苏教版 (2019)选择性必修第二册8.1条件概率优秀同步测试题

8.1 条件概率

【题型归纳目录】

题型一：利用定义求条件概率

题型二：条件概率的性质及应用

题型三：全概率公式

题型四：贝叶斯公式

题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用

【知识点梳理】

1、条件概率的概念

条件概率揭示了三者之间“知二求一”的关系

一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．

2、概率的乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．

3、条件概率的性质

设，则

（1）

（2）如果与是两个互布事件，则；

（3）设和互为对立事件，则．

4、全概率公式

在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑

一般地，设是一组两两互F的事件，，且，则对任意的事件，有

我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．

5、贝叶斯公式

设是一组两两互压的事件，，且，则对任意事件，有

6、在贝叶斯公式中，和分别称为先俭概率和后验概率．

【典型例题】

题型一：利用定义求条件概率

【方法技巧与总结】

利用定义计算条件概率的步骤

(1)分别计算概率和．

(2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．

例1．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）在一次春节聚会上，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人各写了一张祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（    ）

A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为

B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为

C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为

D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为

例2．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）小明与小红两位同学计划去养老院做义工．如图，小明在街道E处，小红在街道F处，养老院位于G处，小明与小红到养老院都选择最短路径，两人约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：小明经过H；事件C：从F到养老院两人的路径没有重叠部分（路口除外），则下面说法正确的个数是（    ）

（1）；（2）；（3）．

A．3 B．2 C．1 D．0

例3．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）小明和李华在玩游戏，他们分别从1~9这9个正整数中选出一个数告诉老师，老师经过计算后得知他们选择的两个数不相同，且两数之差为偶数，那么小明选择的数是偶数的概率是（    ）

A． B． C． D．

变式1．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是（    ）

A． B． C． D．

变式2．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（    ）

A． B． C． D．

变式3．（2023秋·北京·高三校考期末）盒子里有5个球，其中有2 个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为（    ）

A． B． C． D．

题型二：条件概率的性质及应用

【方法技巧与总结】

当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用便可求得较复杂事件的概率．

例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．若，则 A，B对立

C．若A，B独立，则

D．若A，B互斥，则

例5．（多选题）（2023·高二课时练习）下列说法正确的是（    ）

A． B．是可能的

C． D．

例6．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则________.

变式4．（2023·全国·高二专题练习）已知，且．若，，则______．

变式5．（2023·高二课时练习）以下有关条件概率的所有正确命题的序号是______．

①；

②若事件A与事件B互斥，则；

③若和B互为对立事件，则．

题型三：全概率公式

【方法技巧与总结】

全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用．

例7．（2023·全国·高二课时练习）盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中（新球用后成了旧球）．第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率．

例8．（2023·全国·高二课时练习）某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，且当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.从以上数据可知，当乙球员参加比赛时，求该球队某场比赛不输球的概率.

例9．（2023·全国·高二课时练习）某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.

题型四：贝叶斯公式

【方法技巧与总结】

此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小．

例10．（2023·全国·高二课时练习）同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应由长期的经验知，三个厂的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三个厂供应的产品数之比为2：3：5，将三个厂的产品混合在一起现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？

例11．（2023·黑龙江实验中学高二期末）某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件．

(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；

(2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；

(3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？

例12．（2023·全国·高二课时练习）设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．

题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用

【方法技巧与总结】

是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化．

例13．（2023·全国·高二课时练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．

(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；

(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．

例14．（2023·全国·高二课时练习）设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分、、．现从这三个地区任抽取一个人．

(1)求此人感染此病的概率；（结果保留三位小数）

(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．（结果保留三位小数）．

例15．（2023·重庆市第十一中学校高二阶段练习）某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有下图所示的数据．设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志．

(1)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；

(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率是多少？

【同步练习】

一、单选题

1．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）盲盒里有大小、形状完全相同的个绿球，个红球，现抛掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从盲盒里取出几个球．则取出的球全是绿球的概率为（    ）

A． B． C． D．

2．（2023·福建莆田·统考二模）某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（    ）

A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77

3．（2023·吉林·统考二模）对于事件A与事件B，下列说法错误的是（    ）

A．若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1

B．若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）

C．若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件

D．若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立

4．（2023·全国·高三专题练习）在三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为（    ）

A．0.032 B．0.048 C．0.05 D．0.15

5．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．（2023·全国·高三专题练习）近年来，准南市全力推进全国文明城市创建工作，构建良好的宜居环境，城市公园越来越多，某周末，甲、乙两位市民准备从龙湖公园、八公山森林公园、上密森林公园、山南中央公园4个景点中随机选择共中一个景点游玩，记事件M：甲和乙至少一人选择八公山森林公园，事件N：甲和乙选择的景点不同，则（    ）

A． B． C． D．

7．（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）某精密仪器易因电压不稳损坏，自初装起，第一次电压不稳仪器损坏的概率为.若在第一次电压不稳仪器未损坏的条件下，第二次电压不稳仪器损坏的概率为，则连续两次电压不稳仪器未损坏的概率为（    ）

A．0.72 B．0.7 C．0.2 D．0.18

8．（2023·高二课时练习）抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ）

A．事件与事件（）相互独立

B．

C．

D．

10．（2023·全国·高二专题练习）从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，分别记事件A为“抽得的两张卡片上的数字之和大于8”，事件B为“第一张卡片上的数小于第二张卡片上的数”，则（    ）

A． B．

C． D．

11．（2023·全国·高三专题练习）一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（    ）

A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件

C． D．

12．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）将样本空间Ω视为一个单位正方形，任一事件均可用其中的区域表示，事件发生的概率为对应区域的面积.如图所示的单位正方形中，区域I表示事件AB，区域II表示事件，区域I和Ⅲ表示事件B，则区域IV的面积为（   ）

A． B． C．  D．

三、填空题

13．（2023·全国·高二专题练习）某班宣传小组有3名男生和2名女生.现从这5名同学中挑选2人参加小剧场演出，在已知抽取到有男生的条件下，2名都是男生概率是______.

14．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考开学考试）假设某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是0.92、0.95、0.94．则该部件的总体良品率是________．

15．（2023·江苏南通·统考模拟预测）随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受市民重视，小李早上上班的时候，可以骑电动车，也可以骑自行车，已知小李骑电动车的概率为0.6，骑自行车的概率为0.4，而且在骑电动车与骑自行车条件下，小李准时到单位的概率分别为0.9与0.8，则小李准时到单位的概率是___________.

16．（2023·湖北·统考模拟预测）现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球；乙口袋内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球．第一次从甲口袋中任取1个球，将取出的球放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到2号球的概率为__________．

四、解答题

17．（2023·河北唐山·统考一模）为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为．

(1)求甲队第二场比赛获胜的概率；

(2)用表示比赛结束时比赛场数，求的期望；

(3)已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．

18．（2023·全国·高二专题练习）小明每天去学校有A，B两条路线可供选择，小明上学时随机地选择一条路线.如果小明上学时选择A路线，那么放学时选择A路线的概率为0.6;如果小明上学时选择B路线，那么放学时选择A路线的概率为0.8.

(1)求小明放学时选择A路线的概率;

(2)已知小明放学时选择A路线，求小明上学时选择B路线的概率.

19．（2023·全国·高三专题练习）从有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，，2，…，6.

(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；

(2)记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率.

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）求.

20．（2023·全国·高三专题练习）设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．

(1)从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有2个红球的概率；

(2)先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．

21．（2023·全国·高三专题练习）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先随机取1个球不放回，接着再从该袋中取1个球．

(1)求第一次取出的球为红球的概率；

(2)求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率．

22．（2023·全国·高二专题练习）临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下的效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占95%，对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%.现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居民总数的4‰，求：

(1)试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率；

(2)试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率.