2023年高考第三次模拟考试卷-数学（广东A卷）（全解全析）

这是一份2023年高考第三次模拟考试卷-数学（广东A卷）（全解全析），共24页。试卷主要包含了若不等式的解集为区间，且,则，若函数有零点，则a的取值范围是等内容，欢迎下载使用。

2023年高考数学第三次模拟考试卷A
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．设复数​满足​，则​（    ）
A．​ B．​ C．​ D．​
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解.
【详解】设则
即
即
解得

故选：C.
2．已知集合，，若，则（    ）
A．1 B．0或1或3 C．0或3 D．1或3
【答案】C
【分析】由题意可得或，求出的值，检验是否满足元素的互异性即可求解.
【详解】因为，所以或.
①若，则，满足；
②若，则或，
当时，，满足；
当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意；
综上所述：或，
故选：C.
3．已知m，n表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（    ）
A．存在平面，有， B．存在平面，有，
C．存在直线，有， D．存在直线，有，
【答案】A
【分析】根据空间线线，线面的位置关系及充分条件必要条件的概念逐项分析即得.
【详解】对A，若，，则直线m，n可以平行，也可以相交，还可以异面；若，则存在平面，有，，
即存在平面，有，是使成立的必要不充分条件，故A正确；
对B，若，，则；若，则存在平面，有，，
即存在平面，有，是使成立的充分必要条件，故B错误；
对C，若，，则直线；若，则不存在直线，有，，
即存在直线，有，是使成立的既不充分又不必要条件，故C错误；
对D，若，，则；若，则存在直线，有，，
即存在直线，有，是使成立的充分必要条件，故D错误.
故选：A.
4．“锦里开芳宴，兰缸艳早年.”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动福袋中装有标号分别为1， 2， 3， 4， 5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出抽一次获奖的概率，设5人中获奖人数为，则，然后由二项分布的概率公式计算概率．
【详解】每次抽奖中，总情况数为种，获奖的共有这4种，所以，设5人中获奖人数为，则，
所以，
故选：C.
5．已知双曲线的左､右焦点分别为，，点，则的平分线的方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先依题意判断，设的平分线交x轴于M，设，计算，求得，即得角平分线所在直线的斜率，再根据点斜式写直线方程即可.
【详解】如图，依题意知，，而 点在双曲线上，故，
，.

设的平分线交x轴于M，设，则，
有，即，，
化简解得，故的平分线所在直线的斜率，
所以的平分线的方程为，即.
故选：A.
6．若不等式的解集为区间，且,则（    ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】将问题转化为半圆位于直线下方的区间长度为2，由此可得，求出直线与半圆的交点坐标即可求得的值.
【详解】解：如图所示：

因为表示以坐标原点为圆心，4为半径位于轴上方(含和轴交点)的半圆，
表示过坐标原点及第一三象限内的直线，
又因为不等式的解集为区间，且,
即半圆位于直线下方的区间长度为2，
所以，
所以直线与半圆的交点，所以.故选：C.
7．如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可推得，，，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果.
【详解】由已知，，，，
所以.
由已知是的中点，所以，
，.
所以，
，
所以，.故选：B.
8．若函数有零点，则a的取值范围是（    ）
A．[，] B．
C．（0，） D．（，+∞）
【答案】A
【分析】构造函数=，利用函数单调性可得即得.
【详解】由有解，
可得，=，
因为与在[1，+∞）都是增函数，
所以在是增函数，又时，
所以当时有零点.故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．中国共产党第二十次全国代表大会的报告中，一组组数据折射出新时代十年的非凡成就，数字的背后是无数的付出，更是开启新征程的希望.二十大首场新闻发布会指出近十年我国居民生活水平进一步提高，其中2017年全国居民恩格尔系数为29.39%，这是历史上中国恩格尔系数首次跌破30%.恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特·恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数”.恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，50%~60%为温饱，40%~50%为小康，30%~40%为富裕，低于30%为最富裕.如图是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知（    ）

A．城镇居民2015年开始进入“最富裕”水平
B．农村居民恩格尔系数的平均数低于32%
C．城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%
D．全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数
【答案】AC
【分析】根据折线统计图一一分析即可.
【详解】解：对于A：从折线统计图可知年开始城镇居民的恩格尔系数均低于，即从2015年开始进入“最富裕”水平，故A正确；
对于B：农村居民恩格尔系数只有、、这三年在之间，
其余年份均大于，且、这两年大于（等于），
故农村居民恩格尔系数的平均数高于，故B错误；
对于C：城镇居民恩格尔系数从小到大排列（所对应的年份）前位分别为、、、、，
因为，所以第百分位数为第位，即年的恩格尔系数，由图可知年的恩格尔系数高于，故C正确；
对于D：由于无法确定农村居民与城镇居民的比例，显然农村居民占比要大于，
故不能用农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数作为全国居民恩格尔系数，故D错误；
故选：AC
10．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于y轴对称，则下列说法正确的有（    ）
A．
B．函数图象的对称轴过函数图象的对称中心
C．在区间上，函数与都单调递减
D．，使得
【答案】ABD
【分析】根据平移得出的解析式，再根据对称关系，得出的取值，再根据三角函数性质即可判断A、B、C三个选项，D选项题意为在区间内，的值域是值域的子集，求出两个函数值域即可作出判断.
【详解】A． 的图象向左平移个单位得，因为的图象与的图象关于y轴对称，所以，A正确；
B．，其对称轴为，，其对称中心为，B正确；
C．当，在此区间单调递减，在此区间单调递增，C错误；
D．当时，的值域为，的值域为，因此，使得，正确.
故选：ABD
11．已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆交轴于两点，交准线于点，则下列说法正确的是（    ）
A．以为直径的圆与轴相切
B．若抛物线上的点到的距离为2，则抛物线的方程为
C．
D．的最小值为
【答案】AC
【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件可判断AB，设直线的方程，与抛物线联立利用韦达定理法可得以为直径的圆与准线相切进而可判断C，根据圆的弦长公式求出的表达式可判断D，
【详解】由题意可得抛物线的焦点，准线方程为，
设，则的中点，
对于A，，则以为直径的圆的半径为，的中点的横坐标为，
所以的中点到轴的距离为，即以为直径的圆与轴相切，所以A正确；
对于B，因为抛物线上的点到的距离为2，所以，得，则抛物线的方程为，所以B错误；
对于C，设直线的方程为，则的中点，
由，得，
所以，
所以，
所以，则以为直径的圆的半径为，的中点的横坐标为，
所以的中点到准线的距离为，即以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切，
所以为切点，，，故C正确；
对于D，，所以当时，取得最小值，所以D错误.
故选：AC.
12．下列不等关系中，正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】构造函数，利用函数导数及性质每项验证.
【详解】对A，令，则 ，
当e 时，，此时在（0，e）上单调递增，
当e时，，此时在（e，）上单调递减，
所以，，所以，故A正确；
对B，令，则，
当e 时，，此时在（0，e）上单调递增，
当e 时，，此时在（e，）上单调递减，
由e，所以，
故B错误；
对C，由时，所以，令，
当时，，此时在上单调递减，
当 时，，此时在上单调递增，
所以，所以，当时取等号，
所以 ，即，
又，所以，所以，故C正确
对D，由
又 （，当时取等号）
所以即，即，故D正确
故选：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．的展开式的常数项是___________．
【答案】70
【分析】利用通项公式求解，常数项由三种情况合并而成，分别求解即可.
【详解】的通项公式为；
当时，中的常数项为；
当时，中的常数项为；当时，；
所以的展开式的常数项为；
故答案为：70.
14．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．
（结果保留一位小数，参考数据：，）
【答案】2.6
【详解】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列 ，其 ，公比为 ，其前 项和为 ．莞（植物名）的长度组成等比数列 ，其，公比为 ，其前 项和为 ．
则，
令 ，
化为：，
解得 或 （舍去）．
即： .
所需的时间约为日.
15．若过点与曲线相切的直线有两条，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，可得切线方程，代入点坐标，可得，设，利用导数求得的单调区间和极值，结合题意，即可求得a的范围.
【详解】由题意得：，设切点为，
所以切线的斜率，又，
所以切线方程为，
因为点在切线上，代入可得，
整理可得
设，
则，令，可得，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，
因为过点A与相切的直线有两条，
所以方程有2个根，
又当时，，当时，，
所以，解得.
故答案为：
【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求函数的单调区间、极（最）值的方法，并灵活应用，难点为将两条切线问题，转化为方程有2个根，再根据函数性质求解，属中档题.
16．已知正方体的棱长为1，是空间中任意一点．给出下列四个结论：
①若点在线段上运动，则始终有；
②若点在线段上运动，则过，，三点的正方体截面面积的最小值为；
③若点在线段上运动，三棱锥体积为定值；
④若点在线段上运动，则的最小值为．
其中所有正确结论的序号有________．
【答案】①③④
【分析】由平面判断①；由向量法判断②；由等体积法判断③；将与四边形沿展开在同一平面上，由余弦定理得出的最小值.
【详解】对于①：如下图，连接，所以，又，所以，
因为平面，所以，由线面垂直的判定可知，
平面，因为平面，所以，故①正确；

对于②：在上取一点，使得，连接，
易知，且，即四点共面，
即过，，三点的截面为截面.
以点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：

，
因为，，
所以截面的面积为
，
当时，，，三点的正方体截面面积最小值为，故②错误；
对于③：如下图，由已知得，所以直线上所有点到平面
的距离相等，又，而是一个定值，所以三棱锥体积为定值，故③正确；

对于④：如下图，将与四边形沿展开在同一平面上，由图可知，线段
的长度即为的最小值，在中，
，故④正确；

故答案为：①③④
【点睛】方法点睛：本题考查空间中的动点问题，解决此类问题时，常需证明线线，线面，面面间的平行和垂直关系，从而得出点运动中，存在的不变的位置关系，存在着面积或体积的定值.
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在中，、、分别是角A、B、C的对边，.
(1)求B的大小；
(2)若，求的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知等式化简可得，结合余弦定理即可求得B的大小；
（2）由正弦定理及三角恒等变换即可得周长，再根据正弦型函数的性质即可得的取值范围.
【详解】（1）由得：
整理得，由余弦定理得，
又，所以；
（2）由正弦定理得，所以，
则的周长
，
因为，所以，所以，
所以周长的取值范围为.
18．设为等差数列的前项和，其中，且．
（1）求常数的值，并写出的通项公式；
（2）设为数列的前项和，若对任意的，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）由可求得，根据等差数列定义可求得公差，结合可求得和；
（2）由等比数列求和公式可求得，进而得到的范围，解绝对值不等式可求得结果.
【详解】（1）由及得：，，
解得：，，
又为等差数列，的公差，
，解得：；.
（2）由（1）知：，，
，，解得：，
，，即，，
，解得：，即实数的取值范围为.
19．某乡镇全面实施乡村振兴，大力发展特色产业——富硒水果．工作人员统计了近8年富硒水果种植面积（单位：百亩）与年销售额（单位：千万元）的数据．经计算得到如下处理后的统计量：，，，，，，，，，其中，．
(1)根据以上数据，从相关系数的角度，判断与哪个适宜作为年销售额关于种植面积的回归方程类型（相关系数精确到0.01）．
(2)根据（1）的判断结果及相关数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.01）．
(3)该乡镇计划年销售额不低于10亿元，请预测种植面积至少为多少亩．
附：相关系数，回归直线的斜率与截距的最小二乘估计分别为，．
参考数据：，．
【答案】(1)适宜作为年销售额关于种植面积的回归方程类型
(2)
(3)706亩
【分析】（1）根据已知条件与相关系数公式求出相关系数，的值，然后根据，的绝对值的大小，可知适宜作为年销售额关于种植面积的回归方程类型；
（2）通过公式求出回归系数，的值，从而可求出回归方程；
（3）把已知数据代入回归方程，即可求出预测值.
【详解】（1）若用作为年销售额关于种植面积的回归方程类型，则设，则．
设与的相关系数为，则．
由，，得，
则，所以．
若用作为年销售额关于种植面积的回归方程类型，则．
设，则．
设与的相关系数为，则
．
因为，所以适宜作为年销售额关于种植面积的回归方程类型．
（2）．
由，得．
，
所以关于的线性方程为，则关于的回归方程为．
（3）由题意可知．整理，得，
因为，
解得或（舍去），
故种植面积至少为706亩．
20．如图，在四棱锥中，底面为菱形，是边长为2的正三角形，．

(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为2，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，，，先证得和，得出平面，故，结合即可证得结论；
（2）由四棱锥的体积为2得出底面，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，得出平面和平面的一个法向量为和，求出，观察得出二面角为钝角，即可得出答案．
【详解】（1）
如图，取中点，连接，，，
底面为菱形，，
是等边三角形，，
又点为中点，，
是等边三角形，，
，且两直线在平面内，平面，
平面，，
又，．
（2）是边长为2的正三角形，点为中点，，
四边形为菱形，，，，
设四棱锥以菱形为底，高为，由，得，
又，底面，
如图，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

则，，，易得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，，，
由得，取，得，，，
，
观察得二面角为钝角，二面角的余弦值为．
21．P为圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)在（1）中曲线与轴的两个交点分别为和，、为曲线上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求该定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）依题意可得，即可得到，根据椭圆的定义得到点的轨迹是以、为焦点的椭圆，从求出、、，即可得解；
（2）设、，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设，由、、三点共线及、、三点共线得到，从而得到直线的方程，再联立直线与直线的方程，求出在定直线上，要使的面积为定值，此时点一定为过点且与直线平行的直线与椭圆的交点，求出点坐标，即可求出三角形的面积.
【详解】（1）解：直线的垂直平分线交直线于点
，，
由椭圆的定义可知，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，
、，则，
点的轨迹方程为．
（2）证明：设、，直线的方程为，
与椭圆方程联立，得 ，得，
则 由根与系数的关系得 ，，
由（1）知，，设，

由、、三点共线得，由、、三点共线得，
则

.
所以的斜率，则直线的方程为，
联立直线与直线的方程，可得，解得，
因此在定直线上，使得的面积为定值的点一定为过点且与直线平行的直线与椭圆的交点，
由，解得或，此时的坐标为或，
所以的面积．
22．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，且，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明过程见解析
【分析】（1）求导，根据一元二次方程根的判别式和求根公式分类讨论进行求解即可；
（2）根据（1）的结论、极值的定义，结合分析法、构造新函数法，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解证明即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
，
设，设，
当时，即，单调递减，
当时，即，
，
若，，
由，
由，
当时，
由，
由，
综上所述：当时，函数是上的减函数，
当时，函数在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，
在上单调递增；
（2）由（1）可知：当时，函数在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
所以是函数两个极值点，
即，显然有，
要证明，
只要证明，

，
构造新函数，
二次函数的对称轴为，
当时，该二次函数的最大值为，
所以当时，单调递减，
所以有，
因此成立，即成立.
【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数的关系把用两根的关系替换掉、把两根统一成一个根，通过构造新函数，利用导数的性质进行证明是解题的关键.