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高二开学分班选拔考试卷(测试范围:苏教版选择性必修第一册)-高二数学新教材同步配套教学讲义(苏教版选择性必修第二册)
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高二开学分班选拔考试卷(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.测试范围:选择性必修第一册5.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若直线与直线平行,则的值为( )A. B.0 C.1 D.0或1【答案】D【解析】因为直线与直线平行,所以,解得:或,当时,直线分别为和,满足题意;当时,直线分别为和,满足题意,综上:实数的值为或,故选:.2.已知正项等比数列}满足为与的等比中项,则( )A. B. C. D.2【答案】B【解析】设等比数列的公比为,由题意得,即,,,,故选:B.3.已知函数的图像在点处的切线方程是,则( )A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】函数的图像在点处的切线的斜率就是在该点处的导数,即就是切线的斜率,所以.又,所以.故选:D4.直线与圆 相切,则实数m的值是( )A.±1 B.±2 C.±4 D.±8【答案】B【解析】由,得,∴,,又方程表示圆时,,或,满足题意.故选:B.5.已知直线与抛物线相交于A,B两点,满足OA⊥OB,则抛物线的方程为( )A.y²=2x B.y²=4x C.y²=6x D.y²=8x【答案】A【解析】设,则由,整理得则 ,由OA⊥OB,可得,则,则又则,则,解之得则抛物线的方程为故选:A6.已知数列满足:,,.若,则( )A.1 B.2 C.3 D.2022【答案】A【解析】令,则故,为常数,故数列是等差数列故选:A.7.已知双曲线,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线方程为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为,双曲线的两条渐近线方程为,不妨设A在第一象限,则,,∵四边形ABCD的面积为2b,∴由对称性可得,又,∴,将代入,可得,∴,∴双曲线的方程为1,故选:D.8.已知函数的定义域为R,且对任意,恒成立,则解集为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由得,记,则在R上单调递增.由得,即,∴,∴.故选:B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.下列说法错误的是( )A.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B.点关于直线的对称点为C.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为【答案】AD【解析】A:垂直于x轴的直线不存在斜率,错误;B:由、中点为且,两点所在直线的斜率为,故与垂直,正确;C:令有,令有,所以围成的三角形的面积是,正确;D:由也过且在x轴和y轴上截距都为0,错误.故选:AD10.已知圆M的一般方程为,则下列说法正确的是( )A.圆M的半径为5B.圆M关于直线对称C.点在圆M内D.实数x,y满足圆M的方程,则的最小值是5【答案】ABD【解析】圆M的一般方程为,化为标准方程为则圆心,半径为5,故A正确;圆心满足直线方程,则直线过圆心,所以圆M关于直线对称,故B正确;点到圆心的距离为,故该点在圆外,故C不正确;实数x,y满足圆M的方程,则为圆上一点与点的距离,又,则在圆外,所以的最小值即,故D正确.故选:ABD.11.已知等差数列 的前n项和为 ,且 ,则( )A.在数列中, 最大B.在数列中, 或 最大C. D.当 时, 【答案】AD【解析】为等差数列,∵,且,∴ ,即,∴{an}是递减等差数列,最大,当 时,,当 时,,故AD正确,B错误, ,则 ,故C错误,故选:AD.12.已知实数a,b满足:且,则( )A. B.C. D.【答案】ACD【解析】解:由题知,当且仅当时取等,故有:关于选项A,构造,所以在上单调递增,,即,故选项A正确;关于选项B,不妨取代入,可得不成立,故选项B错误;关于选项C,,,故选项C正确;关于选项D,构造,令,在单调递减,当时,,,即即单调递减,,即,,,,故选项D正确.故选:ACD第Ⅱ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知正项等比数列的前n项和为,且,若,则__________.【答案】31【解析】由,且得:,令,则,解得或(舍),所以,而数列为正项等比数列,所以,所以,所以.故答案为:3114.已知圆的圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5),则圆的一般方程为________________.【答案】x2+y2+2x+4y-5=0【解析】方法一:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意得:,解得:故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10,即x2+y2+2x+4y-5=0.方法二:线段的中点坐标为,即,直线的斜率为,所以线段AB的垂直平分线的斜率为-2,所以线段AB的垂直平分线方程为,即2x+y+4=0,由几何性质可知:线段AB的垂直平分线与的交点为圆心,联立,得交点坐标,又点O到点A的距离,即半径为,所以圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10,即x2+y2+2x+4y-5=0.故答案为:x2+y2+2x+4y-5=0.15.在椭圆上,为焦点三角形,,,则椭圆的离心率=________.【答案】【解析】由已知,为焦点三角形,由正弦定理可知;,即,所以 .故答案为:.16.已知.设实数,若对任意的,不等式总成立,则的最小值为_________.【答案】【解析】因为,则,故在上单调递增,则等价于,当时,即;当时,,又,不满足题意,故舍去;当时,令,,故在单调递增,则,即,,;令,则,故当时,单调递增,时,单调递减,则,故,即的最小值为.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17.(10分)已知三条直线,直线和直线,且和的距离是.(1)求的值.(2)能否找到一点,使得点同时满足下列三个条件:①是第一象限的点;②点到的距离是点到的距离的;③点到的距离与点到的距离之比是?若能,求出点坐标;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为可化为,所以与的距离为.因为,所以.(2)设存在点满足,则点在与,平行直线上.且,即或.所以满足条件②的点满足或.若点满足条件,由点到直线的距离公式,有,即,所以或,因为点在第一象限,所以不成立.联立方程和,解得(舍去),联立方程和,解得,所以即为同时满足条件的点.18.(12分)某家具制造公司,欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板,已知,,且米,曲线段是以点为顶点且开口向上的抛物线的一段,如果要使矩形桌面板的相邻两边分别落在、上,且一个顶点落在曲线段上,问应如何精准设计才能使矩形桌面板的面积最大?并求出最大的面积.【解析】以为原点,所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,依题意可设抛物线方程为,且,所以,即,故点所在曲线段的方程为,设是曲线段上的任意一点,则在矩形中,,,所以,桌面板的面积为,,当时,,此时函数单调递增,当时,,此时函数单调递减,所以当时,有最大值,此时,,此时,.答:把桌面板设计成长为米,宽为米的矩形时,矩形桌面板的面积最大,最大面积为平方米.19.(12分)已知直线,O为坐标原点,动点Q满足,动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若直线l与圆交于不同的两点A,B,当时,求k的值;(3)若 ,P是直线l上的动点,过点P作曲线C的两条切线PC、PD,切点为C、D,探究:直线CD是否过定点.【解析】(1)设点,依题意知,整理得,∴曲线C的方程为 (2)∵点O为圆心,,∴点O到l的距离∴;(3)由题意可知:O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上,(对角互补的四边形的四顶点共圆)设,则圆心,半径得即 又C、D在圆上∴即 (直线CD是两圆的公共弦所在直线,故两圆方程相减便得其方程)由,得∴直线CD过定点20.(12分)记为数列的前项和,已知.(1)证明:是等差数列;(2)若,记,求数列的前项和.【解析】(1)当且时,,,整理可得:,,数列是公差为的等差数列.(2)由(1)得:,,.21.(12分)已知椭圆,长轴是短轴的倍,点在椭圆上,且点在轴上的投影为点.(1)求椭圆的方程;(2)设过点的且不与轴垂直的直线交椭圆于、两点,是否存点,使得直线,直线与轴所在直线所成夹角相等?若存在,请求出常数的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)依题意,即,所以椭圆即,又椭圆过点,所以,解得,所以,所以椭圆方程为;(2)因为直线不与轴垂直,所以设直线为,,,由,消去整理得,,所以,,因为,所以,所以,即,即,即,解得.22.(12分)已知函数.(1)当时,求函数的单调区间和极值;(2)若曲线不存在斜率为-2的切线,求a的取值范围;(3)当时,恒成立,求a的取值范围.(只需直接写出结论)【解析】(1)由, 得. 当时, 令,得 此时,随的变化如下:00↗极大值↘极小值↗所以的单调递增区间为和 的单调递减区间为 函数在时,取得极大值,在时,取得极小值.(2)因为不存在斜率为的切线, 所以 即方程无解,所以解得,所以a的取值范围为;(3)不等式可化为,设, ,设,则当时,,,又所以,函数在上单调递增,所以当时,,此时,所以函数在上单调递增,又,所以当时,,所以时,在上恒成立,当时,方程的判别式,因为,所以,所以,所以方程有两个不相等的实数根,设其根为,且,则,所以,所以当时,,此时,所以函数在上单调递减,又,所以当时,,所以时,在上不可能恒成立,综上可得a的取值范围为.
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