2023年高考第三次模拟考试卷-数学（新高考Ⅰ卷A卷）（全解全析）

这是一份2023年高考第三次模拟考试卷-数学（新高考Ⅰ卷A卷）（全解全析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年高考数学第三次模拟考试卷 全解全析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合，，则的元素个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】，，且，，又，则，的元素个数为3个．故选：2．设在复平面内对应的点为，则“点在第四象限”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】A【解析】由题知，在复平面内对应的点为，因为点在第四象限，即，，即，或，所以“点在第四象限”是“”的充分不必要条件，故选：A3．已知是各项不相等的等差数列，若，且成等比数列，则数列的前6项和（    ）A．84 B．144 C．288 D．110【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由成等比数列，则，即，整理可得，由数列各项不相等，解得，即，，故.故选：A.4．已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，则，即，则，所以向量在向量上的投影向量的坐标为.故选：.5．函数的部分图象大致形状是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为的定义域为R.定义域关于原点对称，，所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D，当时，令可得或，所以时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A，故选：C.6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ）种．A．20 B．4 C．60 D．80【答案】C【解析】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有种分配方案；再安排5名女生，若将每个女生随机安排，共有种分配方案，若女生都在同一小组，共有种分配方案，故保证每个小组都有女生，共有种分配方案；所以共有种分配方案.故选：C.7．刍(chú)甍(méng)是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为，底边宽为，上棱长为，高为，则它的表面积是（    ）A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】设几何体为，如下图所示：矩形的面积为，侧面为两个全等的等腰三角形、，两个全等的等腰梯形、，设点、在底面内的射影点分别为、，过点在平面内作，连接，过点在平面内作，连接，平面，、平面，，，，，平面，平面，，易知，，则在中，斜高为，所以，，同理可知，梯形的高为，所以，，因此，该几何体的表面积为.故选：B.8．如图，椭圆的左焦点为，右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为（    ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，做轴于点，因为四边形是等腰梯形，则，则点的横坐标为，代入椭圆方程，可得，即，因为，则，由，则，化简可得，，同时除可得，即，对于当时，，当时，，在时，方程有根，且，故应舍，所以.故选:D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（    ）A．营业收入增速的中位数为 B．营业收入增速极差为C．利润总额增速越来越小 D．利润总额增速的平均数大于【答案】ABD【解析】由表中数据易知营业收入增速的中位数为，故选项正确；营业收入增速的极差为，故选项正确；利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项错误；利润总额增速的平均数，故选项正确；故选：.10．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用，，分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（    ）A．，，两两互斥 B．C．与B是相互独立事件 D．【答案】AB【解析】对于A，由题意可知，，不可能同时发生，所以，，两两互斥，所以A正确，对于B，由题意可得，所以，所以B正确，对于C，因为，，所以，所以与B不是相互独立事件，所以C错误，对于D，由C选项可知D是错误的，故选：AB11．已知是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连结交C于点B，则（    ）A．C的方程为 B．C．的周长为 D．的内切圆半径为【答案】ABD【解析】对A，将点A的坐标代入双曲线方程，并由 得下列方程组：，解得，∴双曲线，A正确；对B，，，，，∴，B正确；对C， ， ，，周长，C错误；对D，令 ，则 ，  ，在 中， ，∴，设 的周长为l，内切圆半径为r， ，由三角形面积公式知： ，   ，D正确；故选：ABD．12．已知函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则下列结论中一定正确的是（    ）A． B．  C． D．【答案】ABD【解析】因为为奇函数，定义域为R，所以，故，等式两边同时取导数，得，即①，因为的图象关于y轴对称，则，故，等式两边同时取导数，得②.由，令，得，解得，由，令，得，由②，令，得，令，得，解得，故选：ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若，则_____．【答案】【解析】令可得，则，所以，，所以，为展开式中的系数，的展开式通项为，所以，.故答案为：.14．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则______.【答案】    【解析】设直线的方程为，即则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得，所以，因为，故.故答案为：.15．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．【答案】【解析】因为100个数据，，，…，的平均值，方差，所以的估计值为，的估计值为．设该市高中生的身体素质指标值为X，由， 得，所以．故答案为：.16．已知函数.若，则a的取值范围是___________.【答案】【解析】当时，恒成立；当时，此时应有，即.令,，则.设，则恒成立，所以，即单调递增.又，则要使在上恒成立，应有在上恒成立，即在上恒成立.又时，，所以；当时，此时应有，即.令，则.令，则恒成立，所以，即单调递减.又，则要使在上恒成立，应有在上恒成立，即在上恒成立.因为，在上单调递减，所以，所以.综上所述，a的取值范围是.故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在四边形中，已知，，．（1）若，求的长；（2）求面积的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）在中，由余弦定理，得，∴，整理得,解得或（舍去）．∴，而,故,∴，故在中，，∴；（2）设,则在中，,则，所以，当，即时，面积取到最大值.18．记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列.（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；；（2）.【解析】（1）∵，，∴，，设，则，，又∵数列为等差数列，∴，∴，∴，当时，，∴，∴，又∵，∴，即：，又∵，∴是以1为首项，为公比的等比数列，∴，即；（2）∵，且，∴，∴，∴.19．如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，.（1）求证：平面平面；（2）若为线段上一点，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：等腰梯形中，，，作交于，如图，则是菱形，，是等边三角形，则，，，所以，即，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）点在底面的射影为，由（1），得在上，且，又，所以，而由（1）知，因此，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，则，又，，所以，设（），，，，设平面的法向量为，则，取，则，取平面的法向量，，则（负值舍去），即，，设直线与平面所成的角为，则，所以，直线与平面所成的角正弦值为.20．第届亚运会将于年月日至月日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．（1）求这人中至多有人通过初赛的概率；（2）求这人中至少有人参加市知识竞赛的概率；(3)某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励元；方案二：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元．若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．【答案】（1）；（2）；（3）方案二更好，理由见解析【解析】（1）人全通过初赛的概率为，所以，这人中至多有人通过初赛的概率为.（2）甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，丙参加市知识竞赛的概率为，所以，这人中至少有人参加市知识竞赛的概率为.（3）方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，且，所以元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，则的所有可能取值为、、、，则，，，，所以，.所以，，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．21．已知抛物线的焦点为，准线与抛物线的对称轴的交点为，点在抛物线上，且．（1）求抛物线的方程；（2）若直线交抛物线于两点，点A在轴上的投影为，直线分别与直线（为坐标原点）交于点，与直线交于点，记的面积为，的面积为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）作，垂足为，则.因为，所以，. 因为点在抛物线上，所以，消去得：，解得.所以抛物线的方程为.（2）设，由，消去得.则，因为，所以，则.依题意知直线的方程为，直线的方程为.由，得点的坐标为.由得的坐标为.  要证，即证，即证. 即证，即证. 因为，，所以.即，所以.22．已知函数．（1）若，，求实数a的取值范围；（2）设是函数的两个极值点，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）依题意，.①当时，在上，所以在上单调递减，所以，所以不符合题设.        ②当时，令，得，解得，所以当时，所以在上单调递减，所以，所以不符合题设.③当时，判别式，所以，所以在上单调递增，所以.综上，实数a的取值范围是.（2）由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点. 由（1）知，，，则.综上，要证，只需证，因为，设，.所以，所以在上单调递增，所以.所以，即得成立．所以原不等式成立.