，
，，，
因为，，
所以，，即，，
又因为，平面，平面，
所以平面.
(2)
设平面的法向量为，平面的法向量，
由，，，
得，，
令，得；令，解得，
所以，，
则，
所以二面角的余弦值为.

59．(1)
(2)证明过程见解析.

【分析】（1）根据离心率及求出椭圆C的方程；（2）设出直线l方程，联立椭圆方程，利用韦达定理求出两根之和，两根之积，表达出点P，Q的坐标，从而得到中点G的坐标，直线EG的斜率，，证明出结论.
【详解】（1）由题意得：，，由，解得：，，故椭圆C的方程为：；
（2）设直线l：，联立椭圆方程：得：，设，，则，，直线AM：，令得：，故，同理可求得：，则，则

，
故，证毕.
60．(1)证明见解析；
(2)


【分析】(1)求出函数的导数，令解得，进而得出函数的单调性，即可求出函数的最小值，即证；
(2)将不等式转化为，令，有对恒成立，构造新函数，利用导数讨论函数的单调性，求出最小值即可.
（1）
由，得，
令，得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即恒成立；
（2）
，
则，即，
令，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，即，
所以即对恒成立，
令，则，，
若，，在上单调递增，
所以，故，符合题意；
若，令，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，不符合，
综上，.
即a的取值范围为.
61．（1）；（2）．
【分析】法一：（1）将，和都表示成和的形式，代入等比中项，求出，进而求出通项公式；（2）代入数列的通项公式则，裂项相消求即可.法二：（1）利用前项和的性质，可得，代入等比中项可得，化简，再代入和，计算可得，从而求得通项公式；（2）同法一.
【详解】解：（1）因为数列是公差为4的等差数列，
所以．
又，所以，即，
解得或（舍去），
所以．
（2）因为，
所以


．
法二：（1）因为数列是公差为4的等差数列，且为的等比中项，
所以，从而．
因为，所以，即，
解得，
所以．
（2）第二问解法同上．
【点睛】易错点睛：本题考查裂项相消求和，要注意裂项时配凑的系数和消项时保留的项数.
62．（1）4；（2）．
【分析】（1）由，带入余弦定理整理可得，所以，带入即可得解；
（2）作边上的高，垂足为E，因为，所．
又，所以，因为点D为边的中点且，所以，再根据勾股定理即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
即．
又，
所以．

（2）如图，作边上的高，垂足为E，
因为，所以．
又，所以．
因为点D为边的中点，，所以．
在直角三角形中，，所以．
在直角三角形中，，所以．
63．（1）从轻度污染的行政村中抽取个，从中度污染的行政村中抽取个，从重度污染的行政村中抽取个；（2）5．
【分析】（1）根据题意，轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村共个，再根据分层抽样分别算出所抽取的轻度污染、中度污染、重度污染行政村的个数即可；
（2）X的所有可能取值为3，4，5，6，7，写出每算出一个数据的概率，得出分布列，再根据期望公式即可得解.
【详解】（1）轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村共个，
所以从轻度污染的行政村中抽取个，从中度污染的行政村中抽取个，从重度污染的行政村中抽取个．
（2）X的所有可能取值为3，4，5，6，7．
，
，
，
，
．
所以X的分布列为
X
3
4
5
6
7
P





所以．
64．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1），连接，由三角形的中位线可得，进而可得平面.
（2）故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．平面的法向量为，平面的一个法向量为,进而可得结果.
【详解】（1）记，连接．
由直棱柱的性质可知四边形是矩形，则E为的中点．
因为D是的中点，所以．
因为平面平面，所以平面．

（2）因为底面是等边三角形，D是的中点，所以，
由直棱柱的性质可知平面平面，则平面．
取的中点F，连接，则两两垂直，故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，从而．
设平面的法向量为，
则令，得．
平面的一个法向量为，
则．
设二面角为，由图可知为锐角，则．
65．（1）；（2）．
【分析】（1）由题得，，又，解方程可得，从而得椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率不存在时，，所以，直线l的斜率存在时，设其为，联立方程并由韦达定理求出的式子得，求得，同理得出，求出，即可得.
【详解】解：（1）因为椭圆C过点，
所以．①
又椭圆C的离心率为，所以，
故．②
联立①②得解得故椭圆C的标准方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，，所以，
故直线l的斜率存在，设直线．
联立消去y并整理得，
则．
，
同理．
因为，解得，
所以，
又因为，所以．
【点睛】易错点睛：第二问未讨论直线斜率不存在的情况，第二问中，直线l的方程为也可以设为进行求解.
66．（1）；（2）．
【分析】（1）由题意可得对于恒成立，分离转化为最值即可求解；
（2）由题意可得恒成立，即，构造函数，利用导数判断其单调性可得与的关系，分离即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
由题意可得对于恒成立，即，
可得，所以
所以实数的取值范围是．
（2）对任意的，恒成立，
即恒成立，即恒成立．
因为，所以，易知在上单调递增，且在上，所以，即对任意的恒成立．
令，则，
当时，；当时，．
则在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，显然，
故实数n的取值范围是．
【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法
（1）分离参数法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
（2）数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
（3）主参换位法
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.