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初中数学湘教版八年级下册第4章 一次函数4.5 一次函数的应用教学ppt课件
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这是一份初中数学湘教版八年级下册第4章 一次函数4.5 一次函数的应用教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了逐点学练，本节小结，作业提升，学习目标，本节要点，学习流程，感悟新知，知识点，分段函数的应用，选择方案等内容，欢迎下载使用。
分段函数的应用选择方案建立一次函数模型进行预测一次函数与二元一次方程一次函数与一元一次方程
1.分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是在自变量的不同取值范围内，用不同的表达式表示同一个函数 .
特别提醒◆分段函数在不同的自变量取值范围内对应的表达式不同.◆表示分段函数时，每一段函数表达式后面必须加上自变量的取值范围 .
2. 分段函数反映在函数表达式上，每一段都有函数表达式，前后两段函数表达式不同；分段函数反映在函数图象上，图象有分段点，分段点前后图象不是同一变化趋势，有的分段点既是上一段函数图象的“终点”，也是下一段函数图象的“起点” .
某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量x(单位： kW· h)与应付电费 y(单位：元)的关系如图 4.5－1. 根据图象分别求出当 0 ≤ x ≤ 50 和 x>50 时， y 与 x 的函数表达式 .
解：当 0 ≤ x ≤ 50 时， 函数是正比例函数，可设函数表达式为y=kx( k≠ 0)，将(50，25) 代入， 得25=50k，解得 k=0.5，所以 y=0.5x.
解题秘方：紧扣自变量的取值范围，利用待定系数法求出各段的表达式 .
方法点拨1. 通过分段图象可知，当一段图象的变化规律与另一段图象的变化规律不同时，常需要分段考虑 .2. 当满足不同的条件时，其对应的函数表达式不同，则需要分段考虑.3. 分段后各段自变量的取值范围要不重不漏.
1.选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断，筛选出最佳方案，常涉及的问题类型有利润最大、路程最短、运费最少、效率最高等，常建立函数模型，运用方程或不等式求解 .
2. 用一次函数选择方案的一般步骤：(1) “析”： 分析题意，弄清数量关系 .(2)“列”： 列出函数表达式、不等式或方程 .(3)“求”： 求出自变量取不同值时对应的函数值的大小，或函数的最大(最小)值 .(4)“选”： 结合实际需要选择最佳方案 .注意： 在选择方案时，要考虑实际问题中自变量的取值范围，尤其要看它是不是某些特殊值(如正整数) .
特别提醒1. 解决含多个变量的问题时，注意分析这些变量之间的关系，从中选取一个能影响其他变量的变量作为自变量，然后根据已知的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型 .2. 选择最佳方案实 际上是在比较的基础上完成的，它往往是将全部方案一一列举出来，然后根据题意选择一个最佳的方案 .
某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买 10 副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配 x ( x ≥ 2 )个羽毛球，供社区居民免费借用 . 该社区附近 A， B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，每副球拍的标价均为 30 元，每个羽毛球的标价均为 3 元，目前两家超市都在做促销活动：
A 超市：所有商品均打九折(按标价的 90% )销售；B 超市：买一副羽毛球拍送 2 个羽毛球 .设在 A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 yA 元，在 B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 yB 元 . 请解答下列问题：
(1)分别写出 yA 和 yB 与 x 之间的函数表达式 .
解：由题意得 yA = ( 10×30+10×3 x ) ×0.9=27 x +270 ( x ≥ 2 ) ， yB =10×30+10×3 ( x － 2 ) =30 x +240 ( x ≥ 2 ) .
(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
解：当 yA = yB 时，27 x +270=30 x +240，解得 x =10；当 yA > yB时，27 x +270>30 x +240，解得 x <10；当 yA < yB 时，27 x +270<30 x +240，解得 x >10.∴当 2 ≤ x <10 时，在 B 超市购买更划算；当 x =10 时，在两家超市购买费用一样；当 x >10 时，在 A 超市购买更划算 .
(3)若每副球拍配 15 个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案 .
解：若只在一家超市购买，由于 x =15>10，则到 A 超市购买较省钱，此时 yA =27 x +270=27×15+270=675.若先在 B 超市购买 10 副羽毛球拍，送 20 个羽毛球，然后在 A 超市购买剩下的羽毛球，购买羽毛球需
( 10×15 － 20 ) ×3×0.9=351 (元) ，共需费用 10×30+351=651 (元) .∵ 651<675，∴最省钱的方案是先在 B 超市购买 10 副羽毛球拍，送 20 个羽毛球，然后在 A 超市购买 130 个羽毛球 .
解题秘方：紧扣标价与折扣间的数量关系建立一次函数模型，用方程、不等式进行分类讨论 .
技巧点拨解一次函数与方程、不等式综合的实际应用问题的方法：先读懂题意，理解题干的条件和各个问题的关系，并利用题目中的信息建立函数模型，根据函数值的大小关系，建立方程、不等式模型，再分类讨论，确定不同情况下自变量的取值范围及对应的函数值范围，通过比较，选择方案 .
本例的解答运用了分类讨论思想，解答的关键是建立函数模型 .特别提醒注意第( 3 )问中没有限制条件“只在一家超市购买”.
某省为了推动经济建设，某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展 . 2023 年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共 100 公顷(三种蔬菜的种植面积均为整数) ，青椒的种植面积是西红柿种植面积的 2 倍，经预算，种植西红柿的利润可达 1 万元 / 公顷，青椒 1.5 万元 / 公顷，马铃薯 2 万元 / 公顷，设种植西红柿 x 公顷，总利润是 y 万元 .
解题秘方：紧扣总利润与各部分利润之间的关系列函数关系式，结合不等式求解 .
(1)求总利润 y (万元)与种植西红柿的面积 x (公顷)之间的函数关系式 .
解：由题意得 y=x+1.5×2x+2 ( 100 － 3x ) =－ 2x+200.
(2)若预计总利润不低于 180 万元，西红柿的种植面积不低于 8 公顷，有多少种种植方案？
解：由题意得 － 2x+200 ≥ 180，解得 x ≤ 10.∵ x ≥ 8，∴ 8 ≤ x ≤ 10. ∵ x 为整数，∴ x 可取 8，9，10. ∴有三种种植方案：方案一：种植西红柿 8 公顷、马铃薯 76 公顷、青椒 16 公顷；方案二：种植西红柿 9 公顷、马铃薯 73 公顷、青椒 18 公顷；方案三：种植西红柿 10公顷、马铃薯 70公顷、青椒 20公顷 .
解：∵ y=－2x+200， －2<0，∴ y 随 x 的增大而减小 .∴当 x=8 时，利润最大，最大利润为 184 万元 .设投资 A 种类型的大棚 a 个， B 种类型的大棚 b 个 .由题意得 5a+8b ≤ 18 ×184，即 5a+8b ≤ 23，∴ a=1， b=1 或 2； a=2， b=1； a=3， b=1.
特别警示解答本题时，容易忽视“同时建造 A， B两种类型的温室大棚” 而产生不符合题意的建造方案：a=0， b=0 或 1 或 2；a=1， b=0；a=2， b=0；a=3， b=0；a=4， b=0.
∴可以投资 A 种类型的大棚 1 个， B 种类型的大棚 1 个；或投资 A 种类型的大棚 1 个， B 种类型的大棚 2 个；或投资 A 种类型的大棚 2 个， B 种类型的大棚 1 个；或投资 A 种类型的大棚 3 个， B 种类型的大棚 1 个 .
方法点拨本题涉及函数关系式与不等式(组) ，解决这类问题，先要把实际问题转化为一次函数问题，然后利用一次函数的增减性及自变量的取值范围来解决 . 当所列不等式是二元一次不等式时，可以通过对其中一个未知数取一个满足题意的值，代入不等式中，再解关于另一个未知数的一元一次不等式，并求出它的满足题意的值.按照这个方法，将所有满足这个二元一次不等式的未知数的值求出，从而获得相应的方案 .
[中考·黔东南州] 黔东南州某销售公司准备购进 A， B两种商品，已知购进 3 件 A 商品和 2 件 B 商品，需要 1 100 元；购进 5 件 A 商品和 3 件 B 商品，需要 1 750 元．
(1)求 A， B 两种商品的进货单价分别是多少元；
(2)若该公司购进 A 商品 200 件， B 商品 300 件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售．已知每件 A 商品运往甲、乙两地的运费分别为 20 元和 25 元；每件 B 商品运往甲、乙两地的运费分别为 15 元和 24 元．若运往甲地的商品共 240件，运往乙地的商品共 260 件．①设运往甲地的 A 商品为 x(件)，投资总运费为 y(元)，请写出 y 与 x 的函数关系式；
解：运往甲地的 A 商品为 x 件，则运往乙地的 A 商品为(200－x)件，运往甲地的 B 商品为( 240 － x )件，运往乙地的 B 商品为( 60+ x )件，则 y =20 x +25 ( 200 － x ) +15 ( 240 － x ) +24 ( 60+ x ) =4 x +10 040，∴ y 与 x 的函数关系式为 y =4 x +10 040.
②怎样调运 A， B 两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？(投资总费用 = 购进商品的费用 + 运费)
解：设投资总费用为 w 元，则 w=200×200+300×250+4x+10 040=4x+125 040 ( 0 ≤ x ≤ 200 ) .∵ k=4>0，∴ y 随 x 的增大而增大．∴当 x=0 时， w 取得最小值， w 最小 =125 040，∴调运 240 件 B 商品到甲地，调运 200 件 A 商品、60 件B 商品到乙地可使投资总费用最少，最少费用为 125 040 元．
解题秘方：紧扣“调运过程中费用间的关系”列出一次函数关系式，用一次函数的性质求解 .
解法指导当调运方案中涉及两个函数关系式时，要比较费用的大小，一般要分三种情况，利用不等式或方程讨论求解；而要求得最省钱的调运方案时，一般先根据数量之间的关系建立函数，然后利用一次函数的增减性确定出符合要求的方案 .
技巧点拨求解调运方案问题，常借助表格来分析问题，如本题，调运情况如下表：
某商店销售 10 台 A 型电脑和 20 台 B 型电脑的利润为 4 000 元，销售 20 台 A 型电脑和 10 台 B 型电脑的利润为3 500 元 .
解法指导在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题，解此类问题的关键是通过题意，确定出函数的表达式，然后根据函数的增减性确定其最大值，且要注意自变量的取值范围和问题的实际意义 .
解题秘方：从列方程组求方程组解中获取求一次函数关系式的数据，并根据一次函数的性质求方案 .
(1)求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润；
详解根据“销售10台A型电脑和20台B型电脑的利润为4 000元”可得10a+20b=4 000；根据“销售20台A型电脑和10台B型电脑的利润为3 500元”可20a+10b=3 500.
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台，其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍 . 设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为 y 元 .① 求 y 关于 x 的函数关系式；
解：根据题意得 y=100x+150 ( 100 － x ) ，即 y= － 50x+15 000.
② 该商店购进 A 型电脑、 B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
③ 实际进货时，厂家对 A 型电脑出厂价下调 m(0
详解y=(100+m)x+150·(100－x)=(100+m)x+15 000－150x=(100+m－150)x+15 000=(m－50)x+15 000.
建立一次函数模型进行预测
1.建立函数模型：利用函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象为一次函数模型，即建模 .
2. 预测邻近数据：第一步： 找出自变量和因变量，确定因变量是随自变量均匀变化的 .第二步： 利用待定系数法求出函数表达式 .第三步： 根据函数表达式对邻近数据进行预测 .注意： 预测只能在邻近数据区域，远离已知数据做预测是不可靠的 .
特别提醒“建模”可以把实际问题转化为关于一次函数的数学问题，它的关键是确定函数的表达式，并确定实际问题中自变量的取值范围 .
小丽在练习跳绳，下表是她今年 1~4 月份 1 分钟跳绳成绩的情况 .
解题秘方：紧扣两个变量的变化规律确定函数关系，利用待定系数法确定函数表达式，再进行预测 .
特别提醒利用求得的一次函数表达式，可以对数据的邻近区域进行预测，远离已知数据进行预测是不可靠的.
(1)你能为小丽的 1 分钟跳绳成绩与月份之间的关系建立函数模型吗？如果能，请求出表达式；如果不能，请说明理由 .
解：能 . 上表中从 2 月份开始，每个月的成绩都比上个月的成绩提高 5 个，可以尝试建立一次函数模型 . 用 x 表示月份， y 表示成绩，则小丽的 1 分钟跳绳成绩 y(个)与月份x 之间的函数表达式可以设为 y=kx+b.
易错警示题目中没有明确是什么函数时，不能单凭两组数据确定函数表达式，必须要检验其他几组数据是否符合 .
(2)用所求出的函数表达式预测小丽今年 5 月份的 1 分钟跳绳成绩 .
解：当 x=5 时， y=5×5+75=100. 预测小丽今年 5 月份的1 分钟跳绳成绩是 100 个 .
(3)能用所求出的表达式预测小丽明年 3 月份的 1 分钟跳绳成绩吗？请说明理由 .
解：不能 . 理由：因为 1 分钟跳绳成绩在短时间内可能呈某种趋势，但在较长时间内，受自身的发展极限的限制，不会永远呈此种趋势 . (理由不唯一，合理即可)
一次函数与二元一次方程
1. 一次函数与二元一次方程的联系：一般地，一次函数 y=kx+b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 kx － y+b=0 的一个解，以二元一次方程 kx － y+b=0的解为坐标的点都在一次函数 y=kx+b 的图象上，即
特别提醒1. 因为二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标之间是一一对应的，所以可以实现方程与函数之间的相互转化，这体现了数形结合思想 .2. 以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其对应的一次函数的图象完全重合(是一条直线) .
(1)二元一次方程 一次函数 一条直线；(2)二元一次方程的解 一次函数两变量的值 直线上的点的坐标 .
2. 二元一次方程与一次函数的区别：(1)二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；(2)二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图象法表示两个变量的关系 .
如图 4.5 － 2 所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x － 2y=2 的解的是( )
解法指导直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程kx － y+b=0中，当y=0时x的值；直线y=kx+b与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程kx － y+b=0中，当x=0时 y 的值 .这类题的解法，体现了数形结合思想和转化思想 .
解题秘方：紧扣“一次函数与二元一次方程的关系”求解 .
一次函数与一元一次方程
1. 一次函数与一元一次方程的关系：一般地，一次函数 y=kx+b( k ≠ 0)的图象与 x 轴的交点的横坐标是一元一次方程 kx+b=0 的解 . 任何一个一元一次方程 kx+b=0 的解，就是一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交点的横坐标 .
要点解读： 可利用一次函数的图象求解一元一次方程 . 求一次函数图象与 x 轴交点的横坐标的实质就是解一元一次方程，也就是说，“数”题可用“形”解，“形”题也可用“数”解 .①关于x的方程ax+b=0( a≠ 0)的解⇐⇒ 直线y=ax+b( a≠ 0，a， b 为常数)与 x 轴的交点的横坐标；②关于x的方程ax+b=n( a≠ 0)的解⇐⇒ 直线y=ax+b( a≠ 0，a， b 为常数)与直线 y=n(n 为常数)的交点的横坐标；
③关于 x 的方程 ax+b=cx+d ( a ≠ 0， c ≠ 0 且 a ≠ c )的解 ⇐⇒直线 y=ax+b ( a ≠ 0， a， b 为常数 ) 与直线 y=cx+d ( c ≠ 0，c， d 为常数)的交点的横坐标 .
2. 利用一次函数图象解一元一次方程的步骤：(1)转化： 将一元一次方程转化为一次函数；(2)画图象： 画出一次函数的图象；(3)找交点： 找出一次函数图象与 x 轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解 .
特别提醒对于一次函数 y=kx+b(k ≠ 0， k， b 为常数)，已知 x 的值求 y的值，或已知 y 的值求x 的值时，就是把问题转化为关于 y 或 x 的一元一次方程来求解 .
利用函数图象解方程 3x － 2=x+4.
解题秘方：紧扣“利用一次函数图象解一元一次方程的步骤”求解 .
解： 由 3x－2=x+4 得 2x－6=0，令y=2x－6，画函数y=2x－6的图象，如图4.5－3所示，由图可知，直线 y=2x－6 与 x 轴的交点坐标为(3，0)，所以 x=3.
解法指导利用函数图象解一元一次方程时，一般需将方程变形为 kx+b=0( k ≠ 0， k， b 为常数)的形式，然后令 y=kx+b并画出其图象，通过观察直线 y=kx+b 与 x 轴的交点坐标确定方程的解，此求解方法对作图的准确性要求较高 .
解题秘方：紧扣“一元一次方程和一次函数间的关系”求解.
x轴或y轴上两点间的距离是横坐标或纵坐标差的绝对值
解法指导一次函数的图象与坐标轴交点的坐标求法：令y=0，解方程即得与x轴的交点的横坐标；令x=0，解方程即得与y轴的交点的纵坐标 .
分段函数的应用选择方案建立一次函数模型进行预测一次函数与二元一次方程一次函数与一元一次方程
1.分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是在自变量的不同取值范围内，用不同的表达式表示同一个函数 .
特别提醒◆分段函数在不同的自变量取值范围内对应的表达式不同.◆表示分段函数时，每一段函数表达式后面必须加上自变量的取值范围 .
2. 分段函数反映在函数表达式上，每一段都有函数表达式，前后两段函数表达式不同；分段函数反映在函数图象上，图象有分段点，分段点前后图象不是同一变化趋势，有的分段点既是上一段函数图象的“终点”，也是下一段函数图象的“起点” .
某电力公司制定了新的用电收费标准，每月用电量x(单位： kW· h)与应付电费 y(单位：元)的关系如图 4.5－1. 根据图象分别求出当 0 ≤ x ≤ 50 和 x>50 时， y 与 x 的函数表达式 .
解：当 0 ≤ x ≤ 50 时， 函数是正比例函数，可设函数表达式为y=kx( k≠ 0)，将(50，25) 代入， 得25=50k，解得 k=0.5，所以 y=0.5x.
解题秘方：紧扣自变量的取值范围，利用待定系数法求出各段的表达式 .
方法点拨1. 通过分段图象可知，当一段图象的变化规律与另一段图象的变化规律不同时，常需要分段考虑 .2. 当满足不同的条件时，其对应的函数表达式不同，则需要分段考虑.3. 分段后各段自变量的取值范围要不重不漏.
1.选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断，筛选出最佳方案，常涉及的问题类型有利润最大、路程最短、运费最少、效率最高等，常建立函数模型，运用方程或不等式求解 .
2. 用一次函数选择方案的一般步骤：(1) “析”： 分析题意，弄清数量关系 .(2)“列”： 列出函数表达式、不等式或方程 .(3)“求”： 求出自变量取不同值时对应的函数值的大小，或函数的最大(最小)值 .(4)“选”： 结合实际需要选择最佳方案 .注意： 在选择方案时，要考虑实际问题中自变量的取值范围，尤其要看它是不是某些特殊值(如正整数) .
特别提醒1. 解决含多个变量的问题时，注意分析这些变量之间的关系，从中选取一个能影响其他变量的变量作为自变量，然后根据已知的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型 .2. 选择最佳方案实 际上是在比较的基础上完成的，它往往是将全部方案一一列举出来，然后根据题意选择一个最佳的方案 .
某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买 10 副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配 x ( x ≥ 2 )个羽毛球，供社区居民免费借用 . 该社区附近 A， B 两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，每副球拍的标价均为 30 元，每个羽毛球的标价均为 3 元，目前两家超市都在做促销活动：
A 超市：所有商品均打九折(按标价的 90% )销售；B 超市：买一副羽毛球拍送 2 个羽毛球 .设在 A 超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 yA 元，在 B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 yB 元 . 请解答下列问题：
(1)分别写出 yA 和 yB 与 x 之间的函数表达式 .
解：由题意得 yA = ( 10×30+10×3 x ) ×0.9=27 x +270 ( x ≥ 2 ) ， yB =10×30+10×3 ( x － 2 ) =30 x +240 ( x ≥ 2 ) .
(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
解：当 yA = yB 时，27 x +270=30 x +240，解得 x =10；当 yA > yB时，27 x +270>30 x +240，解得 x <10；当 yA < yB 时，27 x +270<30 x +240，解得 x >10.∴当 2 ≤ x <10 时，在 B 超市购买更划算；当 x =10 时，在两家超市购买费用一样；当 x >10 时，在 A 超市购买更划算 .
(3)若每副球拍配 15 个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案 .
解：若只在一家超市购买，由于 x =15>10，则到 A 超市购买较省钱，此时 yA =27 x +270=27×15+270=675.若先在 B 超市购买 10 副羽毛球拍，送 20 个羽毛球，然后在 A 超市购买剩下的羽毛球，购买羽毛球需
( 10×15 － 20 ) ×3×0.9=351 (元) ，共需费用 10×30+351=651 (元) .∵ 651<675，∴最省钱的方案是先在 B 超市购买 10 副羽毛球拍，送 20 个羽毛球，然后在 A 超市购买 130 个羽毛球 .
解题秘方：紧扣标价与折扣间的数量关系建立一次函数模型，用方程、不等式进行分类讨论 .
技巧点拨解一次函数与方程、不等式综合的实际应用问题的方法：先读懂题意，理解题干的条件和各个问题的关系，并利用题目中的信息建立函数模型，根据函数值的大小关系，建立方程、不等式模型，再分类讨论，确定不同情况下自变量的取值范围及对应的函数值范围，通过比较，选择方案 .
本例的解答运用了分类讨论思想，解答的关键是建立函数模型 .特别提醒注意第( 3 )问中没有限制条件“只在一家超市购买”.
某省为了推动经济建设，某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展 . 2023 年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共 100 公顷(三种蔬菜的种植面积均为整数) ，青椒的种植面积是西红柿种植面积的 2 倍，经预算，种植西红柿的利润可达 1 万元 / 公顷，青椒 1.5 万元 / 公顷，马铃薯 2 万元 / 公顷，设种植西红柿 x 公顷，总利润是 y 万元 .
解题秘方：紧扣总利润与各部分利润之间的关系列函数关系式，结合不等式求解 .
(1)求总利润 y (万元)与种植西红柿的面积 x (公顷)之间的函数关系式 .
解：由题意得 y=x+1.5×2x+2 ( 100 － 3x ) =－ 2x+200.
(2)若预计总利润不低于 180 万元，西红柿的种植面积不低于 8 公顷，有多少种种植方案？
解：由题意得 － 2x+200 ≥ 180，解得 x ≤ 10.∵ x ≥ 8，∴ 8 ≤ x ≤ 10. ∵ x 为整数，∴ x 可取 8，9，10. ∴有三种种植方案：方案一：种植西红柿 8 公顷、马铃薯 76 公顷、青椒 16 公顷；方案二：种植西红柿 9 公顷、马铃薯 73 公顷、青椒 18 公顷；方案三：种植西红柿 10公顷、马铃薯 70公顷、青椒 20公顷 .
解：∵ y=－2x+200， －2<0，∴ y 随 x 的增大而减小 .∴当 x=8 时，利润最大，最大利润为 184 万元 .设投资 A 种类型的大棚 a 个， B 种类型的大棚 b 个 .由题意得 5a+8b ≤ 18 ×184，即 5a+8b ≤ 23，∴ a=1， b=1 或 2； a=2， b=1； a=3， b=1.
特别警示解答本题时，容易忽视“同时建造 A， B两种类型的温室大棚” 而产生不符合题意的建造方案：a=0， b=0 或 1 或 2；a=1， b=0；a=2， b=0；a=3， b=0；a=4， b=0.
∴可以投资 A 种类型的大棚 1 个， B 种类型的大棚 1 个；或投资 A 种类型的大棚 1 个， B 种类型的大棚 2 个；或投资 A 种类型的大棚 2 个， B 种类型的大棚 1 个；或投资 A 种类型的大棚 3 个， B 种类型的大棚 1 个 .
方法点拨本题涉及函数关系式与不等式(组) ，解决这类问题，先要把实际问题转化为一次函数问题，然后利用一次函数的增减性及自变量的取值范围来解决 . 当所列不等式是二元一次不等式时，可以通过对其中一个未知数取一个满足题意的值，代入不等式中，再解关于另一个未知数的一元一次不等式，并求出它的满足题意的值.按照这个方法，将所有满足这个二元一次不等式的未知数的值求出，从而获得相应的方案 .
[中考·黔东南州] 黔东南州某销售公司准备购进 A， B两种商品，已知购进 3 件 A 商品和 2 件 B 商品，需要 1 100 元；购进 5 件 A 商品和 3 件 B 商品，需要 1 750 元．
(1)求 A， B 两种商品的进货单价分别是多少元；
(2)若该公司购进 A 商品 200 件， B 商品 300 件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售．已知每件 A 商品运往甲、乙两地的运费分别为 20 元和 25 元；每件 B 商品运往甲、乙两地的运费分别为 15 元和 24 元．若运往甲地的商品共 240件，运往乙地的商品共 260 件．①设运往甲地的 A 商品为 x(件)，投资总运费为 y(元)，请写出 y 与 x 的函数关系式；
解：运往甲地的 A 商品为 x 件，则运往乙地的 A 商品为(200－x)件，运往甲地的 B 商品为( 240 － x )件，运往乙地的 B 商品为( 60+ x )件，则 y =20 x +25 ( 200 － x ) +15 ( 240 － x ) +24 ( 60+ x ) =4 x +10 040，∴ y 与 x 的函数关系式为 y =4 x +10 040.
②怎样调运 A， B 两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？(投资总费用 = 购进商品的费用 + 运费)
解：设投资总费用为 w 元，则 w=200×200+300×250+4x+10 040=4x+125 040 ( 0 ≤ x ≤ 200 ) .∵ k=4>0，∴ y 随 x 的增大而增大．∴当 x=0 时， w 取得最小值， w 最小 =125 040，∴调运 240 件 B 商品到甲地，调运 200 件 A 商品、60 件B 商品到乙地可使投资总费用最少，最少费用为 125 040 元．
解题秘方：紧扣“调运过程中费用间的关系”列出一次函数关系式，用一次函数的性质求解 .
解法指导当调运方案中涉及两个函数关系式时，要比较费用的大小，一般要分三种情况，利用不等式或方程讨论求解；而要求得最省钱的调运方案时，一般先根据数量之间的关系建立函数，然后利用一次函数的增减性确定出符合要求的方案 .
技巧点拨求解调运方案问题，常借助表格来分析问题，如本题，调运情况如下表：
某商店销售 10 台 A 型电脑和 20 台 B 型电脑的利润为 4 000 元，销售 20 台 A 型电脑和 10 台 B 型电脑的利润为3 500 元 .
解法指导在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题，解此类问题的关键是通过题意，确定出函数的表达式，然后根据函数的增减性确定其最大值，且要注意自变量的取值范围和问题的实际意义 .
解题秘方：从列方程组求方程组解中获取求一次函数关系式的数据，并根据一次函数的性质求方案 .
(1)求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润；
详解根据“销售10台A型电脑和20台B型电脑的利润为4 000元”可得10a+20b=4 000；根据“销售20台A型电脑和10台B型电脑的利润为3 500元”可20a+10b=3 500.
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台，其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍 . 设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为 y 元 .① 求 y 关于 x 的函数关系式；
解：根据题意得 y=100x+150 ( 100 － x ) ，即 y= － 50x+15 000.
② 该商店购进 A 型电脑、 B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
③ 实际进货时，厂家对 A 型电脑出厂价下调 m(0
详解y=(100+m)x+150·(100－x)=(100+m)x+15 000－150x=(100+m－150)x+15 000=(m－50)x+15 000.
建立一次函数模型进行预测
1.建立函数模型：利用函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象为一次函数模型，即建模 .
2. 预测邻近数据：第一步： 找出自变量和因变量，确定因变量是随自变量均匀变化的 .第二步： 利用待定系数法求出函数表达式 .第三步： 根据函数表达式对邻近数据进行预测 .注意： 预测只能在邻近数据区域，远离已知数据做预测是不可靠的 .
特别提醒“建模”可以把实际问题转化为关于一次函数的数学问题，它的关键是确定函数的表达式，并确定实际问题中自变量的取值范围 .
小丽在练习跳绳，下表是她今年 1~4 月份 1 分钟跳绳成绩的情况 .
解题秘方：紧扣两个变量的变化规律确定函数关系，利用待定系数法确定函数表达式，再进行预测 .
特别提醒利用求得的一次函数表达式，可以对数据的邻近区域进行预测，远离已知数据进行预测是不可靠的.
(1)你能为小丽的 1 分钟跳绳成绩与月份之间的关系建立函数模型吗？如果能，请求出表达式；如果不能，请说明理由 .
解：能 . 上表中从 2 月份开始，每个月的成绩都比上个月的成绩提高 5 个，可以尝试建立一次函数模型 . 用 x 表示月份， y 表示成绩，则小丽的 1 分钟跳绳成绩 y(个)与月份x 之间的函数表达式可以设为 y=kx+b.
易错警示题目中没有明确是什么函数时，不能单凭两组数据确定函数表达式，必须要检验其他几组数据是否符合 .
(2)用所求出的函数表达式预测小丽今年 5 月份的 1 分钟跳绳成绩 .
解：当 x=5 时， y=5×5+75=100. 预测小丽今年 5 月份的1 分钟跳绳成绩是 100 个 .
(3)能用所求出的表达式预测小丽明年 3 月份的 1 分钟跳绳成绩吗？请说明理由 .
解：不能 . 理由：因为 1 分钟跳绳成绩在短时间内可能呈某种趋势，但在较长时间内，受自身的发展极限的限制，不会永远呈此种趋势 . (理由不唯一，合理即可)
一次函数与二元一次方程
1. 一次函数与二元一次方程的联系：一般地，一次函数 y=kx+b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 kx － y+b=0 的一个解，以二元一次方程 kx － y+b=0的解为坐标的点都在一次函数 y=kx+b 的图象上，即
特别提醒1. 因为二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标之间是一一对应的，所以可以实现方程与函数之间的相互转化，这体现了数形结合思想 .2. 以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其对应的一次函数的图象完全重合(是一条直线) .
(1)二元一次方程 一次函数 一条直线；(2)二元一次方程的解 一次函数两变量的值 直线上的点的坐标 .
2. 二元一次方程与一次函数的区别：(1)二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；(2)二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图象法表示两个变量的关系 .
如图 4.5 － 2 所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x － 2y=2 的解的是( )
解法指导直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程kx － y+b=0中，当y=0时x的值；直线y=kx+b与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程kx － y+b=0中，当x=0时 y 的值 .这类题的解法，体现了数形结合思想和转化思想 .
解题秘方：紧扣“一次函数与二元一次方程的关系”求解 .
一次函数与一元一次方程
1. 一次函数与一元一次方程的关系：一般地，一次函数 y=kx+b( k ≠ 0)的图象与 x 轴的交点的横坐标是一元一次方程 kx+b=0 的解 . 任何一个一元一次方程 kx+b=0 的解，就是一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交点的横坐标 .
要点解读： 可利用一次函数的图象求解一元一次方程 . 求一次函数图象与 x 轴交点的横坐标的实质就是解一元一次方程，也就是说，“数”题可用“形”解，“形”题也可用“数”解 .①关于x的方程ax+b=0( a≠ 0)的解⇐⇒ 直线y=ax+b( a≠ 0，a， b 为常数)与 x 轴的交点的横坐标；②关于x的方程ax+b=n( a≠ 0)的解⇐⇒ 直线y=ax+b( a≠ 0，a， b 为常数)与直线 y=n(n 为常数)的交点的横坐标；
③关于 x 的方程 ax+b=cx+d ( a ≠ 0， c ≠ 0 且 a ≠ c )的解 ⇐⇒直线 y=ax+b ( a ≠ 0， a， b 为常数 ) 与直线 y=cx+d ( c ≠ 0，c， d 为常数)的交点的横坐标 .
2. 利用一次函数图象解一元一次方程的步骤：(1)转化： 将一元一次方程转化为一次函数；(2)画图象： 画出一次函数的图象；(3)找交点： 找出一次函数图象与 x 轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解 .
特别提醒对于一次函数 y=kx+b(k ≠ 0， k， b 为常数)，已知 x 的值求 y的值，或已知 y 的值求x 的值时，就是把问题转化为关于 y 或 x 的一元一次方程来求解 .
利用函数图象解方程 3x － 2=x+4.
解题秘方：紧扣“利用一次函数图象解一元一次方程的步骤”求解 .
解： 由 3x－2=x+4 得 2x－6=0，令y=2x－6，画函数y=2x－6的图象，如图4.5－3所示，由图可知，直线 y=2x－6 与 x 轴的交点坐标为(3，0)，所以 x=3.
解法指导利用函数图象解一元一次方程时，一般需将方程变形为 kx+b=0( k ≠ 0， k， b 为常数)的形式，然后令 y=kx+b并画出其图象，通过观察直线 y=kx+b 与 x 轴的交点坐标确定方程的解，此求解方法对作图的准确性要求较高 .
解题秘方：紧扣“一元一次方程和一次函数间的关系”求解.
x轴或y轴上两点间的距离是横坐标或纵坐标差的绝对值
解法指导一次函数的图象与坐标轴交点的坐标求法：令y=0，解方程即得与x轴的交点的横坐标；令x=0，解方程即得与y轴的交点的纵坐标 .
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