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上海市奉贤区三年(2021届-2023届)高考数学模拟题(一模)按题型汇编
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这是一份上海市奉贤区三年(2021届-2023届)高考数学模拟题(一模)按题型汇编,共48页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题
1.(2020·上海·统考一模)已知,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
2.(2020·上海·统考一模)设是直线的一个方向向量,是直线的一个法向量,设向量与向量的夹角为,则为
A.B.
C.D.
3.(2020·上海·统考一模)已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等,则点的轨迹是
A.椭圆B.圆C.双曲线D.抛物线
4.(2020·上海·统考一模)黎曼函数是一个特殊的函数,由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出,在高等数学中有着广泛的应用.其定义黎曼函数为:当(为正整数,是既约真分数)时,当或或为上的无理数时.已知、、都是区间内的实数,则下列不等式一定正确的是
A.B.
C.D.
5.(2021·上海奉贤·统考一模)下列函数中为奇函数且在上为增函数的是( )
A.B.C.D.
6.(2021·上海奉贤·统考一模)已知的二项展开式中,前三项系数成等差数列,则的值为( )
A.7B.8C.9D.10
7.(2021·上海奉贤·统考一模)对于下列命题:
①若则;
②若,则.
关于上述命题描述正确的是( )
A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题
C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题
8.(2021·上海奉贤·统考一模)复数的模为1,其中为虚数单位,,则这样的一共有( )个.
A.9B.10C.11D.无数
9.(2022·上海奉贤·统考一模)下列四组函数中,同组的两个函数是相同函数的是( )
A.与B.与
C.与D.与
10.(2022·上海奉贤·统考一模)紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石飘壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台.如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:),那么该壶的容积约接近于( )
A.B.C.D.
11.(2022·上海奉贤·统考一模)下列结论不正确的是( )
A.若事件与互斥,则
B.若事件与相互独立,则
C.如果分别是两个独立的随机变量,那么
D.若随机变量的方差,则
12.(2022·上海奉贤·统考一模)已知,,,,满足,,,有以下个结论:
①存在常数,对任意的实数,使得的值是一个常数;
②存在常数,对任意的实数,使得的值是一个常数.
下列说法正确的是( )
A.结论①、②都成立
B.结论①不成立、②成立
C.结论①成立、②不成立
D.结论①、②都不成立
二、填空题
13.(2020·上海·统考一模)已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为,则点到另一个焦点的距离为__________.
14.(2020·上海·统考一模)在展开式中,常数项为__________.(用数值表示)
15.(2020·上海·统考一模)若实数满足,则的最大值为_______.
16.(2020·上海·统考一模)复数的虚部是_________.
17.(2020·上海·统考一模)设集合,则__________.
18.(2020·上海·统考一模)已知函数的图像关于直线对称,则________.
19.(2020·上海·统考一模)等差数列中,公差为,设是的前n项之和,且,则__________.
20.(2020·上海·统考一模)若抛物线的准线与曲线只有一个交点,则实数满足的条件是__________.
21.(2020·上海·统考一模)某工厂生产、两种型号的不同产品,产品数量之比为.用分层抽样的方法抽出一个样本容量为的样本,则其中种型号的产品有件.现从样本中抽出两件产品,此时含有型号产品的概率为__________.
22.(2020·上海·统考一模)对于正数、,称是、的算术平均值,并称是、的几何平均值.设,,若、的算术平均值是1,则、的几何平均值(是自然对数的底)的最小值是__________.
23.(2020·上海·统考一模)在棱长为的正方体中,点分别是线段(不包括端点)上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是___________.
24.(2020·上海·统考一模)已知是奇函数,定义域为,当时,(),当函数有3个零点时,则实数的取值范围是__________.
25.(2021·上海奉贤·统考一模)已知集合,若,则__________.
26.(2021·上海奉贤·统考一模)计算__________.
27.(2021·上海奉贤·统考一模)已知圆的参数方程为(为参数),则此圆的半径是__________.
28.(2021·上海奉贤·统考一模)函数的最小正周期是__________.
29.(2021·上海奉贤·统考一模)函数是奇函数,则实数__________.
30.(2021·上海奉贤·统考一模)若圆锥的底面面积为,母线长为2,则该圆锥的体积为__________.
31.(2021·上海奉贤·统考一模)函数的定义域是__________.
32.(2021·上海奉贤·统考一模)等差数列满足,则数列前项的和为__________.
33.(2021·上海奉贤·统考一模)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处,已知灯口的直径是24 cm,灯深10 cm,那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是________.
34.(2021·上海奉贤·统考一模)已知曲线的焦距是10,曲线上的点到一个焦点的距离是2,则点到另一个焦点的距离为__________.
35.(2021·上海奉贤·统考一模)从集合中任取3个不同元素分别作为直线方程中的,则经过坐标原点的不同直线有__________条(用数值表示)
36.(2021·上海奉贤·统考一模)设平面上的向量满足关系,又设与的模均为1且互相垂直,则与的夹角取值范围为__________.
37.(2022·上海奉贤·统考一模)设,则__________.
38.(2022·上海奉贤·统考一模)已知,(为虚数单位),则__________.
39.(2022·上海奉贤·统考一模)方程的两个实数根为,若,则实数__________.
40.(2022·上海奉贤·统考一模)已知等差数列中,,则的值等于__________.
41.(2022·上海奉贤·统考一模)已知双曲线的中心在原点,焦点在轴上,它的渐近线方程为,则它的离心率等于__________.
42.(2022·上海奉贤·统考一模)若两个正数的几何平均值是1,则与的算术平均值的最小值是__________.
43.(2022·上海奉贤·统考一模)在二项式的展开式中,系数最大的项的系数为__________(结果用数值表示).
44.(2022·上海奉贤·统考一模)下表是岁未成年人的身高的主要百分位数(单位:).小明今年岁,他的身高为,他所在城市男性同龄人约有万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人.
岁未成年人的身高的主要百分位数
数据来源:《中国未成年人人体尺寸)(标准号:).
45.(2022·上海奉贤·统考一模)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率是__________.(结果用最简分数表示).
46.(2022·上海奉贤·统考一模)长方体的底面是边长为1的正方形,若在侧棱上至少存在一点,使得,则侧棱的长的最小值为__________.
47.(2022·上海奉贤·统考一模)设且满足,则__________.
48.(2022·上海奉贤·统考一模)已知某商品的成本和产量满足关系,该商品的销售单价和产量满足关系式,则当产量等于__________时,利润最大.
三、解答题
49.(2020·上海·统考一模)如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,,,.
(1)当四棱锥的体积为时, 求异面直线与所成角的大小;
(2)求证:平面.
50.(2020·上海·统考一模)在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度(单位:)和燃料的质量(单位:),火箭(除燃料外)的质量(单位:)满足(为自然对数的底).
(1)当燃料质量为火箭(除燃料外)质量的两倍时,求火箭的最大速度(单位:)结果精确到0.1);
(2)当燃料质量为火箭(除燃料外)质量的多少倍时,火箭的最大速度可以达到(结果精确到0.1).
51.(2020·上海·统考一模)在①;②;③三边成等比数列.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求解此三角形的边长和角的大小;若问题中的三角形不存在,请说明理由.
问题:是否存在,它的内角、、的对边分别为、、,且,,______________.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
52.(2020·上海·统考一模)如图,曲线的方程是,其中、为曲线与轴的交点,点在点的左边,曲线与轴的交点为.已知,,,的面积为.
(1)过点作斜率为的直线交曲线于、两点(异于点),点在第一象限,设点的横坐标为、的横坐标为,求证:是定值;
(2)过点的直线与曲线有且仅有一个公共点,求直线的倾斜角范围;
(3)过点作斜率为的直线交曲线于、两点(异于点),点在第一象限,当时,求成立时的值.
53.(2020·上海·统考一模)已知数列满足恒成立.
(1)若且,当成等差数列时,求的值;
(2)若且,当、时,求以及的通项公式;
(3)若,,,,设是的前项之和,求的最大值.
54.(2021·上海奉贤·统考一模)在中,所对边满足.
(1)求的值;
(2)若,,求的周长.
55.(2021·上海奉贤·统考一模)第一象限内的点在双曲线上,双曲线的左、右焦点分别记为,已知为坐标原点.
(1)求证:;
(2)若的面积为2,求点的坐标.
56.(2021·上海奉贤·统考一模)图1是某会展中心航拍平面图,由展览场馆、通道等组成,可以假设抽象成图2,图2中的大正方形是由四个相等的小正方形(如)和宽度相等的矩形通道组成.展览馆可以根据实际需要进行重新布局成展览区域和休闲区域,展览区域由四部分组成,每部分是八边形,且它们互相全等.图2中的八边形EFTSHQMG是小正方形中的展览区域,小正方形中的四个全等的直角三角形是休闲区域,四个八边形是整个的展览区域,16个全等的直角三角形是整个的休闲区域.设的边长为300米,的周长为180米.
(1)设,求的面积关于的函数关系式;
(2)问取多少时,使得整个的休闲区域面积最大.(,长度精确到1米,利用精确后的长度计算面积,面积精确到1平方米)
57.(2021·上海奉贤·统考一模)如图,在正四棱锥中,,分别为的中点,平面与棱的交点为.
(1)求异面直线与所成角的大小;
(2)求平面与平面所成锐二面角的大小;
(3)求点的位置.
58.(2021·上海奉贤·统考一模)已知数列满足.
(1)当时,求证:数列不可能是常数列;
(2)若,求数列的前项的和;
(3)当时,令,判断对任意,是否为正整数,请说明理由.
59.(2022·上海奉贤·统考一模)已知为奇函数,其中.
(1)求函数的最小正周期和的表达式;
(2)若,求的值.
60.(2022·上海奉贤·统考一模)如图,在四面体中,已知.点是中点.
(1)求证:平面;
(2)已知,作出二面角的平面角,并求它的正弦值.
61.(2022·上海奉贤·统考一模)某地区1997年底沙漠面积为(注:是面积单位,表示公顷).地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况,从1998年开始进行了连续5年的观测,并在每年底将观测结果记录如下表:
请根据上表所给的信息进行估计.
(1)如果不采取任何措施,到2020年底,这个地区的沙漠面积大约变成多少?
(2)如果从2003年初开始,采取植树造林等措施,每年改造面积沙漠,但沙漠面积仍按原有速度增加,那么到哪一年年底,这个地区的沙漠面积将首次小于
62.(2022·上海奉贤·统考一模)已知椭圆的中心在原点,且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左、右顶点,点为椭圆的上顶点,的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若把直线的斜率分别记作,若,求点的坐标;
(3)设直线与轴交于点,直线与轴交于点.令,求实数的取值范围.
63.(2022·上海奉贤·统考一模)已知函数,其中.
(1)求函数在点的切线方程;
(2)函数是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;
(3)若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.
岁
男
女
岁
男
女
观测年份
该地区沙漠面积比原有(1997年底)面积增加数
1998
2000
1999
4000
2000
6001
2001
7999
2002
10001
参考答案:
1.A
【分析】,而,进而得出结果.
【详解】由可得,必有,故“”是“”的充分条件;
反之,若“”,则有,此时不一定成立即“”不一定成立,
则“”是“”的不必要条件.
所以“”是“”的充分不必要条件
故选: A
2.C
【解析】利用直线方程确定直线的方向向量,以及直线的法向量,利用向量夹角公式求解.
【详解】由题意,是直线的一个方向向量,则,
是直线的一个法向量,,
则,
故,
故选:C.
3.B
【详解】如图,建立直角坐标系
依题意可得,
则
设,因为,所以
则,即
化简可得,即
所以点轨迹为圆,故选B
4.B
【解析】设为正整数,是既约真分数,或或为上的无理数,然后根据,与集合,的关系分类讨论,计算与,与的关系.
【详解】设为正整数,是既约真分数,或或为上的无理数,则根据题意有:
①当时,则,,
②当时, ,;
③当时,,;
④当时,,
综上所述,一定成立.
故选:B.
【点睛】本题以黎曼函数为背景,考查学生获取新知识应用新知识的能力. 当、、都是区间内的实数时,与的取值可能为的形式(为正整数,是既约真分数),也可能为或或为上的无理数,解决的途径主要是要针对,的取值进行分类讨论,然后根据的性质判断与,与的关系.
5.D
【分析】根据常见函数的奇偶性及单调性,逐项判断即可.
【详解】对A,因为指数函数为非奇非偶函数,A错误;
对B,函数为偶函数,且在上不单调,B错误;
对C,正弦函数是奇函数,但在R上不单调,C错误;
对D,幂函数为奇函数,且在R上是增函数,D正确.
故选:D.
6.B
【分析】根据给定条件求出二项展开式的通项,再列式即可计算得的值.
【详解】依题意,的二项展开式通项:,,
于是有:,整理得,即,而,解得,
所以的值为8.
故选:B
7.C
【分析】根据不等式的性质可以判断①,再根据指数式的运算可以判断②,最后得到答案.
【详解】对①,由,得,则,又因为所以,于是.①为真命题;
对②,令,则,即.②为假命题.
故选:C.
8.C
【分析】先根据复数的模为1及复数模的运算公式,求得即,接下来分与两种情况进行求解,结合,求出的个数.
【详解】,其中,所以,即,,当时,①,,所以,,因为,所以或;②,,所以,,因为,所以,,,,或;当时,①,,即,,因为,所以,②,,即,,因为,所以,,,,,综上:,,一共有11个.
故选:C
9.D
【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析,从而确定正确答案.
【详解】A选项,函数的定义域为;函数的定义域为,不是相同函数.
B选项,函数的定义域为;函数的定义域为,不是相同函数.
C选项,函数的定义域为;函数的定义域为,不是相同函数.
D选项,由于,所以与的定义域、值域都为,对应关系也相同,
所以与是相同函数.
故选:D
10.B
【分析】根据圆台的体积公式计算即可.
【详解】解:设R为圆台下底面圆半径,r为上底面圆半径,高为,
则,,,
,
故选:B.
11.A
【分析】由已知,选项A,根据事件与互斥,可知;选项B,根据事件与相互独立,可知;选项C,根据分别是两个独立的随机变量,可得;选项D,由,可得,即可作出判断.
【详解】由已知,
选项A,若事件与互斥,则,故该选项错误;
选项B,若事件与相互独立,则,故该选项正确;
选项C,若分别是两个独立的随机变量,那么,故该选项正确;
选项D,若随机变量的方差,则,故该选项正确;
故选:A.
12.B
【分析】根据三角恒等变换的知识,分别将和用,表示即可.
【详解】对于结论①,
∵,,
∴,,
∴,
∴,
∴当为常数,时,不是一个常数,故结论①不成立;
对于结论②,
方法一:
∵
又∵
∴
化简得,
∴存在常数,对任意的实数,使得,故结论②成立.
方法二:(特值法)
当时,,
∴,∴.
∴存在常数,对任意的实数,使得,故结论②成立.
故选:B.
【点睛】本题中结论②的判断,使用常规三角恒等变换的方法运算量较大,对于存在性结论,使用特值法可以有效验证其正确性,减少运算量.
13.
【解析】由椭圆的定义求解.
【详解】利用椭圆定义,,
可知,即
故答案为:
14.
【解析】写出展开式的通项,令指数位置等于即可求解.
【详解】展开式的通项为,
令,可得,
所以常数项为,
故答案为:
15.3.
【分析】画出可行域,求出线性目标函数的最大值.
【详解】画出可行域如图所示:
令,则,易知截距越大,z越大,
直线 ,平移直线至时,.
故答案为:3
【点睛】考查了线性目标函数在线性约束条件下的最大值问题,属于容易题.
16.1
【解析】由复数除法法则化简复数为代数形式,然后可得其虚部.
【详解】,虚部为1.
故答案为:1.
17.
【解析】求解函数的定义域,即只需满足即可.
【详解】要使函数有意义,则只需,又,
所以不等式的解集为,故.
故答案为:.
【点睛】求解有关对数型复合函数的定义域时,只需满足真数部分大于零,然后求解关于的不等式得到答案.
18.
【解析】令求出其对称轴,再令对称轴等于结合,即可求解
【详解】令,可得:,
令,解得,
因为,所以,,
故答案为:
19.
【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式将用和表示,再结合求极限即可.
【详解】因为是等差数列,所以,,
所以,
因为,所以,
故答案为:
20.
【解析】根据题意求出抛物线的准线方程为,分别讨论和时曲线所表示的图形,即可求解.
【详解】抛物线的准线为,
当时,表示椭圆在轴上方部分以及左右顶点
所以,
若与曲线只有一个交点,
则,解得,
当时,表示双曲线的在轴上方部分即上支,
此时,
此时满足与曲线只有一个交点,所以,
综上所述:实数满足的条件是或,
故答案为:
【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是分和两种情况讨论,得到曲线是我们熟悉的椭圆与双曲线的一部分,数形结合可得的范围.
21.
【解析】先由分层抽样抽样比求种型号抽取件数,以及,再根据古典概型公式求概率.
【详解】设种型号抽取件,所以,解得:,,
从样本中抽取2件,含有型号产品的概率.
故答案为:
22.
【解析】由算术平均数的定义可得,、的几何平均值为,利用基本不等式解.
【详解】因为、的算术平均值是1,所以,即,所以,
、的几何平均值为,
由基本不等式可得:,
当且仅当时等号成立,
所以、的几何平均值的最小值是
故答案为:
【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是利用已知条件得出乘积是定值,而、的几何平均值为最小就等价于最小,显然利用基本不等式可求解.
23.
【分析】由线面平行的性质定理知, ∽ , ,
设,则 , 到平面 的距离为 ,则 ,
所以,所以四面体 的体积为,
当 时,四面体 的体积取得最大值: .
所以答案应填: .
考点:1、柱、锥、台体体积;2、点、线、面的位置关系.
【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法,找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键,考查计算能力,属于中档题.由线面平行的性质定理知, ∽ ,设出,则 , 到平面 的距离为 ,表示出四面体 的体积,通过二次函数的最值,求出四面体的体积的最大值.
24.
【解析】首先根据函数 的单调性和端点值画出函数的图象,再根据函数的性质画出函数的图象,根据数形结合求的取值范围.
【详解】当时,易知函数单调递减,且时,,时,,其大致图象如下,
在的大致图象如下,
又函数是定义在上的奇函数,故函数的图象如下,
要使函数有3个零点,只需函数的图象与直线有且仅有3个交点,
由图象可知,.
故答案为:.
【点睛】方法点睛:本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围,一般可采用1.直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解,此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况,特别注意边界值的取舍.
25.3.
【分析】根据并集的定义即可得到答案.
【详解】因为,且,所以a=3.
故答案为:3.
26.
【分析】根据给定条件利用数列极限直接计算即可作答.
【详解】.
故答案为:
27.2
【分析】先把参数方程化为普通方程,进而求出圆的半径.
【详解】由参数方程( θ 为参数)化为普通方程:,故圆的半径为2.
故答案为:2
28.
【分析】先利用辅助角公式化为,进而利用公式进行求解.
【详解】,故最小正周期
故答案为:
29.
【分析】根据给定条件利用奇函数的定义计算作答.
【详解】因函数是奇函数,其定义域为R,
则对,,即,整理得:,
而不恒为0,于是得,
所以实数.
故答案为:
30./
【分析】利用圆锥的底面面积求出底面半径,利用勾股定理求出圆锥的高,进而利用圆锥的体积公式进行求解.
【详解】圆锥的底面面积为,则底面半径r=1,由勾股定理可得:,所以圆锥的体积为
故答案为:
31.
【分析】根据给定条件列出不等式,再借助指数函数单调性求解即得.
【详解】函数有意义,则有,即,解得,
所以函数的定义域是.
故答案为:
32.
【分析】设出公差,利用题干条件得到,进而求出,利用等差数列求和公式进行求解即可.
【详解】设等差数列的公差为,因为,,两式相减,,即,所以,且,所以,所以数列前项的和为.
故答案为:
33.3.6 cm
【分析】如图先根据实际情况合理建立直角坐标系,设出抛物线方程,结合题设数据找点求出抛物线方程,灯泡与反射镜顶点间的距离即为抛物线焦点与顶点距离.
【详解】取反射镜的轴即抛物线的对称轴为轴,抛物线的顶点为坐标原点,建立直角坐标系,如图所示.
因为灯口直径,灯深,所以点的坐标是.设抛物线的方程为,由点在抛物线上,得,所以.所以抛物线的焦点的坐标为.因此灯泡与反射镜顶点间的距离是.
【点睛】本题属于抛物线的实际应用题,熟练掌握抛物线的方程及性质是解题关键.
34.或10.
【分析】对参数a进行讨论,考虑曲线是椭圆和双曲线的情况,进而结合椭圆与双曲线的定义和性质求得答案.
【详解】由题意,曲线的半焦距为5,若曲线是焦点在x轴上的椭圆,则a>16,所以,而椭圆上的点到一个焦点距离是2,则点到另一个焦点的距离为;
若曲线是焦点在y轴上的椭圆,则0
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