第一次月考押题卷（考试范围：选择性必修第二册第6-7章）-高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版选择性必修第二册）

下学期第一次月考

高二·数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．测试范围：选择性必修第二册第6-7章。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知平面内的三点，，，直线的方向向量是，则直线与平面的位置关系是（    ）

A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内

【答案】D

【解析】因为，，，所以；

设平面的一个法向量为，则，即，

令，则；

因为，所以直线可能在平面内，或者与平面平行.

故选：D.

2．如图，在三棱锥中，点为棱的中点，点在棱上，且满足，设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为点为棱的中点，，设，

所以

.

故选：A.

3．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，则，

因为，所以，

所以，

所以，化简得，

所以，所以，即的余弦值为.

故选：C.

4．新冠疫情防控期间，某镇医院派3位医生到4个不同的学校进行核酸检测，每位医生至少去一个学校且至多去两个学校，每个学校只安排一位医生，则所有不同的情况共有（    ）

A．24种 B．36种 C．48种 D．72种

【答案】B

【解析】由题意知必有一位医生去两个医院，另外两个医院各去一位医生，

第一步先将医院按2：1：1分为三组共有种方法，第二步再把三位医生分配到三个小组去，有种分配方法，故共有种方法.

故选：B

5．已知空间向量，，若，，，共面，则实数的值为（    ）

A． B．6 C． D．12

【答案】A

【解析】由，，共面，可设，则，

由，解得，代入第三个方程可得：，解得.

故选：A.

6．现有印有数字0，1，2，6，12，20，22，26的卡片，每种卡片均相同且有若干张.若从中任选几张卡片并摆成一排，则数字20220126的摆放方式共有（    ）

A．14种 B．16种 C．18种 D．20种

【答案】C

【解析】依题意，

摆放20的方式有：2，0或20两种方式；

摆放220的方式有：2，2，0或22，0或2，20三种方式；

摆放126的方式有：1，2，6或12，6或1，26三种方式；

由分步计数原理知，数字20220126的摆放方式共有：种方式.

故选：C.

7．若，则 （    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】B

【解析】

则，即.

故选：B

8．如图所示，在矩形中，，，平面，且，点为线段（除端点外）上的动点，沿直线将翻折到，则下列说法中正确的是（    ）

A．当点固定在线段的某位置时，点的运动轨迹为球面

B．存在点，使平面

C．点到平面的距离为

D．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是

【答案】D

【解析】

选项A：当点固定在线段的某位置时，线段的长度为定值，，过作于点，为定点，的长度为定值，且在过点与垂直的平面内，故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A错；

选项B：无论在（端点除外）的哪个位置，均不与垂直，故不与平面垂直，故B错；

选项C：以，，为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系，则，，，．

，

设平面的法向量为，取，

则点到平面的距离为，故C错；

选项D：设，，，，设与所成的角为，则，故D正确.

故选：D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．某校的高一和高二年级各10个班级，从中选出五个班级参加活动，下列结论正确的是（    ）

A．高二六班一定参加的选法有种

B．高一年级恰有2个班级的选法有种

C．高一年级最多有2个班级的选法为种

D．高一年级最多有2个班级的选法为种

【答案】BCD

【解析】对于A：高二六班一定参加的选法有种，故A错误；

对于B：高一年级恰有2个班级的选法有种，故B正确；

对于C与D：从两个年级中选出五个班级参加活动共有种，

其中若高一年级0个，高二年级5个，有种，

其中若高一年级1个，高二年级4个，有种，

其中若高一年级2个，高二年级3个，有种，

其中若高一年级3个，高二年级2个，有种，

其中若高一年级4个，高二年级1个，有种，

其中若高一年级5个，高二年级0个，有种，

则，

则，

而高一年级最多有2个班级的选法为种，故C与 D都正确；

故选：BCD.

10．如图，在平行六面体中，分别是的中点，以为顶点的三条棱长都是，则下列说法正确的是（    ）

A．平面

B．平面

C．

D．与夹角的余弦值为

【答案】ABD

【解析】A选项，连接，

由于分别是的中点，所以，

根据棱柱的性质可知，所以,

由于平面，平面，

所以平面，所以A选项正确.

B选项，，

，

，

所以，

由于平面，所以平面，B选项正确.

，

所以，即，所以C选项错误.

D选项，，，，

，

所以与夹角为，

则.

故选：ABD

11．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】对A，令得，A对；

对B，由二项式展开项通项公式可得第2项为，B错

对C，令得，C对；

对D，令得，D错.

故选：AC.

12．在棱长为1的正方体中，点满足，，则以下说法正确的是（    ）

A．当时，

B．当时，线段长度的范围是

C．当时，直线与平面所成角的最大值为

D．当时，存在唯一点使得直线与直线所成的角为

【答案】ABD

【解析】如图，以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，

由得，即，

选项A，时，，，，，A正确；

选项B，，，

，所以，，B正确；

选项C，平面的一个法向量是，

，

设直线与平面所成角为，则，由选项B得，，

，，C错误；

选项D，，，，，

，，

又，∴，即点唯一，D正确，

故选：ABD．

.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．将4名教师分到3所学校支教，每所学校至少1名教师，则有________种不同分派方法．

【答案】36

【解析】先将4名教师分成1,1,2的三组，则有种方法，然后将三组人分配到3所学校，则有种方法，所以总的有种方法.

故答案为：36.

14．如图，在平行六面体中，O是AC与BD交点．记，

则________（结果用表达）．

【答案】

【解析】在平行六面体中，，则O是BD的中点，

即，

所以.

故答案为：

15．已知，其中、、、…、是常数，则的值为________．

【答案】1

【解析】因为，

令，得，

令，得，

所以

.

故答案为：1.

16．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，，点Q是侧棱PD的中点，点M，N分别在边AB，BC上，当空间四边形PMND的周长最小时，点Q到平面PMN的距离为______．

【答案】

【解析】要使得空间四边形PMND周长最小，只需将平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面，

延长DC至，使得，

于是点N在线段的垂直平分线上，所以，

因为PD为定值，故当点P，M，N和共线时，空间四边形PMND的周长最小，

易得，即得，即，

所以，，，

以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，由题意可得，，，

则，，

设是平面PMN的一个法向量，则. 即得，

令，得，，，，

所以点Q到平面PMN的距离．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（10分）

在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为．

(1)求n的值及展开式中的常数项是第几项；

(2)展开式中系数最大的项是第几项？

【解析】（1）二项式展开式的通项公式为．

因为第3项和第4项的系数比为，所以，

化简得，解得，所以．

令，得，所以常数项为第17项．

（2）设展开式中系数最大的项是第项，则，

解得．

因为，所以或，所以展开式中系数最大的项是第7项和第8项．

18．（12分）

已知四面体ABCD的顶点坐标分别为，，，．

(1)若M是BD的中点，求直线CM与平面ACD所成的角的正弦值；

(2)若P，A，C，D四点共面，且BP⊥平面ACD，求点P的坐标．

【解析】（1）由题意，，，，，

可设平面ACD的法向量，

则，即，

化简得．

令，则，，

可得平面ACD的一个法向量，

设直线CM与平面ACD所成的角为，

则，

即直线CM与平面ACD所成的角的正弦值为；

（2）由题意，，于是点P的坐标为，

又P，A，C，D四点共面，可设，

即，

即，

解得，

所以所求点P的坐标为．

19．（12分）

（1）从等7人中选5人排成一排（请列出算式并计算出结果）

①若三人不全在内，有多少种排法？

②若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？

（2）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（请列出算式并计算出结果）

①6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

②6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；

【解析】（1）①采用间接法，若三人全在内，则只需从其余4人中任选2人，共有种；

从7人中选5人排成一排有；

所以三人不全在内，有种排法；

②若三人全在内，先从其余4人中任选2人有种选法，

且必须相邻，将捆绑进行排列有种排法，

与都不相邻，将与的整体进行插空处理，共有种；

根据分步乘法计数原理可知共有种排法；

（2）①根据题意可知，6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，

相当于在6个小球间的5个空隙中插入3个隔板，把小球分成4组，

故不同的方法有种；

②6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，

可先将6个小球进行分组，共有两种分法即2、2、1、1和3、1、1、1；再放入4个不同的盒子，故有种.

20．（12分）

如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，

(1)以为基底表示；

(2)若，且，，，求.

【解析】（1）由已知得，

则；

（2）由（1）得，

所以，

所以.

21．（12分）

如图，三棱锥中，分别是的中点.，.

(1)求证：平面平面；

(2)求与平面所成的角的正弦值；

(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【解析】（1），

，

分别是中点，，

又是中点，平面，

平面，又平面，

平面平面.

（2），，

在中，，

，，

为等边三角形，

如图，取中点，连接，

则，又平面平面，

平面，平面，

是直线和平面所成角，

，，

直线与平面所成角的正弦值为.

（3）以为原点，分别以为轴，

过作面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

，

设，则由，

得，

解得，

，

设平面的法向量，

，

，取，得，

平面的一个法向量为，

，

平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

22．（12分）

如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在平面ABC上的投影为AC的中点D，且．

(1)求点C到侧面的距离；

(2)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）因为点在底面ABC上的投影为AC的中点，所以平面ABC，

又平面ABC，故，，

因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，点为AC的中点，故，

所以，，两两垂直，故以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

.

因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，，所以，，

因为侧面为菱形，所以，

又，所以，

则，，，，，

则，，，

设平面的一个法向量为，则，

取，则，故，

所以点到平面的距离为.

（2）假设存在满足条件的点E，

则存在，使得，

则，

因为直线DE与侧面所成角的正弦值为，

所以，

即，解得，

又，故，

因此存在满足条件的点，且，即．