湖北省2023届高三4月调研模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省2023届高三4月调研模拟考试数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省2023届高三4月调研模拟考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、复数与下列复数相等的是(   )A. B.C.  D.2、已知集合，，且全集，则(   )A.  B. C.  D.3、城市交通信号灯的配时合理与否将直接影响城市交通情况.我国采用的是红绿交通信号灯管理方法，即“红灯停、绿灯行”.不妨设某十字路口交通信号灯的变换具有周期性.在一个周期T内交通信号灯进行着红绿交替变换（东西向红灯的同时，南北向变为绿灯；然后东西向变为绿灯，南北向变红灯）.用H表示一个周期内东西方向到达该路口等待红灯的车辆数，V表示一个周期内南北方向到达该路口等待红灯的车辆数，R表示一个周期内东西方向开红灯的时间，S表示一个周期内所有到达该路口的车辆等待时间的总和（不考虑黄灯时间及其它起步因素），则S的计算公式为(   )A.  B. C.  D.4、已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则(   )A. B. C. D.5、在中，，且点D满足，则(   )A. B. C.   D.6、已知，则(   )A. B.-1 C.   D.7、已知动直线l的方程为，，，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围为(   )A. B. C.   D.8、已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为，且的图象关于原点对称，则(   )A.0 B.3 C.4   D.1二、多项选择题9、以下说法正确的有(   )A.某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为5.5B.经验回归直线至少经过样本点数据中的一个点C.若，，则事件A，B相互独立D.若随机变量，则取最大值的必要条件是10、已知函数（其中，，T为图象的最小正周期，满足，且在恰有两个极值点，则有(   )A.B.函数为奇函数C. D.若，则直线为图象的一条切线11、已知在棱长为2的正方体中，过棱BC，CD的中点E，F作正方体的截面多边形，则下列说法正确的有(   )A.截面多边形可能是五边形B.若截面与直线垂直，则该截而多边形为正六边形C.若截面过的中点，则该截面不可能与直线平行D.若截面过点，则该截面多边形的面积为12、已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点D，F为AD的中点，且，点M是抛物线上间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y轴交于点N，抛物线在A，B两点处的切线交于点T，则下列说法正确的有(   )A.抛物线焦点F的坐标为B.过点N作抛物线的切线，则切点坐标为C.在△FMN中，若，，则t的最小值为D.若抛物线在点M处的切线分别交BT，AT于H，G两点，则三、填空题13、在某项测量中，其测量结果服从正态分布，且，则_________.14、若的展开式中常数项为160，则的最小值为__________.15、已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为____________.16、已知X为包含v个元素的集合（，）.设A为由X的一些三元子集（含有三个，元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系.若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为________.四、解答题17、设数列前n项和满足，.（1）证明：数列为等比数列；（2）记，求数列的前n项和.18、如图，在三棱柱中，，，E，F分别为，的中点，且平面.（1）求棱BC的长度；（2）若，且的面积，求二面角的正弦值.19、在中，D为边BC上一点，，，.（1）求；（2）若，求内切圆的半径.20、高性能计算芯片是一切人工智能的基础.国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测.智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标.人工检测综合指标不达标的概率为.（1）求每个AI芯片智能检测不达标的概率；（2）人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求；（3）若AI芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良.以（2）中确定的作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良.21、已知双曲线的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）.（1）若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；（2）若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由22、已知函数，.（1）当时，求函数的最小值；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案1、答案：B解析：由题设,, 故A、C、D错误;而, 故B正确.故选：B.2、答案：D解析：由已知得集合M 表示的区间为, 集合N 表示的区间为, 则，, , 所以.故选: D.3、答案：B解析：由题意得:一个周期T内, 东西方向路口等待红灯的车辆 数为H ，等待开红灯的时间为R,则一个周期T内, 东西方向路口等待时间的总 和为HR,又交通信号灯红绿交替变换时间周期为T,所以一个周期T内, 南北方向路口等待开红灯 的时间为,又一个周期T内, 南北方向路口等待红灯的车 辆数为V 则一个周期T内, 南北方向路口等待时间的总 和为 ，一个周期T内, 到达该路口的车辆等待时间的 总和,故选：B.4、答案：A解析：由, 故, 则，, 故, 则, 所以. 故选: A.5、答案：A解析：根据题意可知D 为BC 中点,又 即,, 故.故选: A.6、答案：C解析：所以, 则所以, 则, 故, 由故选: C.7、答案：B解析：解: 由可得令 由万能公式可得所以直线l  的方程为①,由题意可知过原点与直线|垂直的直线方程为 ②，可得, 即表示点Q 的轨迹为圆心为 半径为 3 的圆,于是线段PQ 长度的取值范围为,因为,所以线段PQ长度的取值范围为.故选: B.8、答案：D解析：由关于原点对称, 则 关 所以 关于 对称， 关于对称，且,又, 即, 则关于 对称，综上, ，, 则,所以, 而, 故,又, 则 关于 对 称，即 ，所以, 则 ,所以.故选D9、答案：AC解析：对于A, 数列从小到大为2,3,3,4,7, 8,10,18 , 则, 故第 50 百分位数为, 故A正确;对于B, 回归直线不一定过样本点, 但必过样本中心，故B错误;对于C, 由 ，则, 故所以事件A, B相互独立, 故C正确;对于D, 由，要使 取最大值，只需 取最大, 显然当 或 11 时 最 大, 故 是 取最大的充分条件, 故 D错误.故选: AC.10、答案：BCD解析：因为，, 所以,则 (不符题意, 舍去 或 故, 而, 则, 故A 错误;, 而, 所以是奇函数, 故B正确;由 在 恰有两个极值点, 根据正弦函数的图象及性质可得, 故C正 确;当 时, 由上可得, 即, 则当 时, ，, 则 是 的一 条切线, 故D正确.故选: BCD.11、答案：ABD解析：对于B项, 如下图所示, 在正方体中易证 面 ，分别取棱 ，，，的中点G、H 、J,由中位线的性质可得平面 平面EFGHIJ,故 面EFGHIJ,而六边形EFGHIJ 显然为正六边形, 故B正确;对于C 项, 如下图所示, 连接AC、BD 交于O 点, 记面 和面 的中心分别为G、H, 易知G、H、E、F 共面(即符合要求的截面). 连接 ，CO交 GH,EF于N,M两点, 由中位线性质可得N、M 为 ,CO的中点, 故, 所以 面GHEF, 所以C项错 误;对于AD 项, 如下图所示, 延长EF分别与直线A B、AD交于P、Q 两点, 连接 ,交棱 、 于TS, 则五边形 为所得截面, A正确；, 故D正确.故选：ABD 12、答案：BCD解析：13、答案：解析：由题设, , 而, 又, 故 所以.故答案为: 14、答案：4解析：的展开式中通项公式为,令, 求得,可得展开式的常数项为再根据展开式中的常数项为 -160 , 可得所以, 所以,所以, 当且仅当 时, 取等号.故答案为: 4 .15、答案：解析：由题设, 令, 则 与 在 上有两个交点, 则 ，交点都在 上, 它们互为反函 数设 ，与 相切, ，若切点为，,所以, 可得, 此时 综上, ，之间, 在 时有两 个交点, 在 时有一个交点, 在 时无 交点,所以.故答案为:.16、答案：7解析：由题设, 令集合, 共7个元 素,所以X的三元子集，如下共 35 个:，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，,，，，，，，，，，，,，因为A 中集合满足X 中的任意两个不同的元素,都恰好同时包含在唯一的一个三元子集, 所以A中元素满足:，，，，，，, 共7个;，，，，，，, 共7个;，，，，，，, 共7个;，，，，，，, 共7个;，，，，，，, 共7个;，，，，，，, 共7个;，，，，，，, 共7个;，，，，，，, 共7个;，，，，，，, 共7个;，，，，，，, 共7个;，，，，，，, 共7个;，，，，，，, 共7个;，，，，，，, 共7个;，，，，，，共7个;共有15种满足要求的集合A, 都只有7个元素.故答案为: 7 .17、答案：(1)见解析(2)解析：（1），且，，，，令，可得，，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）可得，，18、答案：(1)(2)解析：（1）取AC中点D，连接ED，BD，为三棱柱，且，四边形DEFB为平行四边形，又平面.平面，，又D为AC的中点，为等腰三角形，（2）由（1）知，，，，且且，，，由（1）知平面，，又三棱柱中，又，所以，，平面ABC，平面，所以为直三棱柱，为直角三角形，可求得，又在三棱柱中，，以为坐标原点，向量，，方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，，，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，即，取，易知平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，，.19、答案：(1)(2)2解析：（1）设，，，在中，由正弦定理可得，在中，，又，所以，，，.（2），，又易知为锐角，，，，∵，，中，，又，在中，由余弦定理可得，.设的内切圆半径为r，则，则20、答案：(1)(2)需要对生产工序进行改良解析：（1）记事件 “每个AI芯片智能检测不达标”，则(2)由题意，令，则，当，，当，，所以的最大值点.记事件 “人工检测达标”，则，又所以，所以需要对生产工序进行改良.21、答案：(1)(2)存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上解析：（1）由题意得，所以，设，，，则作差得又MN的斜率，，所以（2）， 直线，，设，，联立得，所以，所以设直线， 所以所以.故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上.22、答案：(1)(2)见解析解析：（1），令，则，当，，当，.所以.（2）记，即恒成立，①当时，当，，所以在单调递增，且，，故存在唯一，使得，当，，所以，此时，不合题意.②当时，（ⅰ）若，则，所以恒成立，即成立，符合题意.（ⅱ），单调递增，且，，所以存在唯一使，当时，，当，又，，故存在唯一，使故，，，，又，， 所以时，，，即恒成立.综上，