福建省漳州市第一中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题

福建省漳州市第一中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．以下历届冬奥会会标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（  ）

A． B． C． D．

2．若，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．下列因式分解正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则下列说法错误的是（    ）

A． B． C． D．

5．已知，，则的值是（    ）

A． B． C．8 D．2

6．如图，以每秒3cm的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（    ）

A．9 B．6 C．5 D．3

7．如果不等式组的解集是，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（    ）

A．3 B．6 C．9 D．12

9．如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

10．如图．是等腰直角外一点，把绕点B顺时针旋转90°到，使点在内，已知，若连接，，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．因式分解：______．

12．已知点与点是关于原点的对称点，则______．

13．若方程组的解，满足，则的取值范围为______．

14．如图，是内一点，且到三边、、的距离，若，______．

15．如图，直角，沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为4．则阴影部分的面积是______．

16．等边的边长为，点是三边垂直平分线的交点，，的两边，与，分别相交于，，绕点顺时针旋转时，下列四个结论：①；②；③周长最小值是；④面积最大值是．其中正确是______．

三、解答题

17．解下列不等式组，并把解集表示在数轴上：

18．如图，在中，，为边的中点，于点，于点，．求证：是等边三角形．

19．因式分解

(1)；

(2)．

20．已知，如图，，，；

(1)请在上作出点，使，并连接（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

(2)求出的度数．

21．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上．

(1)画出将向左平移8个单位长度得到的，并写出点的坐标；

(2)画出绕点顺时针旋转90°后得到的．

22．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，可以通过以下过程进行因式分解：

．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：

(1)分解因式；

(2)已知：，．求：的值．

23．乡村振兴作为“十四五”期间的重要战略，受到了广大人民群众的关注．党的二十大再次对全面推进乡村振兴进行部署．为了发展乡村特色产业，百花村花费3000元集中采购了甲种树苗700株，乙种树苗400株，已知乙种树苗单价是甲种树苗单价的2倍．

(1)求甲、乙两种树苗的单价分别是多少元？

(2)百花村决定再购买同样的两种树苗100株用于补充栽种．其中甲种树苗不多于33株，在单价不变，总费用不超过340元的情况下，最低费用是多少元？

24．在平面直角坐标系中，点的坐标为．一次函数的图象与轴、轴分别相交于点，．

(1)请问：点是否在一次函数的图象上，并说明理由；

(2)若点在的内部（不含边界），求的取值范围；

(3)若点在直线上，已知点，在直线上，，，，若，请判断与的大小关系，并说明理由．

25．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．

(1)尝试解决：如图①，在等腰中，，，点是上的一点，将绕点逆时针旋转旋转后得到，连接，求证：．

(2)类比探究：如图②，在“筝形”四边形中，，，于点，于点，点、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由．

(3)拓展应用：如图③，已知四边形，，，，，，求四边形的面积．

参考答案：

1．C

【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形， 故此选项符合题意；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．

故选∶C．

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．

2．A

【分析】根据不等式的性质依次判断即可．

【详解】解：A、∵，∴，故正确，符合题意；

B、∵，∴，故错误，不符合题意；

C、∵，∴，故错误，不符合题意；

D、∵，∴，故错误，不符合题意；

故选：A．

【点睛】此题考查了不等式的性质：不等式两边加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式两边乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．

3．B

【分析】根据因式分解的概念，把多项式改写成几个整式积的形式进行判断即可．

【详解】解：A、不是化成整式积的形式，故错误；

B、把多项式化成几个整式积的形式，故正确；

C、将整式积的形式化成单项式和的形式，故错误；

D、不是化成整式的积的形式，故错误；

故选B．

【点睛】本题主要考查因式分解的概念，熟练掌握因式分解的概念是解决本题的关键．

4．D

【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可判断A；根据角平分线的性质即可判断B；根据含30度角的直角三角形的性质即可判定C、D．

【详解】解：∵在中，，，

∴，

∵平分，，

∴，

在中，，

在中，，

∴，

∴，

∴四个选项中只有D选项中说法错误，

故选D．

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．

5．C

【分析】先提公因式因式分解，然后将已知式子整体代入即可求解．

【详解】解：∵，，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

6．A

【分析】连接，根据平移的性质可得，再由，可得，即可求解．

【详解】如图，连接，

∵以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：A

【点睛】本题主要考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．

7．C

【分析】利用同小取小即可确定的取值范围．

【详解】解：∵不等式组的解集是，

∴．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集，解集的规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．

8．B

【分析】连接,根据垂直平分线的性质以及轴对称的性质即可求解．

【详解】解：如图所示：连接

，，，是中点，

∴于点，

，

垂直平分，

点到，两点的距离相等，

的长度的最小值，

即的最小值为，

故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，知道的长度的最小值是解题的关键．

9．D

【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线都在直线的上方，当时，直线在x轴上方，于是可得到不等式的解集．

【详解】设A点坐标为，

把代入，

得，解得，

则A点坐标为，

所以当时，，

∵函数的图象经过点，

∴时，，

∴不等式的解集为．

故选：D

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

10．B

【分析】连接，，证明，得出，从而得出，证明为直角三角形，设，则，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质，求出，即可得出答案．

【详解】解：连接，，如图所示：

∵绕点顺时针旋转到，

∴，，

∵为等腰直角三角形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴为等腰直角三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴为直角三角形，

设，则，

∴，

∴，

∴，

故B正确．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明．

11．

【分析】利用提公因式法分解即可．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法，并根据多项式的特点选择恰当的分解方法是解题的关键．

12．1

【分析】直接利用关于原点对称点的性质，得出a，b的值，即可求解．

【详解】解：∵点与点是关于原点的对称点，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，掌握关于原点对称的点的横纵坐的特征是解题关键．

13．

【分析】将两个方程相加，得到，根据，列不等式求解即可．

【详解】解：，

①+②得：，

∵，

∴，

解得，

故答案为：．

【点睛】此题考查了加减法解二元一次方程组，正确理解方程组与不等式的关系得到是解题的关键．

14．124°/度

【分析】根据角平分线的判定定理得出平分、平分，然后根据三角形内角和定理求出，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可．

【详解】解：∵O到三边、、的距离，

∴平分，平分，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了角平分的判定、三角形内角和定理等知识，掌握在角的内部到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键．

15．20

【分析】由平移得，，根据求出，利用得到，利用公式计算可得．

【详解】解：由平移得，，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

故答案为：20

【点睛】此题考查了平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

16．①②③

【分析】连接、，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断，所以，，则可对①进行判断；利用得到四边形的面积，则可对③进行判断；作，如图，则，计算出，利用随的变化而变化和四边形的面积，当时，最小，的面积最小， 周长最小，求得此时的长则可对③④进行判断．

【详解】解：连接、，如图，

为等边三角形，

，

点是等边三边垂直平分线的交点，

，、分别平分和，

，

，即，

而，即，

，

在和中，

，

，

，，①正确；

，

四边形的面积，②正确；

作，如图，则，

，

，

，，

，

，

∴；

当时，最小，此时，

∴面积最大值是，故④不正确；

，

的周长，

当时，最小，此时，

∴周长最小值是，故③正确．

故答案为：①②③．

【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算等知识；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

17．，数轴见解析

【分析】按步骤分别求解两个不等式的解，表示在数轴上，即可得不等式组的解集．

【详解】解：

解不等式①，

得：，

解不等式②，

得：，

在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图：

因此，原不等式组的解集为．

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握相关求解步骤是解题的关键．

18．见解析

【分析】由线段中点的性质得出，进而可利用“”证明，得出，进而可证，再结合，即得出是等边三角形．

【详解】证明：∵为的中点，

∴，

∵，，

∴

在和中，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴是等边三角形．

【点睛】本题考查线段中点的性质，三角形全等的判定和性质，等角对等边，等边三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．

19．(1)

(2)

【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可；

（2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可．

【详解】（1）解：原式

（2）解：原式

【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式以及乘法公式是解决本题的关键．

20．(1)见解析

(2)

【分析】（1）作的垂直平分线交于点，故可得；

（2）根据线段垂直平分线的性质可得，结合题目条件可求出结论．

【详解】（1）解：如图，为所作的图形；

（2）解：∵，，

∴

∵，

∴，

∴

【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．

21．(1)见解析，

(2)见解析

【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点、即可．

【详解】（1）如图，为所求作三角形；；

（2）如图，为所求作三角形．

【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

22．(1)

(2)

【分析】（1）多项式前三项利用完全平方公式分解，再与最后一项，根据平方差公式分解因式即可；

（2）前两项利用平方差公式分解，后两项提取公因式6，再提公因式分解，最后代入数值计算．

【详解】（1）解：

；

（2）∵，．

∴

．

【点睛】此题考查了多项式的分解因式，正确理解题意掌握因式分解的方法是解题的关键．

23．(1)甲种树苗的单价是2元，则乙种树苗的单价是4元

(2)最低费用是334元．

【分析】（1）设甲种树苗的单价是元，则乙种树苗的单价是元，根据题意得到等量关系建立方程求出其解即可；

（2）设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，其中为正整数，总费用为w元，根据题意得，然后根据一次函数性质即可解决问题．

【详解】（1）解：设甲种树苗的单价是元，则乙种树苗的单价是元，

根据题意得：，

解得：，

∴，

答：甲种树苗的单价是2元，则乙种树苗的单价是4元；

（2）解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，其中为正整数，根据题意得：

，

解得：，

设总费用为元，

∴，

整理得，

∵，

∴随的增大而减小，

∴当时，最小，最小值为334，

答：最低费用是334元．

【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，不等式组的运用，一次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式组，一次函数的关系式，利用一次函数的性质解答．

24．(1)点是在一次函数的图象上，理由见解析

(2)

(3)，理由见解析

【分析】（1）直接将点P代入中，等式成立即可说明；

（2）求出直线与的交点，与x轴的交点，若点P在的内部，只需要即可；

（3）求出a的值，再由点在直线上的特点确定，利用方程求出k的代数式为，再根据的条件，进一步确定k的取值范围，即可求解．

【详解】（1）解：点是在一次函数的图象上

理由：∵当时，

∴点是在一次函数的图象上；

（2）由，解得

∴与的交点为

当时，，解得

∴与轴的交点

∵点在的内部，

∴；

（3）∵点，在直线上，

∴，

∵点在直线上，

∴点为与的交点为，即

∵，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴在函数中，随着值得增大而减小，

∴当时，

【点睛】本题考查一次函数的性质；①利用代入法判断点是否在直线上；②将点在三角形内部问题转化为两直线交点，再进步求解；③利用代入法确定k的代数式是解题的关键．

25．(1)证明见解析；

(2)，理由见解析；

(3)

【分析】（1）由旋转的性质可知，，，进而得到，利用“”即可证明；

（2）将绕点旋转后得到，此时与重合，得到，证明点、、三点共线，再证明，即可得到、、之间的数量关系；

（3）连接，将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，延长，作于，由旋转的性质可知，，，，利用勾股定理，得到，进而得到，再利用勾股定理，求得，设等边的高为，求出，进而得到，即可求出四边形的面积．

【详解】（1）解：由旋转性质可知，，，

，

，

，

在和中，

，

；

（2）解：，理由如下：

，

如图，将绕点旋转后得到，此时与重合，

，

，，，，

，，

，

点、、三点共线，

，，

，

，

在和中，

，

，

，

；

（3）解：如图，连接，

，

将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，延长，作于，

由旋转的性质可知，，，，

是等边三角形，，，

，，

，

，

，，

，

由勾股定理得：，

，

，

，

，

设等边的高为，

，

，

．

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，利用旋转的性质作辅助线是解题关键．