浙江省杭州市余杭区云城天元公学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年浙江省杭州市余杭区云城天元公学八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列方程中，是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  有位同学参加歌唱比赛，成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛，一位选手知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则他还需知道这位同学成绩的(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

5.  要判断一个四边形是否为矩形，下面是位同学拟定的方案，其中正确的是(    )

A. 测量两组对边是否分别相等 B. 测量两条对角线是否互相垂直平分
C. 测量其中三个内角是否都为直角 D. 测量两条对角线是否相等

6.  一个多边形的内角和为，外角和为，则的多边形的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于时，应假设(    )

A. 三角形的二个内角小于 B. 三角形的三个内角都小于
C. 三角形的二个内角大于 D. 三角形的三个内角都大于

8.  某电影上映第一天票房收入约亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到亿元．若增长率为，则下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：线段的长；的周长；的大小；直线，之间的距离其中会随点的移动而不改变的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若关于的一元二次方程且与关于的一元一次方程有一个公共解，且方程只有一个解，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  若二次根式有意义，则自变量的取值范围是______．

12.  若一组数据，，，的众数是，则这组数据的方差为______．

13.  若，，则 ______ ．

14.  四边形是平行四边形，，的平分线交直线于点若，则的长为______．

15.  如图，矩形中，，，连结对角线，为的中点，为直线上的一个动点，连结，作点关于的对称点，连结、，若与的重叠部分面积等于的，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
解方程：
；
．

19.  本小题分
如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为，，两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图，图中各画一个四边形所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上

在图中画以，，，为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于；
在图中画以，，，为顶点的平行四边形，且面积为．

20.  本小题分
如图，在四边形中，，的平分线交于点，交的延长线于点，且．
求证：四边形是平行四边形；
连结，若，，，求四边形的面积．

21.  本小题分
某山区中学名学生参加植树活动，要求每人植至棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，：棵；：棵；：棵；：棵将各类的人数绘制成扇形图如图和条形图如图．

回答下列问题：
这次调查一共抽查了______ 名学生的植树量；请将条形图补充完整；
被调查学生每人植树量的众数是______ 棵、中位数是______ 棵；
求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这名学生共植树多少棵？

22.  本小题分
某我市某企业安排名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产件甲产品或件乙产品，经测试，甲产品每件可获利元，乙产品每件可获利元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产件乙产品，当天平均每件获利减少元，设每天安排人生产乙产品．
根据信息填表：

若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多元，试问：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是多少元？
根据市场需求，该企业在不增加工人的情况下，需要增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等，已知每人每天可生产件丙每人每天只能生产一件产品，丙产品每件可获利元，要使该企业每天生产三种产品也能获得第题中同样的利润，请问该企业应安排多少名工人生产甲产品？

23.  本小题分
如图，已知菱形，，点是射线上的动点，以为边向右侧作等边，连结．
如图，点在线段上，求证：．
如图，当，，三点共线时，连结，求证：四边形是菱形．
当时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
B.该方程中未知数的最高次数不是次，所以它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.该方程中含有两个未知数，所以它不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是次，并且得是整式方程，即可判断．
本题考查了一元二次方程，对一元二次方程的定义的准确理解是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误；
故选：．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以判断哪个选项是正确的．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：由于总共有个人，且他们的成绩互不相同，要判断是否进入前名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．则应知道中位数的多少．
故选：．
参赛选手要想知道自己是否能进入前名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
 

5.【答案】 

【解析】解：矩形的判定定理有有三个角是直角的四边形是矩形，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，
A、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；
B、根据对角线互相垂直平分得出四边形是菱形，故本选项错误；
C、根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；
D、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误；
故选：．
根据矩形的判定和平行四边形的判定以及菱形的判定分别进行判断，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形和菱形的判定，主要考查学生的推理能力和辨析能力．
 

6.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数为，则边形的内角和，多边形的外角和，
，
，
解得，
此多边形的边数为．
故选：．
设这个多边形的边数是，依据等量关系就得到方程，从而求出边数．
本题主要考查多边形内角和定理与外角和定理，关键是要注意多边形的外角和等于，与边数的多少无关．
 

7.【答案】 

【解析】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，
第一步应先假设三角形的三个内角都小于，
故选：．
根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．
 

8.【答案】 

【解析】解：设增长率为，
依题意，得：．
故选：．
设增长率为，根据第一天的票房收入及前三天的票房收入，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点，分别为，的中点，
，，
线段的长不变，直线，之间的距离，故符合题意，
、的长随点的运动而改变，的大小随点的运动而改变，故不符合题意；
故选：．
根据三角形中位线定理判断即可．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
 

10.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程与关于的一元一次方程有一个公共解，
是方程的一个解．
方程只有一个解，
，
整理得：
故选：．
由是方程和的一个公共解，可得出是方程的一个解，根据根与系数的关系即可得出，整理后即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据根与系数的关系找出是解题的关键．
 

11.【答案】且 

【解析】解：由题意得，，，
解得且，
故答案为：且．
根据二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义和分式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数、分式分母不为是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：数据，，，的众数是，
，
平均数是，
则这组数据的方差为；
故答案为：．
根据众数的定义先求出的值，再根据方差的计算公式进行计算即可．
本题考查了众数和方差：众数是一组数据中出现次数最多的数；一般地设个数据，，，的平均数为，则方差
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
原式
．
故答案为：．
根据配方法以及二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
 

14.【答案】或 

【解析】解：当点在线段上时，如图：

四边形为平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
当点在线段延长线上时，如图：

四边形为平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
综上，的长为或．
故答案为：或．
可分两种情况：当点在线段上时；当点在线段延长线上时，由平行四边形的性质知，由平行线的性质即角平分线的定义可得，进而可求解的长，即可求得的长．
本题主要考查平行四边形的性质，证明求解的长是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图中，当点在线段上时，连接，，作于，于．

与的重叠部分面积等于的，
，
，于，于，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；
综上所述：．
故答案为：．
分两种情形，如图中，当点在线段上时，连接，，作于，于只要证明四边形是平行四边形即可解决问题．
本题属于中考填空题中的综合题．考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．
 

16.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
即且，解得且，
的取值范围是且． 

【解析】由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到的不等式，可求得的取值范围．
本题主要考查根的判别式，由根的判别式得到关于的不等式是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

；
原式


． 

【解析】先算乘法，再算加法即可；
把根式分母有理化，再算乘法，最后算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算及分母有理化，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
这里，，，
．
．
，．
，
，
，
，． 

【解析】用公式法求解比较简便；
利用因式分解法求解比较简便
本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的公式法、因式分解法是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：如图中，四边形即为所求；
如图中，四边形即为所求．
 

【解析】根据要求画出图形即可；
画一个边长为的正方形即可．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
，，
是等边三角形，
，，
又，
，
，
，
▱的面积． 

【解析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得，可证，可得结论；
先证是等边三角形，可求的面积，即可求解．
 

21.【答案】     

【解析】解：这次调查一共抽查植树的学生人数为人，
类人数人．

故答案为：；

众数是，中位数是，
故答案为：、；

棵，
棵．
答：估计这名学生共植树棵．
由类型的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以类型的对应的百分比即可求出其人数，据此可补全图形；
根据众数和中位数的概念可得答案；
先求出样本的平均数，再乘以总人数即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，众数，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】   

【解析】解：设每天安排人生产乙产品，则每天安排人生产甲产品，每天可生产件乙产品，每件的利润为元，每天可生产件甲产品．
故答案为：；；
依题意，得：，
整理，得：
解得：，不合题意，舍去，
．
答：该企业每天生产甲、乙产品可获得总利润是元．
设该企业安排人生产甲产品，则安排人生产丙产品，安排人生产乙产品，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：该企业应安排人生产甲产品．
设每天安排人生产乙产品，则每天安排人生产甲产品，每天可生产件乙产品，每件的利润为元，每天可生产件甲产品，此问得解；
由总利润每件产品的利润生产数量结合每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
设该企业安排人生产甲产品，则安排人生产丙产品，安排人生产乙产品，根据总利润每件产品的利润生产数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其整数值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程，一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出每天生产甲产品的数量及每件乙产品的利润；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

23.【答案】证明：四边形是菱形，点在线段上，
由菱形的对称性可得，
是等边三角形，
，
；
证明：连接，如图：

四边形是菱形，，
，是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
四边形是菱形，点在线段上，
由菱形的对称性可得，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：当在线段上时，过作于，如图：

，，
，
由菱形的对称性可知，
四边形是菱形，，
，
，
是等腰直角三角形，
设，则，
在中，，
，
，
当在延长线上时，连接交于，如图：

，，
，
由菱形的对称性可知，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
设，则，
，
，
在中，
，
，
综上所述，的值为或． 

【解析】根据菱形的对称性可得，又是等边三角形，，即得；
连接，证明≌，得，，可得，，而由菱形的对称性可得，即知，可得四边形是菱形；
分两种情况：当在线段上时，过作于，由，，得，知，可得是等腰直角三角形，设，则，可得，从而，当在延长线上时，连接交于，可知，从而可得，，设，则，在中，，可得．
本题考查四边形综合应用，涉及菱形的性质，全等三角形性质与判定，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握菱形的性质及分类讨论思想的应用．