河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题

这是一份河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知复数，则（   ）A． B． C． D．2．已知集合，，则（   ）A． B． C． D．3．如图是某学生在劳动实习课上制作的一个模型，该模型为圆柱中挖去圆台余下的部分，圆柱和挖去的圆台上、下底面圆的圆心重合，圆柱的底面半径和高均为3，挖去的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，则该模型的体积为（   ）A． B． C． D．4．已知，若为奇函数，则实数（   ）A．0 B． C．1 D．25．德国哲学家、数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德，他的一个重要数学发明是二进位制，他本人也确认，中国人在三千多年前的《易经》64卦里就藏匿了这个奥妙.莱布尼茨用数0表示空位，数1表示实位，即满2进1.这样一来，所有的自然数都可以用这两个数来表示了，例如：自然数0为二进位制中的0，自然数1为二进位制中的1，自然数2为二进位制中的10，自然数3为二进位制中的11，自然数4为二进位制中的100，自然数5为二进位制中的101，….由以上二进位制的规则，可知二进位制中的10101表示的自然数是（   ）A．11 B．21 C．25 D．426．已知，则的最大值为（   ）A． B． C． D．7．已知过点可作双曲线的两条切线，若两个切点分别在双曲线的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（   ）A． B． C． D．8．已知，，，则（   ）A． B． C． D． 二、多选题9．某水果店为了解本店香蕉的日销售情况,依据过去天香蕉的日销售量(单位:)绘制了如下所示的频率分布直方图,依据该直方图,下列选项正确的有（   ）A．直方图中的B．过去100天香蕉的日销售量平均值的估计值为C．过去100天香蕉的日销售量众数的估计值为D．过去100天香蕉的日销售量中位数的估计值为10．已知，，，下列选项正确的有（   ）A． B．C． D．11．已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，C的准线与x轴的交点为，过F的直线l与C交于A，B两点，与C的准线交于点E，直线l的倾斜角，且点A在第一象限，下列选项正确的有（   ）A．为定值 B．为定值C．若F为AE的中点，则 D．若B为AE的中点，则 三、单选题12．如图，正六棱柱的各棱长均为1，下列选项正确的有（   ）A．过A，，三点的平面截该六棱柱的截面面积为B．过A，，三点的平面将该六棱柱分割成体积相等的两部分C．以A为球心，1为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为D．以A为球心，2为半径的球面与该六棱柱的各面的交线总长为 四、填空题13．平面向量，，若，则_________.14．已知是等比数列的前n项和，若，，则_________. 五、双空题15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，点E在BC边上，且，则_________；若，则_________. 六、填空题16．某校高三年级有个班，每个班均有人，第（）个班中有个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是，则_________. 七、解答题17．已知，函数.(1)当时，求的单调递增区间；(2)若在区间上单调，求的取值范围.18．某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂，为了解其效果，通过实验，收集到其不同浓度（）与灭死率的数据，得下表：浓度（）灭死率0.10.240.460.760.94(1)以为解释变量，为响应变量，在和中选一个作为灭死率关于浓度（）的经验回归方程，不用说明理由；(2)（i）根据（1）的选择结果及表中数据，求出所选经验回归方程；（ii）依据（i）中所求经验回归方程，要使灭死率不低于，估计该灭草剂的浓度至少要达到多少？参考公式：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.19．在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别为棱PB和PC上的点，且，.(1)证明：；(2)若，求平面AEF与平面AEC夹角的余弦值.20．已知数列满足，(1)证明：数列为等差数列；(2)若将数列中满足的项，称为数列中的相同项，将数列的前40项中所有的相同项都剔除，求数列的前40项中余下项的和.21．已知斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为.(1)若，，求k的值；(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于点，且，求直线l的方程.22．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求实数的取值范围.
参考答案：1．D【分析】利用复数的除法求出，再由共轭复数的定义求得.【详解】，则.故选：D2．A【分析】由已知条件列举法表示出集合B，由交集的定义即可求出.【详解】集合，，.故选：A3．C【分析】应用圆台、圆柱体积公式求模型的体积即可.【详解】由题设，圆台上底面积，下底面积，圆台体积为，而圆柱体积为，所以该模型的体积为.故选：C4．C【分析】根据为奇函数，得出，求出实数，再验证为奇函数.【详解】由为奇函数，定义域为R，得出过点，即，即，解得.则，，设，因为，所以是奇函数，即是奇函数. 故选：C.5．B【分析】根据题设描述，将二进制数转化为十进制自然数即可.【详解】由题设，10101表示的自然数为.故选：B6．B【分析】根据题意转化为，令，求得，得到单调递增，得到，即，得到，令，求得，结合函数的单调性和最大值，即可求解.【详解】由，可得，令，可得，所以单调递增，因为，可得，即，则，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，可得，所以的最大值为.故选：B.7．B【分析】要满足题意，点必须在渐近线与轴围成的区域，且不能在渐近线及轴上，即可得到，即可得到离心率的取值范围.【详解】要满足题意，点必须在渐近线与轴围成的区域，且不能在渐近线及轴上.所以必须满足，得，，，，又，.故选：B8．D【分析】构造函数，利用单调性得，进而根据指对数的运算性质即可比较.【详解】令，则，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以当时，取极小值也是最小值，故，因此，故，，因此，又，所以，进而，故，因此，故选：D【点睛】比较值的大小，是对函数性质综合运用的考查.一般常采用以下方法：利用指对幂函数的单调性比较大小，构造函数，利用导数求解单调性比较大小，利用不等式的性质以及基本不等式，进行放缩比较.9．AB【分析】对于A,根据频率和为即可求解;对于BCD,根据频率分布直方图求解平均数、众数和中位数的方法求解即可.【详解】对于A,由,得,故A正确;对于B,平均值的估计值为,故B正确;对于C,根据频率分布直方图,众数的估计值为,故C错误;对于D,因为,所以中位数在第组,设中位数为,则,解得,故D错误.故选:AB.10．BD【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得，进而可判断A，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD.【详解】由于且，所以，又，，故或，当时，显然不满足，故，所以，故A错误，对于B，，故B正确，对于C, ，故C错误，对于D，由B可知，所以，故D正确，故选：BD11．ACD【分析】由题设可得、、，令且，联立抛物线，应用韦达定理求得，，，，再利用向量数量积的坐标表示判断A、B；由中点公式及韦达定理求即可判断C、D.【详解】由题设，令且，，则，，联立直线与抛物线得：，，所以，，则，，由，则，A正确；由，则，B错误；若F为AE的中点，则，可得，故，又，则，所以，C正确；若为AE的中点，则，可得，所以，可得，则，此时，D正确.故选：ACD12．ACD【分析】对于A：根据平行关系分析交线，进而运算求解；对于B：利用割补法求体积，分析运算；对于C、D：根据球的半径分析交线，运算求解.【详解】对于A：过点A作//，设，连接，设，则过A，，三点的平面截该六棱柱的截面即为，可得，因为，且//，则，可得，因为平面，平面，所以，，平面，可得平面，平面，则，由//，则，连接，则，故截面面积，故A正确；对于B：连接CE， 因为平面，平面，所以，，，平面，可得平面，则四棱锥的高为，则其体积，四棱柱的体积，三棱柱的体积，故平面下半部分的体积，正六棱柱的体积，显然，故B错误；对于C：因为球的半径为1，则球只与侧面、侧面和底面相交，因为，在侧面、侧面的交线为个圆，在底面的交线为个圆，半径均为1，故交线的长为，故C正确；对于D：因为球的半径为2，显然球不与侧面、侧面相交，由选项A可知：平面，且，则球与侧面、侧面分别交于点、，连接，则，因为平面，平面，所以，，平面，可得平面，且，则球与侧面的交线为个圆，且半径为1，同理可得：球与侧面的交线为个圆，且半径为1，又因为平面，且，则球与底面的交线为个圆，且半径为，又因为，则球与底面的交点为D，所以球面与该六棱柱的各面的交线总长为，故D正确；故选：ACD.【点睛】方法定睛：在立体几何中，某些点、线、面按照一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与探求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性.13．【分析】由向量平行的坐标表示列方程求得，再应用向量数量积和模长的坐标运算求结果.【详解】由题设，可得，则，，所以.故答案为：14．64【分析】根据等比数列基本量的计算以及性质即可求解.【详解】设等比数列的公比为，则，，故，又，所以，所以，故答案为：64.15．     1     【分析】已知，，在直角三角形中把角的正弦值化为边的比，利用三角形面积公式化简，可求得边；，由余弦定理和三角形面积公式，结合辅助角公式，求得，可求的值.【详解】如图所示，记边为，由，中，；中，，又，得，则有，即，解得，即；，，，由余弦定理，，即，可得，即，由，有，.故答案为：1；16．【分析】根据题设，第个班中，取三次的方法有种，再求第三次取出的人为男生的方法数，进而求出第个班中第三次取出的人为男生的概率，再由即可求参数.【详解】每个班被取出的概率为，取第个班中取三次的方法有种；第三次取出的人为男生的方法，如下四种情况：男男男：种；女男男：种；男女男：种；女女男：种；所以，第三次取出为男生的方法数：，综上，第个班中第三次取出的人为男生的概率，所以，任选一个班第三次取出的人恰为男生的概率，则，即，可得.故答案为：【点睛】关键点点睛：首先求出第个班中，取三次的方法数和第三次取出的人为男生的方法数，进而得到第个班中第三次取出的人为男生的概率为关键.17．(1)(2) 【分析】（1）令求的范围，即可得增区间；（2）由题意在上单调，讨论分别为递减区间、递增区间求的取值范围.【详解】（1）由题设，令，所以，故的单调递增区间为.（2）由，则，所以在上单调，又，若，，则，，所以，，故时，满足题设；若，，则，，所以，，此时没有满足题设的k值；综上，.18．(1)选(2)（i），（ii） 【分析】（1）根据表格数据的特征选择回归模型；（2）（i）令，将所给数据处理，再求出，，，，即可求出，，从而得到回归方程；（ii）令，根据对数函数的性质解出不等式，即可得解.【详解】（1）根据表格数据可知解析变量呈现指数增长，而响应变量增长幅度不大，且相应的增加量大约相等，故选.（2）（i）令，则，所以可得如下数据0.10.240.460.760.94则，，，，所以，，所以，即；（ii）依题意，即，即，所以，即要使灭死率不低于，则该灭草剂的浓度至少要达到.19．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由线面垂直的性质有，进而可得面，再由线面垂直的性质和判定依次证、面、，最后由线面垂直判定得面，即可证结论；（2）构建空间直角坐标系，根据已知求出坐标，进而求出面、面的法向量，利用向量夹角的坐标表示求平面AEF与平面AEC夹角的余弦值.【详解】（1）由平面，平面，则，由底面为正方形，则，又，面，所以面，而面，则，又，，面，所以面，面，则，由，，面，则面，由面，故.（2）构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，由平面，平面，则，故，由，则，可得，所以，则，即，而，若，则，故，所以，则，则，故，而，若是面的一个法向量，则，令，则，由（1）知：是面的一个法向量，所以，故面AEF与面AEC夹角余弦值为.20．(1)证明见解析(2)2166 【分析】（1）利用等差数列的定义证明；（2）数列中奇数项与偶数项分别构成等差数列，利用通项求出两个数列相同的项，可求所需项的和.【详解】（1）数列满足，设，则，有，，所以数列是首项为3公差为3的等差数列，即数列为等差数列.（2）由（1）可知，，设，同理可证数列是首项为12公差为9的等差数列，，设数列的前n项和为，数列的前n项和为，数列的前40项和为，若，即，得，，有，将数列的前40项中所有的相同项都剔除，则数列的前40项中余下项的和为：.21．(1)(2) 【分析】（1）根据中点坐标，利用点差法求中点弦的斜率；（2）令直线为，讨论、，应用点差法得，写出中垂线方程，根据在上求得，进而得到联立椭圆方程，应用弦长公式及已知列方程求得，即可得直线方程.【详解】（1）由题设，作差可得，又，故，所以.（2）由题意，直线斜率一定存在，令直线为，若时且，，此时中垂线与y轴重合，与题设中，垂直平分线与y轴交于矛盾，不合要求；若，由（1）知：，则，则中垂线为，即，又在该直线上，所以，得或，当时不满足要求，故，故，即，联立椭圆得：，整理得，所以，，则，而，由，则，解得，所以.综上，直线l的方程为.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)见解析(2) 【分析】（1）先求定义域，求导后，对进行分类讨论，即可得到函数的单调性；（2）由题意，可取，得，对原不等式进行放缩可得，构造函数，求导得，再构造，求导得，取特殊值可得的最小值为正数，所以可知在处取得极小值，可得，所以恒成立，故实数的取值范围是.【详解】（1）的定义域为，，当时，，在上单调递减；当时，由，解得：，由，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增.（2）由，得，取时，得，所以，下证：，即证：，令，则，构造，则，易知在上是单调递增函数，又，，在上存在唯一零点，设该零点为，且满足，，当时，，当时，，故在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，当时，，当时，，故在区间上单调递减，在区间上单调递增，，在上恒成立，即，在上恒成立，故实数的取值范围是.【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，难度相对较大，主要考向有以下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；3、求函数的极值（最值）；4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；5、证明不等式；解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.