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    2023年高考第三次模拟考试卷-数学(云南,安徽,黑龙江,山西,吉林五省通用B卷)(全解全析)

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    2023年高考第三次模拟考试卷-数学(云南,安徽,黑龙江,山西,吉林五省通用B卷)(全解全析)

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    这是一份2023年高考第三次模拟考试卷-数学(云南,安徽,黑龙江,山西,吉林五省通用B卷)(全解全析),共22页。试卷主要包含了以下说法正确的是等内容,欢迎下载使用。


    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
    需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写
    在本试卷上无效。
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
    第Ⅰ卷
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.已知集合,集合,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】因为,,
    可得,
    因为,,
    即,可得,
    取交集可得,
    故选:B.
    2.已知复数满足,则复数在复平面内对应的点位于( )
    A.第一象限B.第二象限
    C.第三象限D.第四象限
    【答案】A
    【解析】,
    所以复数在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.
    故选:A.
    3.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】依题意,,
    于是,
    所以.
    故选:A
    4.已知函数的部分图象如图所示,则此函数的解析式可能是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【解析】对于A,,
    又的定义域为,
    为上的奇函数,图象关于原点对称,与已知图象相符;
    当时,为增函数,为增函数,又在上单调递增,
    由复合函数单调性可知:在上单调递增,
    又,
    在上单调递减,与已知图象不符,A错误;
    对于B,由得:,的定义域为,与已知图象不符,B错误;
    对于D,,
    不是奇函数,图象不关于原点对称,与已知图象不符,D错误.
    故选:C.
    5.已知抛物线的焦点为,准线为,直线过且与抛物线交于,两点,与交于点,则( )
    A.0B.C.D.或
    【答案】A
    【解析】不妨假设交点在轴右侧,分别过,作准线的垂线,垂足分别为,,
    由三角形的相似及抛物线的定义知,
    因此恒有,结合所涉及的四个向量的方向可知,
    也即,
    故选:A.
    6.已知函数是在区间上的单调减函数,其图象关于直线对称,且,则的最小值为( )
    A.2B.12C.4D.8
    【答案】C
    【解析】因为函数的图象关于直线对称,所以,,所以,,
    根据,则,,
    因为是在区间上的单调减函数.
    所以,
    ,,
    因为,所以或,
    当时,,当时,;
    由于,是在区间上的单调减函数,
    且,所以为的一个对称中心,
    则,
    所以,,,,,
    ,,,根据或,
    可得,或,
    所以的最小值为4.
    故选:C.
    7.如图,直三棱柱中,,点分别是棱的中点,点在棱上,且,截面内的动点满足,则的最小值是( )
    A.B.C.D.2
    【答案】C
    【解析】由题意知,,,
    又平面,所以平面.
    设点在平面内的投影为,
    则点在线段上,且,
    即,所以,
    设点在线段上,且,
    则四边形是一个正方形,点的轨迹是其对角线.
    将与展开到一个面内,得到如图图形,
    因此的最小值是,
    由余弦定理,得,
    所以.
    故选:C.
    8.若函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】函数的定义域为,

    设,则,
    令,令,
    所以函数在上单调递减,在上单调递增,且,
    所以,所以,
    函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的解,
    则,
    等价于函数与图象有两个不同的交点.
    令,,
    则函数与图象有一个交点,
    则,
    所以函数在上单调递增,
    所以,
    且趋向于正无穷时,趋向于正无穷,
    所以,解得.
    故选:A.
    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
    9.以下说法正确的是( )
    A.89,90,91,92,93,94,95,96,97的第75百分位数为95
    B.具有相关关系的两个变量x,y的一组观测数据,,,,由此得到的线性回归方程为,回归直线至少经过点,,,中的一个点
    C.相关系数r的绝对值越接近于1,两个随机变量的线性相关性越强
    D.已知随机事件A,B满足,,且,则事件A与B不互斥
    【答案】ACD
    【解析】对于A选项:从小到大排列共有9个数据,则不是整数,则第75百分位数为从小到大排列的第7个数据,即第75百分位数为95,所以A选项正确;
    对于B选项:线性回归方程不一定经过点,,,中的任何一个点,但一定经过样本的中心点即,所以B选项错误;
    对于C选项:若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则线性相关系数的绝对值越接近于,所以C选项正确;
    对于D选项:因为,则,
    则事件与相互独立,所以事件A与B不互斥,所以D选项正确;
    故选:ACD.
    10.已知直角坐标系原点为,直线,点为圆上的动点,则下列结论正确的是( )
    A.直线恒过定点
    B.当时,圆上存在三点到直线距离等于的充要条件是
    C.当时,直线上存在点使,则或
    D.若有且只有一条直线被圆截得弦长为,则
    【答案】BC
    【解析】对于A选项,直线即,令得恒过定点,故A错误;
    对于B选项,当时,圆心到直线距离为,如图,
    过且与直线平行的直线与圆交于两点,半径,则到直线的距离为,圆上存在三点到直线距离等于的充要条件是到直线的距离为,即,所以圆上存在三点到直线距离等于的充要条件是,故B正确;
    对于C选项,直线存在点使,当与圆相切时,最大,只需此时,即,所以圆心到直线距离,解得或,故C正确;
    对于D选项,直线恒过定点,若有且只有一条直线被圆截得弦长为,则此直线为过圆心的直线或过点且与垂直的直线,圆心到直线距离为或,所以或,故D错误;
    故选:BC.
    11.如图,有一列曲线,,……,,……,且1是边长为1的等边三角形,是对进行如下操作而得到:将曲线的每条边进行三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉得到,记曲线的边数为,周长为,围成的面积为,则下列说法正确的是( )
    A.数列{}是首项为3,公比为4的等比数列
    B.数列{}是首项为3,公比为的等比数列
    C.数列是首项为,公比为的等比数列
    D.当n无限增大时,趋近于定值
    【答案】ABD
    【解析】是在的基础上,每条边新增加3条新的边,故,又,所以数列{}是首项为3,公比为4的等比数列,且 故A正确,
    第个图形的边长为 ,所以,故数列{}是首项为3,公比为的等比数列,故B正确,
    因为是在的每条边上再生出一个小正三角形,于是

    同理,对是在的每条边上再生出一个小正三角形,
    于是的面积等于的面积加上个新增小三角形的面积,
    即,
    于是可以利用累加的方法得到
    将上面式子累加得
    当时, ,故C错误,D正确,
    故选:ABD
    12.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,且,,球的表面积为,三棱锥的体积为,记点到平面的距离为,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】BC
    【解析】设球的半径为,则,可得.
    因为,,则,,
    设点到平面的距离为,则,所以,.
    对于B选项,,B对;
    对于D选项,在中,,,所以,,
    所以,,D错;
    对于C选项,取的中点,连接,由球体的几何性质可知平面,
    因为平面,则,所以,,

    取的中点,连接、、,则,
    所以,,,
    ,解得,C对;
    对于A选项,球上一点到平面的距离的最大值为,
    因为,所以,点的轨迹是与平面平行的平面与球的交线(圆),
    故的长度不确定,A错.
    故选:BC.
    第Ⅱ卷
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.已知,则曲线在点处的切线方程为______________.
    【答案】
    【解析】因为,则,
    所以,,,
    故所求切线方程为,即.
    故答案为:.
    14.2023年2月8日中国国民党主席夏立言率团访问大陆期间需安排含甲、乙、丙在内的5位志愿者分配到3个会议室参加服务,要求每位志愿者只能去1个会议室,每个会议室至少需要分配1位志愿者,则甲与乙分配在同一会议室,但甲与丙不在同一会议室的分配方案共有______种(用数字作答).
    【答案】
    【解析】由题意,把5人可按1,1,3和1,2,2分组,
    若分为1,1,3时,甲乙同组,再从非丙的两人中选一人到3人组,共有种不同的分组;
    若分为1,2,2时,甲乙同组,非丙的两人成2人组或从其它两人选一人与丙成2人组,共有种不同的分组;
    所以甲与丙不在同一会议室的分配方案共有种不同的分配方案.
    故答案为:.
    15.若随机变量的数学期望和方差分别为,,则对于任意,不等式成立.在2023年湖南省高三九校联考中,数学科考试满分150分,某校高三共有500名学生参加考试,全体学生的成绩的期望,方差,则根据上述不等式,可估计分数不低于100分的学生不超过___________人.
    【答案】10
    【解析】取,,所以或,
    又因为,所以,即估计分数不低于100分的学生
    不超过(人).
    故答案为:10
    16.已知函数的定义域为,其导函数为,若函数为偶函数,函数为偶函数,则下列说法正确的序号有___________.
    ①函数关于轴对称;
    ②函数关于中心对称;
    ③若,则;
    ④若当时,,则当时,.
    【答案】①③④
    【解析】由于函数为偶函数,则②,则函数关于轴对称,①正确;
    进而函数关于点中心对称,
    由于函数为偶函数,则,则函数关于轴对称,
    进而函数关于中心对称, ②错误;
    由题可得函数的周期为,
    的周期为,
    故,
    由中心对称性,
    所以,
    所以,故,③正确;
    当时,,
    ,④正确.
    故答案为:①③④
    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
    17.(10分)
    已知数列满足.
    (1)是否为等比数列?并说明理由;
    (2)若,求的通项公式.
    【解析】(1)由得:,
    当时,数列为各项为的常数列,不是等比数列;
    当时,数列是以为首项,为公比的等比数列.
    (2)当时,,
    由(1)知:数列是以为首项,为公比的等比数列,
    ,即,
    当时,,
    又满足,.
    18.(12分)
    如图,在中,内角的对边分别为,满足.
    (1)求;
    (2)在所在平面上存在点,连接,若,,求的面积.
    【解析】(1)在中,由,得,
    由正弦定理,得,因为,
    因此,即,
    而,,有,即有,且显然,
    于是,解得,
    所以.
    (2)令,四边形内角和为,由(1)的结论知:,
    在中,由正弦定理得:,即有,
    在中,,则,
    又,则有,即,,
    因为,则,于是,即,
    又,
    因此,,
    所以的面积.
    19.(12分)
    如图所示的几何体为一个正四棱柱被两个平面AEH与CFG所截后剩余部分,且满足平面,,,.
    (1)当BF多长时,,证明你的结论:
    (2)当时,求平面与平面所成角的余弦值.
    【解析】(1)当时,.证明如下:
    将该几何体补全为正四棱柱,连接BM,
    如下图所示:
    由题意可知底面ABCD为正方形,则,且,
    因为平面AEH,,所以平面,
    又平面EFGH,平面平面,
    所以.
    又,所以H为GM的中点,所以E为MF的中点.
    因为,,
    所以四边形BCGM为平行四边形,所以,
    因为,所以.
    因为,,
    所以,所以,
    所以,即,所以.
    所以当时,.
    (2)以D为坐标原点,分别以DA,DC,DG所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    由(1)得,
    设平面的法向量为,
    则,
    令,则,
    故平面的法向量为,
    设平面的法向量为,
    则,
    令,则,
    则平面的法向量为
    ∴,
    ∵平面与平面所成角为锐角,
    ∴平面与平面所成角的余弦值为.
    20.(12分)
    放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节,运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数与该机场飞往A地航班放行准点率()(单位:百分比)的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.
    其中,
    (1)根据散点图判断,与哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由),并根据表中数据建立经验回归方程,由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.
    (2)已知2023年该机场飞往A地、B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以(1)中的预测值作为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值,且2023年该机场飞往B地及其他地区(不包含A、B两地)航班放行准点率的估计值分别为和,试解决以下问题:
    (i)现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个,求该航班准点放行的概率;
    (ii)若2023年某航班在该机场准点放行,判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大,说明你的理由.
    附:(1)对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,
    参考数据:,,.
    【解析】(1)由散点图判断适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x的经验回归方程类型.
    令,先建立y关于t的线性回归方程.
    由于,

    该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为,
    因此y关于年份数x的回归方程为
    所以当时,该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为
    .
    所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为.
    (2)设“该航班飞往A地”,“该航班飞往B地”,“该航班飞往其他地区”,“该航班准点放行”,
    则,,,
    ,,.
    (i)由全概率公式得,

    所以该航班准点放行的概率为0.778.
    (ii),


    因为,
    所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.
    21.(12分)
    双曲线具有这样的性质:若为双曲线上任意一点,则双曲线在点P处的切线方程为.已知双曲线的离心率为,并且经过.
    (1)求双曲线E的方程;
    (2)若直线l经过点,与双曲线右支交于P,Q两点(其中点P在第一象限),点Q关于原点的对称点为A,点Q关于y轴的对称点为B,且直线AP与BQ交于点M,直线AB与PQ交于点N.证明:双曲线在点P处的切线平分线段MN.
    【解析】(1)依题意,离心率,,解得,,
    故双曲线的方程为.
    (2)方法一:设,,直线PQ为,代入双曲线方程,
    得:,则且,,
    ∴,∵,
    ∴,
    ∴直线AP方程为,令得:,∴,
    ∵直线PQ为,令得:,即,
    设线段MN的中点坐标为,则,,
    ∵过点P的切线方程为:,
    要证双曲线在点P处的切线平分线段EF,即证点P处的切线经过线段MN的中点T.
    ∵,

    所以点P处的切线经过线段MN的中点T,即点P处的切线平分线段MN.
    方法二:设,,则,.由题意可知,点M在直线PA上,
    且纵坐标为,设,由可得:,整理得:
    ,∴,
    同理可得,
    设线段MN的中点坐标为,
    则,,
    又∵过点P的切线方程为:,要证双曲线在点P处的切线平分线段EF,
    即证点P处的切线经过线段MN的中点T,∵,
    ∵,,
    ∴,
    所以点P处的切线经过线段MN的中点T,即点P处的切线平分线段MN.
    22.(12分)
    已知函数.
    (1)证明:当时,;当时,;
    (2)若关于x的方程有两解,证明:
    ①;
    ②.
    【解析】(1)证明:设,则,仅当时取等号,
    所以是增函数,且,当时,,即;
    当时,,即.
    综上,当时,;当时,.
    (2)证明:①由题意,得,,
    则,.
    令,则,.
    因为时,,当时,,
    所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
    所以是的极小值点,也是最小值点,且.
    要有两个不同的零点,首先必须,即,
    而当时,,所以需满足,
    则当时,在区间内有一个零点;
    又,则在区间内又有一个零点.
    综上,若关于x的方程有两解,则.
    ②由①可知,由,得,
    即,即.
    因为,所以由(1),得,
    即,整理,得①.
    因为,所以同理可得②
    由①②,同构函数,则,.
    因为,,,所以方程有两个不等正实根,
    设,则且,则有,,
    所以,即.
    2017.5
    80.4
    1.5
    40703145.0
    1621254.2
    27.7
    1226.8

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