2022-2023学年浙江省宁波市北仑区联合实验中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省宁波市北仑区联合实验中学七年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列现象属于数学中的平移的是(    )

A. 树叶从树上随风飘落 B. 升降电梯由一楼升到顶楼
C. 汽车方向盘的转动 D. “神舟”号卫星绕地球运动

2.  将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知是方程的一个解，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，和是同位角的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  若的展开式中不含的二次项，则化简后的一次项系数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，还差钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知，那么代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  已知，用含的代数式表示，则______．

12.  已知，，代数式的值为______ ．

13.  若是完全平方式，则的值是______．

14.  若，，则 ______ ．

15.  已知关于，的二元一次方程组，当这个方程组的解，的值互为相反数时，的值为______ ．

16.  如图，直线直线，垂足为，如图放置，过点作交直线于点，在内取一点，连接，．
若，，则______．
若，，则______用含的代数式表示

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
因式分解：
；
．

18.  本小题分
解方程组：
；
．

19.  本小题分
如图，在正方形网格中有一个三角形，图中每一个小正方形边长为，按要求完成下列各题：
将三角形向右平移格，再向上平移格后得到三角形，画出三角形；
求三角形的面积．

20.  本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中，．

21.  本小题分
如图，直线，被，所截，已知：，．
试判断，的位置关系，并说明理由；
已知平分，若，求的度数．

22.  本小题分
为了创建国家卫生城市，需要购买甲、乙如图两种类型的分类垃圾桶替换原来的垃圾桶，，，三个小区所购买的数量和总价如表所示．

问甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的单价分别是每套多少元？
求，的值．
 

23.  本小题分
教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式；
求代数式的最小值，．
可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
分解因式：______．
当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
利用配方法，尝试解方程，并求出，的值．

24.  本小题分
如图，直线，一副三角尺按如图放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．

求的度数．
如图，若将三角形绕点以每秒度的速度按逆时针方向旋转的对应点分别，，设旋转时间为．
在旋转过程中，若边，求的值．
若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒度的速度按顺时针方向旋转的对应点为，，请直接写出当边时的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、树叶从树上随风飘落不属于平移，故此选项不合题意；
B、升降电梯由一楼升到顶楼属于平移，故此选项符合题意；
C、汽车方向盘的转动属于旋转，故此选项不合题意；
D、“神舟”号卫星绕地球运动属于旋转，故此选项不合题意；
故选：．
利用平移的性质进行分析即可．
此题主要考查了生活中的平移，关键是掌握平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：是方程的一个解，
满足方程，
，即，
解得．
故选：．
把方程的解代入方程，把关于和的方程转化为关于的方程，然后解方程即可．
本题主要考查了二元一次方程的解．解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数为未知数的方程．
 

4.【答案】 

【解析】

解：根据同位角的定义，观察上图可知，
A、和是内错角，不是同位角，故此选项不符合题意；
B、和不是同位角，故此选项不符合题意；
C、和是同位角，故此选项符合题意；
D、和不是同位角，故此选项不符合题意，
故选：．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角．据此对各选项进行分析即可得出结果．
本题主要考查同位角的概念，解题的关键是掌握同位角的概念．  

5.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
D、右边不是整式的积的形式含有分式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故选：．
利用因式分解的定义判断即可．
此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
 

7.【答案】 

【解析】

解：原式
，
展开式中不含的二次项，
，
解得．
，
一次项系数为．
故选：．
【分析】根据多项式乘多项式计算法则展开后合并同类项，再根据展开式中不含的二次项求出的值即可．
本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练根据多项式乘多项式的计算法则将原式展开．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．设合伙人数为人，羊价为钱，根据羊的价格不变列出方程组．
【解答】

解：设合伙人数为人，羊价为钱，
根据题意，可列方程组为：．
故选：．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式整理后代入计算即可求出值．
【解答】
解：，
，
原式


，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

解：设的边长为，的边长为，
由甲、乙阴影面积分别是、可列方程组，
将化简得，
由得，将代入可知．
故选：．
【分析】先设出正方形、的边长，然后分别表示出甲、乙图中的阴影面积，再变形可得答案．
本题考查完全平方公式，表示出阴影部分的面积是解题的关键．  

11.【答案】 

【解析】解：方程，
解得：．
故答案为：．
把看做已知数表示出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
把，代入原式，
则原式．
故答案为：．
将所求代数式分解后，代入条件即可．
本题考查了因式分解的应用，正确的分解及代入是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
．
，
故答案为：．
根据是一个完全平方式，利用此式首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的倍，进而求出的值即可．
此题主要考查的是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．
 

14.【答案】 

【解析】解：当，时，





．
故答案为：．
利用幂的乘方的法则及同底数幂的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
得，，
两边同除以得，，
方程组的解，的值互为相反数，
，
，
解得：．
故答案为：．
两个方程组相加，得到，求出，根据方程组的解，的值互为相反数可得的值．
本题主要考查了二元一次方程组的解，求得是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：过点作，
，
，
，
，，
；
，
，
，
，
，，
由同理可得：，
故答案为：；
过点作，利用平行线的性质解答即可；
根据平行线的性质和角的关系解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

18.【答案】解：，
把代入得，
解得
把代入得，
则方程组的解为；
，
由得，
解得，
把代入得，
解得，
原方程组的解为． 

【解析】利用代入消元进行计算即可．
利用加减法消元进行计算即可．
本题考查了解二元一次方程组，正确计算是解题关键．
 

19.【答案】解：如图所示：即为所求；

的面积为：． 

【解析】直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
利用三角形面积公式得出答案．
此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
 

20.【答案】解：

；




，
当，时，原式． 

【解析】先根据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂进行计算，再算加减即可；
先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，零指数幂和负整数指数幂等知识点，能正确根据整式的运算法则和零指数幂、负整数指数幂的定义进行计算是解此题的关键．
 

21.【答案】解：，理由如下：
如图，

，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
平分，
． 

【解析】由邻补角的定义可得，利用同位角相等，两直线平行可判定；
由对顶角相等得，利用平行线的性质可求得，再由角平分线的定义即可求的度数．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
 

22.【答案】解：设甲型垃圾桶的单价是元套，乙型垃圾桶的单价是元套．
依题意得：，
解得．
答：甲型垃圾桶的单价是元套，乙型垃圾桶的单价是元套．

由题意得：，
整理，得，
因为、都是正整数，
所以或． 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．
设甲型垃圾桶的单价是元套，乙型垃圾桶的单价是元套．根据图表中的甲型、乙型垃圾桶的数量和它们的总价列出方程组并解答．
根据图表中的数据列出关于、的二元一次方程，结合、的取值范围来求它们的值即可．
 

23.【答案】解：；
，
当时，多项式有最大值，这个最大值是；
，


，，
解得，，． 

【解析】解：


，
故答案为：；
根据题目中的例子，先将所求式子配方，然后即可得到当为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；
将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到、的值．
本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．
 

24.【答案】解：如图中，

，
，
平分，
，
，
，
，
；
如图中，

，
，
，
，
，
．
在旋转过程中，若边，的值为；
如图中，当时，延长交于，

，
，
，，
，
，
；
如图中，当时，延长交于．

，
，
，，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或． 

【解析】利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题；
首先证明，由此构建方程即可解决问题；
分两种情形：如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题．如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题．
本题考查考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．