安徽省合肥市科大附中2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷

安徽省合肥市科大附中2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．-64的立方根是 （    ）

A．-4 B． C． D．-2

2．在3.14，，，π，，0，0.1001000100001…中，无理数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．纳米是一种长度单位，1纳米米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

5．下列说法不一定成立的是（ ）

A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则

6．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（    ）

A． B． C． D．

7．如图，数轴上与1，对应的点分别为，，点关于点的对称点为，则点表示的数为（　　）

A． B． C． D．

8．已知是一个完全平方式，则的值可能是（   ）

A． B． C．或 D．或

9．若不等式组无解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．已知，则的值是（    ）

A．5 B．9 C．13 D．17

二、填空题

11．分解因式：__________．

12．不等式的正整数解为______．

13．已知计算的结果计不含的一次项，则______．

14．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数T：m＜T＜n（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为（m，n）．例如：1＜＜2，所以的“雅区间”为（1，2）．

（1）无理数的“雅区间”是________；

（2）若某一无理数的“雅区间”为（m，n），且满足0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解，则c的值为________．

三、解答题

15．计算：．

16．解不等式组，并在数轴上表示出来．

17．计算：

18．先化简，在求值：

，其中，．

19．观察下列等式：

①；②；③；④；⑤……

(1)请按以上规律写出第⑥个等式______；

(2)猜想并写出第个等式______；并证明猜想的正确性

20．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．

1

1   1    

1   2   1    

1   3   3   1    

(1)填出展开式中共有_____项，第三项是______．

(2)利用上面的规律计算：．

21．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于

(2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积．

方法1：______；方法2：______．

(3)观察图2你能写出代数式，，之间的等量关系吗？

(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，求．

22．为应对新冠肺炎疫情，某服装厂决定转型生产口罩，根据现有厂房大小决定购买10条口罩上产线，现有甲、乙两种型号的口罩生产线可供选择．经调查：购买3台甲型口罩生产线比购买2台乙型口罩生产线多花14万元，购买4条甲型口罩生产线与购买5条乙型口罩生产线所需款数相同．

（1）求甲、乙两种型号口罩生产线的单价；

（2）已知甲型口罩生产线每天可生产口罩9万只，乙型口罩生产线每年可生产口罩7万只，若每天要求产量不低于75万只，预算购买口罩生产线的资金不超过90万元，该厂有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？最少费用是多少？

23．阅读下面内突：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵．

当且仅当时取等号；

例如：当时，求的最小值．

解：∵，∴，又∵，∴，

当时取等号，∴的最小值为8．

请利用上述结论解决以下问题：

(1)当时，当且仅当______时，有最小值为______；

(2)当时，求的最小值；

(3)解答以下问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？

参考答案：

1．A

【分析】根据立方根的定义求解即可，但是要注意符号问题．

【详解】－64的立方根

故选A．

【点睛】本题考查立方根的知识，会求一个数的立方根是做本题的关键，要注意负数的立方根是负数，正数的立方根是正数，0的立方根是0，属基础题．

2．C

【分析】根据无理数是无限不循环小数求解．

【详解】解：，

故无理数有：π，，0.1001000100001…，共个，

故选：C．

【点睛】本题考查了对实数分类的理解，掌握无理数的定义，准确求得一个数的立方根是解决本题的关键．

3．B

【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法逐项分析判断即可求解．

【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；    

B. ，故该选项正确，符合题意；    

C. ，故该选项不正确，不符合题意；    

D. ，故该选项不正确，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．

4．C

【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往右移动到的后面，所以

【详解】解：110纳米

故选：

【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．

5．C

【详解】解：A．在不等式的两边同时加上c，不等式仍成立，即，说法正确，不符合题意；

B．在不等式的两边同时减去c，不等式仍成立，即，说法正确，不符合题意；

C．当c=0时，若，则不等式不成立，符合题意；

D．在不等式的两边同时除以不为0的，该不等式仍成立，即，说法正确，不符合题意

故选C．

6．D

【分析】根据平方差公式的特点即可判断求解．

【详解】A选项：含的项符号相同，含的项符号相反，能用平方差公式计算．

B选项：含的项符号相同，含的项符号相反，能用平方差公式计算．

C选项：含的项符号相同，含的项符号相反，能用平方差公式计算．

D选项：含的项符号相反，含的项符号相反，不能用平方差公式计算．

故选D．

【点睛】此题主要考查平方差公式，解题的关键是熟知平方差公式的特点．

7．D

【分析】根据轴对称的性质以及数轴上两点之间的距离进行求解即可．

【详解】解：∵1，对应的点分别为，，

∴，

∵点关于点的对称点为，

∴，

∴点表示的数为，

故选：D．

【点睛】本题考查了轴对称的性质，数轴上两点之间的距离，熟练掌握轴对称的性质以及实数在数轴上的表示方法是解本题的关键．

8．D

【分析】利用完全平方公式的特征判断即可得到结果.

【详解】解: 是一个完全平方式，

∴=或者=

∴-2(m-3)＝8或-2(m-3)＝-8

解得:m=-1或7

故选:D

【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

9．C

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】解：由，得：，

解不等式，得：，

不等式组无解，

，

，

故选：C．

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

10．C

【分析】设，，根据完全平方公式的变形求出，则，即可利用平方差公式求出．

【详解】解：设，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，平方差公式，正确推出是解题的关键．

11．

【详解】解：

故答案为：．

12．1、2

【分析】首先解不等式，求得解集，然后确定解集中的正整数解即可．

【详解】解：

解得：

则正整数解是：1、2．

故答案是：1、2．

【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，关键是在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中所给的整数解确定解集的范围．

13．

【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据结果不含的一次项进行求解即可．

【详解】解：

，

∵计算的结果计不含的一次项，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，正确求出的结果是解题的关键．

14．     （－3，－2）     1或37

【分析】（1）根据“雅区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“雅区间”；（2）根据“雅区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出c的值．

【详解】（1）∵-3＜＜-2，

∴的“雅区间”是（－3，－2），

故答案为：（－3，－2）．

（2）∵（m，n）是“雅区间”，

∴m和n是相邻的两个整数，

又∵0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解，

∴符合条件的m和n有①m=3，n=4；②m=8，n=9；

当m=3，n=4时，将x=3，y=2代入mx﹣ny＝c得，c=3×3-4×2=1；

当m=8，n=9时，将x=8，y=3代入mx﹣ny＝c得，c=8×8-9×3=37；

∴c的值为1或37，

故答案为：1或37．

【点睛】本题考查新定义、估算无理数的大小及二元一次方程的解等知识，根据新定义结合相关知识正确分析题意是解题关键．

15．

【分析】先计算零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键，注意负数的负偶次方的结果为正．

16．，数轴见解析

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】解：

解不等式①得：

解不等式②得：

∴不等式组的解集为：

在数轴上表示表示不等式的解集如下，

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．

17．

【分析】根据单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项即可求解．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握幂的运算是解题的关键．

18．，-25．

【分析】通过整式的混合运算对原式先进行化简，再将x和y的值代入即可．

【详解】

．

将，代入化简后的式子得：

．

【点睛】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算是解决本题的关键．

19．(1)

(2)

【分析】（1）根据题干规律直接写出答案即可；

（2）找出分子两个数之间关系直接写出答案，利用完全平方公式展开合并推到证明即可得到答案；

【详解】（1）解：由题意可得，

第⑥个等式为：；

（2）解：由题干规律可得第个等式为：，

证明：∵，

∴，

∴．

【点睛】本题主要考查根据规律运算及完全平方公式应用，解题的关键是根据题干得到式子之间存在的规律．

20．(1)六，

(2)1

【分析】（1）观察题目，找到规律，写出展开式中每一项的系数即可得到答案；

（2）根据（1）所求，观察可得时，由此即可得到答案．

【详解】（1）解：由题意可得

1

1   1    

1   2   1    

1   3   3   1    

1   4   6   4   1  

1   5   10  10  5  1 ，

∴展开式中共有六项，第三项是，

故答案为：六，；

（2）解：∵，

∴当时，，

∴．

【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律问题，解题的关键是正确理解题意找到规律．

21．(1)

(2)；

(3)

(4)

【分析】（1）根据图①可知，剪开后的小长方形长为m，宽为n，可以看出图②中的阴影部分的正方形的边长等于；

（2）图②中阴影部分的面积：方法1：利用阴影小正方形的边长直接计算面积；方法2：利用大正方形的面积减去四个小长方形的面积计算；

（3）根据图②里图形的面积关系，可以得出这三个代数式之间的等量关系；

（4）根据（3）中的等量关系式，代入数值求解即可．

【详解】（1）解：由题意得，剪开后的小长方形长为m，宽为n，

∴图②中的阴影部分的正方形的边长等于，

故答案为：；

（2）解：方法①：阴影的面积为边长的平方，即；

方法②：阴影的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积，则，

故答案为：；；

（3）解：根据图②里图形的面积关系，可得；

（4）解：由（3）中的等量关系可知，

，

∴．

【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，平方根的实际应用，熟知完全平方公式是解题的关键．

22．（1）10万元；8万元；（2）该厂有3种购买方案：方案一：购买甲型3条、乙型7条；方案二：购买甲型4条、乙型6条；方案三：购买甲型5条、乙型5条；案最省钱方案：购买甲型3条、乙型7条；最少费用为86万元

【分析】（1）分别设甲、乙两种生产线的单价为x万元和y万元，由题意可列出二元一次方程组，再求解即可；

（2）设购买甲型口罩生产线m条，进而乙型口罩生产线(10−m)条，再由题意列出一元一次不等式组求解即可．

【详解】解：（1）设甲型口罩生产线每条的价格为万元，乙型口罩生产线每条的价格为万元，

根据题意得：

解得：

答：甲型口罩生产线每条的价格为10万元，乙型口罩生产线每条的价格为8万元.

（2）设购买甲型口罩生产线条，则购买乙型口罩生产线条，

根据题意得：

解得：

取整数，或4或5

该厂有3种购买方案：

方案一：购买甲型3条、乙型7条；

方案二：购买甲型4条、乙型6条；

方案三：购买甲型5条、乙型5条；

方案一所需资金为：（万元）

方案二所需资金为：（万元）

方案三所需资金为：（万元）

最省钱的购买方案为：购买甲型3条、乙型7条.最少费用为86万元.

【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意分别列出方程和不等式是解题关键．

23．(1)3，6

(2)

(3)需要用的篱笆最少是米

【分析】（1）根据例题中的公式计算即可；

（2）先化简，再运用公式计算即可；

（3）由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可．

【详解】（1）解：∵，

∴，

又∵，

∴，当且仅当时取等号．

∴的最小值为6．

故答案为：3，6．

（2），

∵，

∴，

又∵，

∴，当且仅当时取等号，

∴的最小值为，

∴的最小值为，

即的最小值为；

（3）根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米，

∵∴，

又∵，

∴，当且仅当时取等号，

∴的最小值为，

即需要用的篱笆最少是米.

【点睛】本题考查了二次根式的性质，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．