沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形第3节 等腰三角形14.6 等腰三角形的判定测试题

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专题10 等腰三角形（难点）
一、单选题
1．下列命题：
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形．其中正确的有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质分别对每一项进行分析即可．
【解析】解：①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和高重合，故本选项错误，
②等腰三角形两腰上的高相等，正确；
③等腰三角形的最小边不一定是底边，故本选项错误；
④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，正确；
⑤等腰三角形不一定是锐角三角形，故本选项错误；
其中正确的有2个，
故选：B．
【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．已知△ABC的三边a、b、c满足，那么△ABC是（    ）
A．不等边三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能判断
【答案】B
【分析】先求出a、b、c的值，从而得出△ABC的形状.
【解析】解：∵，
∴a-4=0，b-4=0，c2-16=0，
∴a=4，b=4，c=4，
∴△ABC是等边三角形.
故选B.
【点睛】本题考查了绝对值、偶次方、算术平方根的非负性等知识点，能熟记性质是解此题的关键，如果一个三角形三边相等，则为等边三角形.
3．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：
①△ABC中，AB＝AC；
②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；
③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；
④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．
其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（　　）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的判定定理即可逐一判断．
【解析】解：①∵△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故①正确；
②∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，
∴∠B＝∠C，则AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，故②正确；
③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，
∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠C，则AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，故③正确；
④∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是能灵活运用定理进行推理．
4．如图，在中，，点为线段上一动点不与点，重合，连接，作，交线段于点下列结论：
；
若，则；
当时，则为中点；
当为等腰三角形时，．
其中正确的有个．(    )

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质即可得到；
当时，；
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；
根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到．
【解析】，，
．
，
．
由三角形内角和定理知：．
故正确；
，
，
由知：．
．
．
，
故正确；
为中点，，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，
，
，
为等腰三角形，
或，
当时，，
，
，
故不正确．
故选：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算各角的度数是解题的关键．
5．如图，已知等边△ABC和等边△PAF，过P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连接PQ交AC边于D，当PA=CQ，AB=1时，DE的长（ ）

A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，且PF∥BC，
又∵PE⊥AF，
∴AE=EF=AF；（等边三角形三线合一）
∵PF∥CQ，
∴∠PFD=∠QCD，∠FPD=∠Q；
又∵PA=PF=CQ，
在△PFD和△QCD中，
∴△PFD≌△QCD（AAS）；
∴CD=DF=CF；
∴DE=DF+FE=（AF+FC）=AC=，
故选B．
6．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于点 E，过点 E 作 EF∥AC，分别交 AB、AD 于点 F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（    ）

A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【答案】B
【分析】利用高线和同角的余角相等,三角形内角和定理即可证明①,再利用等量代换即可得到③
④均是正确的,②缺少条件无法证明.
【解析】解：由已知可知∠ADC=∠ADB=90°,
∵∠ACB＝∠BAD
∴90°-∠ACB=90°-∠BAD,即∠CAD=∠B,
∵三角形ABC的内角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°,
∴∠CAB=90°,①正确,
∵AE平分∠CAD,EF∥AC，
∴∠CAE=∠EAD=∠AEF,∠C=∠FEB=∠BAD,②错误,
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠BEA=∠BEF+∠AEF,
∴∠BAE＝∠BEA,③正确,
∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF,④正确,
综上正确的一共有3个,故选B.
【点睛】本题考查了三角形的综合性质,高线的性质,平行线的性质,综合性强,难度较大,利用角平分线和平行线的性质得到相等的角,再利用等量代换推导角之间的关系是解题的关键.
7．如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（　　）

A．①③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④
【答案】C
【分析】①易证∠CBE=∠DAE，即可求证：△ADE≌△BCE；
②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；
③证明△AEF≌△BED即可；
④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．
【解析】①∵AD为△ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°．
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE．在△DAE和△CBE中，∵，∴△ADE≌△BCE（SAS）；故①正确；
②∵△ADE≌△BCE，∴∠EDA=∠ECB．
∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE⊥DE；故②正确；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE．
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF．
在△AEF和△BED中，∵，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD=AF；故③正确；
④∵AD=BC，BD=AF，∴CD=DF．
∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形．
∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE．
∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故④正确．
故选C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．
8．已知和是等边三角形，，且B、C、D三点共线，连接BE，AD，交AC于点M，交CE于点N，以下结论正确的个数是（    ）
①；②；③；④连接CG，GC是的角平分线．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由等边三角形的性质可得出，，，从而推出，即可利用证明，可判断①；由全等的性质可得出，再利用三角形外角的性质即可推出，即可判断②；由和B、C、D三点共线，可求出，即可证明，得出，即可判断③；过点作于点P，于点Q，易证，得出，即又易证，得出，即GC是的角平分线，可判断④．
【解析】∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，故①正确；
∵，
∴．
∵，
∴，故②正确；
∵，B、C、D三点共线，
∴．
∴在和中，，
∴，
∴，故③正确；
如图，过点作于点P，于点Q，

在和中，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即GC是的角平分线，故④正确．
综上可知正确的个数是4个．
故选D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的定义．熟练掌握等边三角形的性质和三角形全等的判定定理是解题关键．
9．如图，在等腰三角形中，，，于点，点是的延长线上一点，点在的延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④其中正确的是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】如图，设交于点．由，推出，推出，可证①②正确，延长到，使得，证明，推出，可得③正确，推出四边形的面积是定值，可得④错误．
【解析】解：设交于点，如图所示：

，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，故①正确；
，
，
，
是正三角形，故②正确；
延长到，使得，连接，如图所示：

，，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，且为定值，
是变化的，
是错误（与上面定值矛盾），故④错误；
综上所述：正确的是①②③，
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据不同说法，正确作出辅助线求证是解决问题的关键．
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF， 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有（      ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】证得△CAF≌△GAB（SAS），从而推得①正确；利用△CAF≌△GAB及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，则③正确，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，则FM=NG，证明△FME≌△GNE（AAS）．可得出结论④正确．
【解析】解：∵∠BAF=∠CAG=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，
又∵AB=AF=AC=AG，
∴△CAF≌△GAB（SAS），
∴BG=CF，故①正确；
∵△FAC≌△BAG，
∴∠FCA=∠BGA，
又∵BC与AG所交的对顶角相等，
∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，
∴BG⊥CF，故②正确；
过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，

∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，
∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，
∴∠BAD=∠AFM，
又∵AF=AB，
∴△AFM≌△BAD（AAS），
∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，
故③正确，
同理△ANG≌△CDA，
∴NG=AD，
∴FM=NG，
∵FM⊥AE，NG⊥AE，
∴∠FME=∠ENG=90°，
∵∠AEF=∠NEG，
∴△FME≌△GNE（AAS）．
∴EF=EG．
故④正确．
故选：D．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

二、填空题
11．已知O为等边△ABD的边BD的中点，AB=6，E，F分别为射线AB、射线DA上一动点，且∠EOF=120°，若AF=2，则BE的长为______．
【答案】5或1/1或5
【分析】分两种情况讨论：当F在线段DA的延长线上；当F点在线段AB上，作交AD于M，利用等边三角形性质可证出△OMF≌△OBE，则BE=MF，然后分别计算FM即可．
【解析】解：当F在线段DA的延长线上，如图1，作交AD于M，
∴，

∵O为等边△ABD的边BD的中点，
∴OB=OD=3，∠D=∠ABD=60°，
∴△ODM为等边三角形，
∴OM=MD=3，∠OMD=60°，
∴FM=FA+AM=5，∠FMO=∠BOM=120°，
∵∠EOF=120°，
∴∠BOE=∠FOM， 而∠EBO=180°-∠ABD=120°，
∴△OMF≌△OBE（AAS），
∴BE=MF=5；
当F点在线段AD上，如图2，
同理可证明△OMF≌△OBE， 则BE=MF=AM-AF=3-2=1．
故答案为：5或1．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，证明△OMF≌△OBE是解本题的关键．
12．如图，点是的内角和外角的两条角平分线的交点，过点作，交于点，交于点，若，则线段的长度为____．

【答案】6
【分析】根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，同理，，于是得到结论．
【解析】平分，
，
∵，
，
，
，
同理，，
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
13．在等边三角形中，，与相交于点，，垂足为，则______．

【答案】/120度
【分析】由“”可证≌，可得，即可求解．
【解析】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
14．如图，边长为的等边和等边互相重合，现将沿直线向左平移个单位，将沿直线向右平移个单位．

（1）若，则______；
（2）当、是线段的三等分点时，的值为______．
【答案】 2 1.5或6
【分析】（1）根据点平移的性质可得出，代入的值即可得出结论；
（2）分点、的位置不同，两种情况来考虑，根据线段间的关系结合即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解析】解：（1）点向左平移个单位，点向右平移个单位，
，
，
．
故答案为：2．
（2）、是线段的三等分点分两种情况：
①点在点的左边时，如图1所示．

、是线段的三等分点，
，
，，
，解得：；
②点在点的右边时，如图2所示．

、是线段的三等分点，
，
，，
，解得：．
综上可知：当、是线段的三等分点时，的值为1.5或6．
故答案为：1.5或6．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及平移的性质，解题的关键是：（1）找出；（2）分两种情况考虑．
15．如图，AD是ABC的中线，CE⊥AD 于E，BF⊥AD的延长线于F，CE=AE，其中BF=4，DF=2．下列说法：①CE=BF；②；③AF=BF+2DF；④．其中正确的有____________（填序号）．

【答案】①②③④
【分析】根据全等三角形得判定和性质、中线和等腰直角三角形的判定和性质逐一证明即可．
【解析】解：∵AD是ABC的中线，
∴BD=DC，
∵CE⊥AD 于E， BF⊥AD的延长线于F，
∴，
在CED和BFD中，

∴CEDBFD(AAS)，
∴CE=BF，故①正确；
如图，过点A作AGBC于点G，
∴，
又∵BD=CD，
∴，故②正确；
∵，
由①得CEDBFD，
∴DE=DF，CE=BF
又∵CE=AE，
∴AE=BF，
∴，故③正确；
由①得CEDBFD，
∴CE=BF=4，，
又∵CE⊥AD 于E，CE=AE，
∴AEC为等腰直角三角形，
∴，
∴，故④正确．
故答案为：①②③④．

【点睛】本题考查了全等三角形得判定和性质、中线和等腰直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握以上的性质并熟练的运用．
16．如图，在等边△ABC中，BD＝CE，将线段AE沿AC翻折得到线段AF，连结EF，CF．以下说法：①DE＝EF；②∠ADB＝∠AEC＝∠AFC；③∠ACE=∠ACF=∠ADF④AE＝DF．正确的是 ___（填序号）．

【答案】②③④
【分析】先证明△ABD≌ACE，得到AD=AE，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE，再证明△AEC≌△AFC，推出∠ACF=∠ACE，∠AEC=∠AFC，∠EAC=∠FAC，由此即可证明△ADF为等边三角形，可得AF=DF=AD=AE，∠ACE=∠ACF=∠ADF=60°，再由∠DAE不一定是30°，则∠DAE不一定等于∠FAE，△ADE与△AFE不一定全等，则DE与EF不一定相等．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=CE，
∴△ABD≌ACE（SAS），
∴AD=AE，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE，
由翻折的性质可知：AE=AF=AD，CE=CF，
又∵AC=AC，
∴△AEC≌△AFC（SSS），
∴∠ACF=∠ACE，∠AEC=∠AFC，∠EAC=∠FAC，
∴∠ADB=∠AEC=∠AFC，∠BAD=∠CAE=∠FAC，故②正确；
∵∠DAF=∠DAC+∠FAC=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°，
∴△ADF为等边三角形，
∴AF=DF=AD=AE，∠ACE=∠ACF=∠ADF=60°故④正确；
∴③正确
∵∠DAE不一定是30°，
∴∠DAE不一定等于∠FAE，
∴△ADE与△AFE不一定全等，
∴DE与EF不一定相等，故①错误；
故答案为：②③④．

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．
17．和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置，顶点D，E，F，G，H均在等边三角形的边上．若等边三角形边长为5，则五边形的周长为___________．

【答案】10
【分析】根据题意可得∠FGH=60°，GF=GH，DE=BD=BE，FH=BE，易证△BGF≌△CHG(ASA)，可得BG=CH，BF=CG，进一步即可求出五边形DECHF的周长．
【解析】解：∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴∠FGH=60°，GF=GH，DE=BD=BE，FH=BE，
∴∠BGF+∠CGH=120°，
在等边△ABC中，∠B=∠C=60°，
∴∠BGF+∠BFG=120°，
∴∠CGH=∠BFG，
在△BGF和△CHG中，
，
∴△BGF≌△CHG(ASA)，
∴BG=CH，BF=CG，
∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+HF+DF
=BD+DF+CE+BG+BE
=CG+CE+BG+BE
=2CB，
∵等边三角形ABC边长为5，
∴CB=5，
∴五边形DECHF的周长为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质并灵活运用是解题的关键．
18．如图，△ABC和△BDE均为等边三角形，AC与BE交于点F，点C、A、D在同一直线上，延长CB至点H，连接DH，使DH＝DB，分别连接HF、CE，若∠DHF＝60°，则下列结论：①AD＝CE；②∠HFD＝80°；③∠HDF＝∠FBC；④DH＝HF+BF；⑤若＝，则＝．正确的有______．（请填写序号）

【答案】①③④
【分析】证明△DBA≌△EBC（SAS），可得AD＝CE，∠DAB＝∠BCE＝120°，∠BEC＝∠BDA，故①正确；设∠BDH＝x，求解∠ABD＝，∠HDF＝30°+x，可得∠HDF＝∠FBC，故③正确，求解∠HFD＝180°﹣∠DHF﹣∠HDF＝90°﹣x，故②错误；证明△DFE≌△DFH（SAS），可得HF+BF＝BE＝DH，故④正确；设CA＝3y，则AD＝5y，证明△DCH≌△DCE（SAS），可得CE＝CH＝5y，BH＝2y，证明S△BDH＝S△BDC，S△BCE＝S△ADB＝S△BDC，可得故⑤错误，从而可得答案．
【解析】解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形，
∴DB＝BE，AB＝BC，∠DBE＝∠ABC＝60°＝∠BAC，
∴∠DBA＝∠EBC，∠DAB＝120°，
∴△DBA≌△EBC（SAS），
∴AD＝CE，∠DAB＝∠BCE＝120°，∠BEC＝∠BDA，故①正确；
设∠BDH＝x，
∵DH＝DB，
∴∠DHB＝∠DBH＝，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝，
∴∠ADB＝180°﹣120°﹣（30°+x）＝30°﹣x，
∴∠HDF＝30°+x，
∴∠HDF＝∠FBC，故③正确，
∵
∴∠HFD＝180°﹣∠DHF﹣∠HDF＝90°﹣x，故②错误；
∵∠CDE＝60°﹣∠ADB＝30°+x，
∴∠HDF＝∠CDE，
又∵DH＝DB＝DE，DF＝DF，
∴△DFE≌△DFH（SAS），
∴HF＝EF，
∴HF+BF＝BE＝DH，故④正确；
∵，
∴设CA＝3y，则AD＝5y，
∴AB＝BC＝3x，AD＝CE＝5y，
∵DH＝DE，∠HDC＝∠CDE，DC＝DC，
∴△DCH≌△DCE（SAS），
∴CE＝CH＝5y，
∴BH＝2y，
∴，
∴S△BDH＝S△BDC，
∵AD＝5y，AC＝3y，
∴S△BCE＝S△ADB＝S△BDC，
故⑤错误
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的计算，熟练的利用全等三角形的性质与等边三角形的性质得到边与角之间的数量关系是解本题的关键．

三、解答题
19．如图1，在中，，点D在上，点E在的延长线上，连接交于F，．

(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）过点D作，交于点G，可证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，即可；
（2）过点D作，交于点G，过点D作于点H，可得，由（1）得：，可得，从而得到，再由是等腰直角三角形，可得，然后根据三角形的面积公式计算，即可求解．
【解析】（1）证明：如图1，过点D作，交于点G，

∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过点D作，交于点G，过点D作于点H，

由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
20．已知中，，中，，，点A，D，E在同一直线上，与相交于点F，连接．如图，当时，

(1)请直接写出和的形状；
(2)求证：；
(3)请求出的度数．
【答案】(1)都是等边三角形
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可得出结论；
（2）证明，即可得证；
（3）根据，得到，根据等边三角形的性质，得到，得到，利用，即可得出结论．
【解析】（1）解：和都是等边三角形．
∵，，
∴为等边三角形．
∵，，
∴为等边三角形．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握有一个角是的等腰三角形是等边三角形，证明三角形全等，是解题的关键．
21．在四边形中，点C是边的中点．

(1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由；
(2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由．
【答案】(1)，见解析
(2)，理由见解析

【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论；
（2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论；
【解析】（1），理由如下：
在上取一点F，使，连接．
∵平分，
∴，
在和中
∴．
∴ ，，
∵C是边的中点．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中
∴．
∴ ．
∵，
∴．

（2），理由如下：
在上取，，连接，．
与（1）同理，可得，．
∴，，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴为等边三角形．
∴．
∵，
∴．
  
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
22．小明将两个大小不同的含角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），，，，且B、C、E三点在同一条直线上，连接．

(1)求证：；
(2)线段与的关系为____________．
【答案】(1)见解析
(2)，

【分析】（1）求出，利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，，求出即可得出答案．
【解析】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．阅读材料：若，求m、n的值．
解：∵，
∴
∴ ，而，，
∴ 且，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则______； _________．
(2)已知的三边a，b，c满足，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为________________．
(3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且，求的周长．
【答案】(1)2；0
(2)①②③④
(3)7

【分析】（1）已知等式利用完全平方公式化简后，再利用非负数的性质求出a与b的值即可；
（2）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出，进行判断即可；
（3）已知等式变形并利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出a，b的值，进而确定出三角形周长．
【解析】（1）解：将等式整理得：
∴，，
解得：，；
故答案为2；0．
（2）解：∵，
，
，
，，
，
①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形，都正确；
故答案为：①②③④；
（3）解：∵
∴
∴
则，，解得：，，
三角形的三边为正整数，且由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
则的周长为．
【点睛】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断，关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
24．如图①，和中，，，且，，的延长线交交于点．

(1)求证：；
(2)当是等边三角形时，求的度数；
(3)如图②，当是直角三角形时，请直接写出的度数为________；如图③，当是任意等腰三角形时，请直接写出与某个内角之间的数量关系为________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)；

【分析】（1）先证明，再根据即可证明；
（2）由，推出，再根据三角形的外角性质即可求解；
（3）同理证明，推出，再根据三角形的外角性质即可求解．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
设，交于点，

则，
∴；
（3）解：当是直角三角形时，
同理，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
设，交于点，

则，
∴；
当是任意等腰三角形时，
同理，
∴，
设，交于点，

则，
∴；
故答案为：；．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识与方法，根据等腰三角形的性质得出三角形的两条边相等，据此根据判定证三角形的全等是解题的关键．
25．【感知】如图①，是等边三角形，点D、E分别在边上，且，证明：．
【探究】如图②，是等边三角形，点D、E分别在边的延长线上，且，则图②中全等的三角形是______________________；若此时，，则___________．
【拓展】如图③，在中，，，点D、E分别在的延长线上，且，若，，则的大小为___________．

【答案】感知：见解析；探究：，，6；拓展：20
【分析】感知：根据证明三角形全等即可；
探究：证明，求出的面积即可；
拓展：先判断出，进而得出，再利用同高的两三角形的面积的比等于底的比求出，的面积，即可得出结论．
【解析】解：感知：如图①中，∵是等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴；
探究：与全等，
理由：如图②中，

在等边中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：，，6；
拓展：如图③中，

∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴（同高的两三角形的面积比是底的比），
∴，
∵，
∴（同高的两三角形的面积比是底的比），
∴，
故答案为：20．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同高的三角形面积的比等于底的比，解探究的关键是得出，解拓展的关键是求出．
26．如图1，等边三角形和等边三角形，连接，，其中．

(1)求证：；
(2)如图2，当点在一条直线上时，交于点，交于点，求证：；
(3)利用备用图补全图形，直线，交于点，连接，若，，直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）由“”可证，可得；
（3）如图3，过点作于，于，由面积法可求，可证，由直角三角形的性质可求，由“”可证，可得，即可求解．
【解析】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
点在线段上，，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图3，过点作于，于，

，，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，
，
，，，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27．已知：为等边三角形，点、点是两个动点，点从点出发，同时点从点出发，且两个动点的速度相同．

(1)如图（1）若动点在线段上，动点在线段上，连接交于点．求证：
(2)如图（2）若动点在射线上，动点在射线上，连交延长线于点．求证：．
(3)如图（3）若动点在的延长线上，动点在线段上，连接交于．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可证明结论；
（2）证明，可得，然后由，，求得；
（3）首先过点D作交于点G，则可证得为等边三角形，继而证得，则可证得结论．
【解析】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
根据题意得：，
在和中，
，
∴
∴；
（2）根据题意，，
∴，
即，
在和中

∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）过点作交于点，

∵是等边三角形，
∴，，
∴为等边三角形 ，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，
28．在等边ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，BD＝AE，BE与CD交于点O．

(1)如图1，填空：∠BOD＝ °；
(2)如图2，以CO为边作等边OCF，连接AO、BF，那么BF与AO相等吗？并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，若点G是BC的中点，连接GO，判断BF与GO有什么数量关系？并说明理由．
【答案】(1)60
(2)，理由见解析
(3)BF＝2GO，理由见解析

【分析】（1）先利用等边三角形的性质和已知条件证明，推出，进而利用三角形外角的性质、等量代换得出；
（2）利用等边三角形的性质证明，，，进而证明，再证明，即可得出；
（3）延长OG交CF于点M，先结合（1）中结论证明，推出，，再证明，推出，可得．
（1）
解：∵ABC是等边三角形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：60；
（2）
解：，理由如下：
∵FCO和ABC是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（3）
解：，理由如下：
如图，延长OG交CF于点M，

由（1）知，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点G是BC的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，．
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理，从图中找出全等三角形是解题的关键．
29．如图，在中，，（），为射线上一动点（不与点、重合），在的右侧作，使得，，连接．

(1)若，则______；
(2)当点在线段上时，求证：；
(3)若点运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由；
(4)在点的运动过程中，当垂直于的某边时，则______（用含的代数式表示）．
【答案】(1)45°
(2)证明见解析
(3)，理由见解析
(4)或

【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解；
（2）由得，利用SAS即可得出结论；
（3）由（2）知，根据全等三角形的性质得，，则，易得为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，最后由平行线的判定求解；
（4）分两种情形：当时，当时，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可．
（1）
解：∵，，
∴．
∵，，
∴ ，
∴．
∵，
∴．
故答案为：45°；
（2）
证明：如图，

∵，
∴，
∴．
在和中
，
∴；
（3）
解： ．
理由如下：
由（2）知，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）
解：如图，当时．

∵，，
∴．
∵，
∴，，
∴，又AB=AC，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
如图，当时．

∵，
∴．
由（1）知，，
∴，
∴．
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
综上所述，当DE垂直于的某边时，则或．
故答案为：或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题．
30．如图，在中，，，是等边三角形，点在边上．

（1）如图1，当点在边上时，与有什么数量关系，请说明你的理由；
（2）如图2，当点在内部时，猜想和数量关系，并加以证明；
（3）如图3，当点在外部时，于点，过点作，交线段的延长线于点，，．求的长．
（温馨提示：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即在中，，若点为斜边中点，则）
【答案】（1），理由见解析；（2）.证明见解析；（3）.
【分析】（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角的性质得到，根据等腰三角形的判定定理证明；
（2）取的中点，连接、，分别证明和，根据全等三角形的性质证明；
（3）取的中点，连接、、，根据（2）的结论得到，根据全等三角形的性质解答．
【解析】解：（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
；
（2）解：，
理由如下：取的中点，连接、，
，，
，，
为等边三角形，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；

（3）取的中点，连接、、，
由（2）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
解得，，
即．

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．