山东省2023届新高考联合模拟（济南二模）考试数学试题（Word版附答案）

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2023年4月山东省新高考联合模拟考试
数学试题

本试卷共4页，22题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。


一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知复数 i, 则z²+z=
A.— 1 C. D.1
2.已知集合A={(x,y)ly=x},B=((x,y)||xl+ly|=1}, 则 A∩B 中元素的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知抛物线y²=2px(p>0) 的焦点在圆x²+y²=4 上，则该抛物线的焦点到准线的距离为
A.1 B.2 C.4 D.8
4.某射击运动员连续射击5次，命中的环数(环数为整数)形成的一组数据中，中位数为8,唯一
的众数为9,极差为3,则该组数据的平均数为
A.7.6 B.7.8 C.8 D.8.2
5.已知直线y=x- 1 与曲线y=e+ 相切，则实数a 的值为
A.— 2 B.— 1 C.0 D.2
6.17世纪30年代，意大利数学家卡瓦列利在《不可分量几何学》 一书中介绍了利用平面图形旋
转计算球体体积的方法.如图，AEB 是一个半圆，圆心为O,ABCD 是
半圆的外切矩形.以直线OE 为轴将该平面图形旋转一周，记△OCD,
阴影部分，半圆AEB 所形成的几何体的体积分别为V₁,V₂,V₃, 则下列
说法正确的是
A.V₁+V₂V₃ C.Vi>V₂ D.V₁=V₂
高三数学试题 第 1 页 (共4页)

7.已知函数 ,数列{a} 满 足a;=1,an+s=a,(n ∈N₄),ʃ(a₁)+f(a₂)+ f(a₃)=0, 则
A.0 B.1 C.675 D.2023
8.已知函数f(x)=asin2x+bcos2x(ab≠0) 的图象关于直线 对称，则下列说法正
确的是

)是偶函数 B.f(x) 的最小正周期为2π

C.f(x) 在区间 上单调递增 D. 方程f(x)= 2b 在区间[0,2π]上有2个实根
二 、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知实数a,b,c 满足a>b>c, 且 a+b+c=0, 则下列说法正确的是
A. B.a-c> 2b C.a²>> b² D.ab +bc 0
10.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示 事件“第一次取出的球的数字是奇数”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”,丙表示事件
“两次取出的球的数字之和是奇数”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,则
A.乙发生的概率为 B.丙发生的概率为
C.甲与丁相互独立 D.丙与丁互为对立事件
11.如图所示，在菱形ABCD 中 ， ,E,F,G 分别是线段AD,CD,BC 的中点，将
△ABD 沿直线BD 折起得到三棱锥A—BCD, 则在该三棱锥中，下列说法正确的是
A. 直线EF// 平 面ABC
B. 直线BE 与 DG 是异面直线
C. 直线BE 与 DG 可能垂直
D.若 ,则二面角A-BD—C 的大小为
12.若定义在[0,1]上的函数f(x) 同时满足：① f(1)=1;② 对 Vx ∈[0,1],f(x)≥0 成
立；③对 Vx₁,xz,x₁+x₂ ∈[0,1],f(x₁)+f(x₂)≤f(x₁+x₂) 成立；则称f(x) 为“正
方和谐函数”.下列说法正确的是
A.f(x)=x²,x ∈[0,1] 是“正方和谐函数”
B. 若 f(x) 为“正方和谐函数”,则f(O)=0
C.若 f(x) 为“正方和谐函数”,则f(x) 在[0,1]上是增函数
D.若 f(x) 为“正方和谐函数”,则对 Vx ∈[0,1],f(x)≤2x 成立
高三数学试题 第 2 页 ( 共 4 页 )

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知 ,则 的 值 为
14.已知abc 表示一个三位数，如果满足a>b 且 c>b, 那么我们称该三位数为“凹数”,则没
有重复数字的三位“凹数”共 个(用数字作答).
15.已知向量a=(1,2),b=(4,2), 若非零向量c 与a,b 的夹角均相等，则c 的坐标为
(写出一个符合要求的答案即可).
16.如图，在矩形ABCD 中， |AB|=2|ADI,A₁,A₂ 分别为边AB,
CD 的中点，M,N 分别为线段A₂C (不含端点)和AD 上的动点，
满足 ,直线A₁M,A₂N 的交点为P, 已知点P
的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)
根据国家统计局统计，我国2018-2022年的新生儿数量如下：

年份编号x
1
2
3
4
5
年份
2018
2019
2020
2021
2022
新生儿数量y(单位：万人)
1523
1465
1200
1062
956
(1)由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量y 与年份编号x的关系，请用 相关系数加以说明；
(2)建立y 关于x的回归方程，并预测我国2023年的新生儿数量.


,a=y-bx,
参考公式及数据：




),
,


18. (12分)
已知数列{a} 的前n 项和S 。=2°+1—2, 数列{b.} 满足b 。=log₂an ·
(1)求数列{an},{bn} 的通项公式；
(2)由a,,b, 构成的n×n 阶数阵如图所示， 求该数阵中所有项的和T,.

19. (12分)
如图，在正三棱台ABC-DEF 中 ，M,N 分别为棱AB,BC 的中点， AB=2DE.
(1)证明：四边形MNFD 为矩形；
(2)若四边形MNFD 为正方形，求直线BC 与平面ACFD 所成 角的正弦值.



20. (12分)
已知△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,点G 是△ABC 的重心，且AG ·BG=0.
(1)若 ,求tan ∠GAC 的值；
(2)求cos ∠ACB 的取值范围.



21. (12分)
已知椭圆E: )的长轴长为4,由E 的三个顶点构成的三角形的面积
为2 .
(1)求E 的方程；
(2)记E 的右顶点和上顶点分别为A,B, 点 P 在线段AB 上运动，垂直于x轴的直线PQ 交E 于点M (点M 在第一象限),P 为线段QM 的中点，设直线AQ 与E 的另一个交点为
N, 证明：直线MN 过定点.



22,(12分)
已知函数
(1)当a=0 时，求f(x) 在区间[1,e] 上的值域；
(2)若f(x) 有唯一的极值点，求a 的取值范围.

山 东 省 新 高 考 联 合 模 拟 考 试

数 学 试 题 参 考 答 案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
C
B
A
D
B
D
二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

题号
9
10
11
12
答案
BC
ACD
ABD
ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. √③;14.240;15. (1,1),答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可；16. √ 3.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 【解析】
(1)由题意及参考数据可得：
x=3, ), ;


所以


因为y 与x的相关系数近似为-0.98,说明y 与x的线性相关程度相当高，从而
可以用线性回归模型拟合y 与x的关系.

(2)由及 ( 1 ) 得 ：


a=y-bx=1241.2-(- 153.7)×3=1702.3.
所以 y 关于x的回归方程为： y=-153.7x+1702.3.
将2023年对应的年份编号x=6代入回归方程得： y=- 153.7×6+1702.3=780.1. 所以我国2023年的新生儿数量约780.1万人.
18. 【解析】

(1)因为 Sn=2°+¹-2, 所以 an=S,-S₁=2",n≥2,

当 n=1 时，α=S=2, 适合上式，所以 a₄=2".
所以 b,=log₂a₁=log₂2”=n.

(2)T₁=a(b+b₂+ …+b₁)+a₂(b+b₂+ …+b₁)+ …+a,(k+b₂+ …+bn)

=(a+a₂+ …+a₁)(b+b₂+ …+b₁)

,
因为 S 。=2+1-2,

19. 【解析】
(1)因为三棱台ABC-DEF 是正三棱台， M 为棱AB 的中点， AB=2DE.
所 以DE//MB 且DE=MB, 所以四边形DMBE 为平行四边形，
所 以MD//BE 且MD=BE, 同理 NF //BE 且NF=BE;
所 以MD//NF 且 MD=NF, 所以四边形DMNF 为平行四边形.
取 AC 的中点为O, 连接AE,EC,OE,OB,
因为 EA=EC,BA=BC,
所以 AC ⊥OB,AC ⊥OE, 又OB∩OE=O,
所以直线AC⊥ 面BOE, 又BEc 面BOE,
所 以AC ⊥BE, 又MN//AC,MD//BE, 所以 MN ⊥MD,
所以四边形DMNF 为矩形.
( 2 ) 以O 为原点， OB,OC 所在直线分别为x轴， y 轴建立空间直角坐标系，
设正方形DMNF 的边长为1,则DE=1,AB=2,BE=1.
则A(O,- 1,0),B(√3,0,0),C(0,1,0), ),
则AC=(0,2,0), ,BC=(-√3,1,0),
设平面ACFD 的法向量为n=(x,y,z),




由


, 得



, 令z=- 1, 得n=(2√2,0,- 1),



设BC 与平面ACFD 所成的角为θ,所以

所 以 直 线BC 与平面ACDF 所成角的正弦值为
20. 【解析】
(1)延长CG 交 AB 于 点D, 因 为 G 是 △ABC 的重心，
则 D 为线段AB 的中点，且, 又AG ·BG=0,
所 以 GA ⊥GB, 因 此 ,GC=2DG=c,
又因为 , 所 以 , 在 △AGC 中，记∠CAG=a,



由正弦定理


, 即






所以

, 即 cosα=2√3sinα,




所以

, 即




( 2 ) 由 ( 1 ) 可 知

, 在 △ABC 中，





在△ACD中 ，

所以 , 整 理 得 a²+b²=5c²,
在△ABC 中，

当且仅当a=b 时，等号成立；
又∠ACB ∈(0,π), 所 以 cos ∠ACB<1,
综上 cos ∠ACB 的取值范围为 ).

21. 【解析】
(1)由题意可知 ,解得α=2,b=1; 所 以 椭 圆E 的方程为
(2)由(1)可知A(2,0),B(0,1), 则直线AB 的方程为x+2y-2=0, 设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂), 因为 PQ ⊥x 轴，所以 ),
因为 P 为线段QM 的中点，所以 Q(x₁,2-x-y₁),
又因为 A,Q,N 三点共线，所以 , 即
设直线MN:y=kx+m, 代， 并整理得：
(4k²+1)x²+8kmx+4m²-4=0, 则 ;
所以 , 所 以 m=1-2k,
所以直线MN 的方程为： y=kx+1-2k=k(x-2)+1,
故直线MN 过定点(2,1).
22. 【解析】
( 1 ) 当a=0 时 ， ,x ∈[1,e].
令f"(x)=0, 得x= √e. 当x∈(1, √E)时，f(x)>0,f(x) 单调递增；
当x∈( √e,e) 时，f(x)<0,f(x) 单调递减.
因为 f(1)=0,
所 以f(x) 的值域为 ·
(2)
f(x) 的极值点等价于ʃ (x)的变号零点. i
①若a≤0,f(x) 的定义域为(0,+w),(x-a)³>0.

显然 g(x) 在x∈(0,+)上单调递减；
因为 g(1)=1-a>0,
所以存在唯一的x₀ ∈(1,c-a), 使得g(x)=0, 即f"(x)=0,

当x∈(0,x₀)时， ʃ '(x)>0,当x∈(x₀ ,+x)时， f"(x)<0;
所以 f(x) 存在唯一极大值点，符合题意.
②若a>0,f(x) 定义域为(0,a)U(a,+m)
,
当x∈(a,+x) 时，(x-a)³>0.
所以 g(x)单调递减，注意到 g(a)=-2lna.
(i)a>1 时， g(a)<0, 所以g(x)<0, 所以 f(x)<0,
所以 f(x) 在x∈(a,+m) 上无极值点；
(ii)a=1 时， g(a)=0, 所以 g(x)≤0, 所以 f'(x)≤0,
所以 f(x) 在x∈(a,+x) 上无极值点；
(iii)00,g(2)<0,
所以存在唯一的x₁ ∈(a,2),g(x)=0, 即ʃ'(x)=0.

当x∈(a,x) 时，g(x)>0,f'(x)>0, 当x∈(x,+c∞)时，g(x)<0,ʃ"(x)<0;

所以x=x;为f(x) 在x∈(a,+x) 的极大值点，
此时f(x) 在x∈(a,+cq) 有一个极值点.
当x∈(0,a) 时，(x-a)³<0.
, , 令g'(x)=0, 得
时， g'(x)>0,g(x) 单调递增； 当 时， g'(x)<0,g(x) 单调递减.

,



(i)a>1

时，若

,



,g(a)=-2lna<0,

时， 所以存在 , ,g(x₂)=g(x₃)=0.
当x∈(0,x₂)时， g(x)<0,f"(x)>0,
当x∈(x₂ ,x₃)时， g(x)>0,ʃ"(x)<0,

当x∈(x₃,a) 时， g(x)<0,f"(x)>0;

所以x=x₂为f(x) 的极大值点，x=x₃为f(x) 的极小值点；
此时f(x) 在(0,a) 上有两个极值点.
若 , 则 ,g(x)≤0,f'(x)≥0,
此时 f(x) 在(0,a) 上无极值点；
故 a>1 不符合题意.
(ii) 当a=1 时， , ,g(1)=0;
所以存在唯- ),使得g(x₄)=0,
当x∈(0,x₄)时， g(x)<0,f"(x)>0,
当x∈(x₄ ,1)时， g(x)>0,f"(x)<0;

所以x=x₄为 f(x) 的极大值点；此时 f(x) 在(0,a) 有一个极值点，



故 a=1 符合题意.
当
(iii) 当 00, 所以存在唯一x₅ ∈1),使得g(x₃)=0,
当x∈(0,x₃)时， g(x)<0,f"(x)>0,
当x∈(xs,a) 时， g(x)>0,f'(x)<0;

所以x=x₃为f(x)的极大值点；




)时，




此时 f(x) 在x∈(0,a) 有一个极值点，不合题意.
综上 a 的取值范围为a≤0 或a=1.