浙江省钱塘联盟2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附答案）

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2022学年第二学期钱塘联盟期中联考

高一年级数学学科试题

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则“”是“”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

3.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ）

A.3    B.    C.    D.

4.已知向量满足，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.若，则（    ）

A.    B.

C.    D.

6.已知，则的值为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇官盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高，盆口直径，盆底直径.现往盆内倒入水，当水深时，盆内水的体积近似为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.已知函数，则函数零点个数最多是（    ）

A.10    B.12    C.14    D.16
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若，其中为虚数单位，则（    ）

A.    B.

C.的共轭复数为    D.的实部为1

10.的内角的对边分别为，下列说法正确的是（    ）

A.若则外接圆的半径等于1

B.若，则此三角形为直角三角形

C.若，则解此三角形必有两解

D.若是锐角三角形，则

11.设，且，则（    ）

A.    B.

C.的最小值为0    D.的最小值为

12.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体组成，目前发现了共有13个这种几何体，而截角四面体就是其中的一种，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得，已知一截角四面体的棱长为2.下列说法正确的是（    ）

A.每一个截角四面体共有18条棱，12个顶点

B.该截角四面体的表面积为

C.该截角四面体的体积为

D.该截角四面体的外接球半径为

非选择题部分

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形的直观图，其中，则三角形的面积为__________.

14.若直线不平行平面，则以下命题成立的是__________.

①内的所有直线都与异面；

②内不存在与平行的直线；

③内直线都与相交；

④直线与平面有公共点.

15.多面体的各顶点在半径为2的球面上，是矩形，，则多面体体积的最大值为__________.

16.如图，设中的角所对的边是，已知，，点分别为边上的动点，线段交于点，且，若，则__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知向量满足.

（1）若，求向量的坐标；

（2）若，求向量与向量夹角的余弦值.

18.（12分）已知内角的对边分别为，设.

（1）求；

（2）若的面积为，求的值.

19.（12分）如图，在正方体中分别是棱的中点，设是线段上一动点.

（1）证明平面；

（2）求三棱锥的体积.

20.（12分）已知为坐标原点，向量，设

（1）求单调递增区间；

（2）在锐角三角形中，内角的对边分别为，已知，求的取值范围.

21.（12分）在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.

（1）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？

（2）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求的最小值.

22.（12分）已知函数（其中）.

（1）若且方程有解，求实数的取值范围；

（2）若是偶函数，讨论函数的零点情况.

2022学年第二学期钱塘联盟期中联考

高一年级数学学科参考答案

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.    14.④    15.    16.

[部分解析]

8.解：图象法

设，则：①时，没有根；

②时，有11个根；

③时，有12根；

12.如图，每截去一个角，就增加了3条棱，2个顶点，所以截角四面体的棱数和顶点数分别为，A正确；

截角四面体表面积由4个等边三角形和4个正六边形构成，所以表面积为

截角四面体体积由棱长为6的正四面体体积减去

棱长为2的4个正四面体的体积和，是正六角

形的中心，，

小正四面体的高为，

所以，C错；

是正三角形的中心，由正四面体的对称性知截角四面体的外接球

的球心在原正四面体的高上，设球的半径为，在中，

，在Rt中，

，所以，

故.D正确.

13.解法一：如图，所以且为正三角形，

.

解法二.

14.因为直线不平行平面，所以直线与平面的位置关系是：直线在平面内､直线与平面相交，故④正确.

15.

最大，则到平面的距离最长.

16.设，

三点共线，.①

又

，.②由①②得或（舍去）故，

（或者在中可以用余弦定理求出.）

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.解（1）可设

法二：设，做对一样给分.

（2）

即

（注：有公式，也给2分）

18.解（1）化简得：整理得：

由正弦定理可推得：

因此

（2）

19.解（1）证明：连结，

因为正方体，所以，

四边形为平行四边形，

平面平面，

平面，

取中点连结，

是和的中点

四边形为平行四边形，

同理可得：平面，

面面面，

（2）因为正方体，所以点到平面的距离与点

到平面的距离相等，，

.

20.解（1）

的单调递增区间为

（2）

或即或（舍去）

因此

所以

所以

21.解（1）释放的去污剂浓度为，

当时，，解得，综上所述；

当时，，解得，即；

故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.

（2）设从第一次喷洒起，经天，则浓度，

，当且仅当即.

所以的最小值为.

22.解（1）因为方程有解，所以方程有解，

即的值域与方程的值域相同.

所以，即，故；

（2）因为是偶函数，所以，

有，解得，经检验满足题意.

函数的零点情况等价于

的解的情况，

即，讨论的解的情况，

令，则

当时，，此时方程无解，

当时，函数开口向上，且恒过定点，

则只有一解，此时方程只有1解，

当时，函数开口向下，且恒过定点，且函数的对称轴，则方程（*）无解，

综上所述：当时函数无零点，当时函数有一个零点.