2023年高考第三次模拟考试卷-数学（全国甲卷理）（参考答案）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

数学·参考答案

13．-4 （5分）

14． （5分）

15．  （5分）

16．（5分）

17．解：记“第回合发球，甲胜”为事件，=1，2，3，且事件相互独立．

（1）记“3个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件，

则事件发生表示事件或或发生，且，，互斥．           

又，（2分）

，（3分）

．          （4分）        

由互斥事件概率加法公式可得

．（5分）

答：3个回合后，甲与乙比分为2比1的概率为0.336．   

（2）因表示3个回合后乙的得分，则0，1，2，3．

，， （6分）

．  (7分）

．        （8分）

所以，随机变量的概率分布列为：（10分）

故随机变量的数学期望为=．（12分）

答：的数学期望为1.376．

18.（1）(1)证明　由（3分）

即－＝，n∈N*，故数列是等差数列.（6分）

(2)由（1）知＝＋＝，（9分）

所以，n∈N*.（12分）

19．（1）证明：在四边形中，作于，于，

因为，

所以四边形为等腰梯形，（2分）

所以，

故，，

所以，

所以，（4分）

因为平面，平面，

所以，

又，

所以平面，

又因为平面，

所以；（6分）

（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

，

则，

则，（8分）

设平面的法向量，

则有，可取，（10分）

则，（12分）

所以与平面所成角的正弦值为.

20．（1）（1）解：设直线，，

由可得，，（2分）

所以，

所以当，即与x轴垂直时弦长最短，此时，所以，

所以抛物线C的方程为；（4分）

（2）解：设，直线

由可得，，（6分）

由斜率公式可得，，

直线，代入抛物线方程可得，（8分）

，所以，同理可得，（10分）

所以，所以．（12分）

21.（1）由题意函数的定义域为，且，

因为函数的图象在处切线与直线平行，

可得，解得，（2分）

所以，则，（3分）

由，即，得，故在上单调递减；（4分）

由，即，得，故在上单调递增.（5分）

（2）由，因为是函数的两个零点，

可得，

两式相减，可得，（6分）

整理得，即，所以，（8分）

令，由，知，

则

构造函数，则有，（10分）

所以函数在上单调递增，故，即，

又，所以，即.（12分）

22．（1）曲线普通方程，将，代入上式化简得的极坐标方程为．（3分）

（2）曲线的极坐标方程化为平面直角坐标方程：，（4分）将代入上式得，解得（舍去）．（5分）

当时，，所以与交点的平面直角坐标为．（7分）

因为，（9分）

所以，故与交点的极坐标．（10分）

考点：坐标系与参数方程．

23．(1)因为a，b，c∈R＋，

所以2＝a＋b＋c≥，两边同时取三次幂得，故.（2分）

当且仅当a＝b＝c＝时等号成立，所以abc的最大值为；（4分）

(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，

可得＝ (a＋b＋c)

＝

，（8分）

当且仅当时等号成立.

所以.（10分）