人教版数学九年级下册第二十八章 锐角三角函数 单元自测题 （含解析）

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人教版九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 单元自测题一、单选题1．计算的值等于（　　）A． B． C． D．2．的值等于（　　）A． B． C． D．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则cosA的值为（　　） A． B． C． D．4．在中，，若，则的值为（　　）A． B． C．2 D．5．如图，在中，，，则的值为（　　）A．2 B．3 C． D．6．已知是锐角，，则的值是（　　）A． B． C． D．7．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（　　）A． B． C． D． 8．如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为32°，若点D到电线杆底部点B的距离为a米，则电线杆AB的长可表示为（　　）A．2a·cos32°米     B．2a·tan32°米    C．米    D．米9．如图，在中，，D是的中点，，，则等于（　　）A． B． C． D．10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在边上，连接、，则线段的长度是（　　） A．1 B．2 C． D．二、填空题11．如果，那么锐角的度数为　     　°.12．　     　.13．若，且，则　     　度．14．如图，在某中学操场内，测得看台的高为，坡角为，从同一列上的第一排的点A和最后一排的点B处测得旗杆顶部的仰角分别为和，旗杆底部点O与第一排点A在同一水平面上，则旗杆的高度为　     　．三、计算题15．计算下列各题：（1）（2）.   16．计算：．   四、解答题17．如图，在中，∠B＝90°，，若AB＝10，求BC的长．   18．已知，，，．求∠A的余弦值和正切值  19．小瑞放学后回家，到小区的门口C处时，看到自己家的窗户A的仰角，他向前走了后到达点D处时，看到自己家窗户A的仰角，小瑞的身高，求小瑞家到地面的高度．（结果取整数，参考数据：，，，，，，）  20．为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点A在点C的北偏东方向，在点D的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长（结果保留整数，参考数据：，）．   五、综合题21． 如图，小欢从公共汽车站出发，沿北偏东方向走米到达东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车站南偏东方向的图书馆C处．（1）求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间的最短距离；（2）如果小欢以米分的速度从图书馆C沿回到公共汽车站A，那么她在分钟内能否到达公共汽车站？注：，   22．如图，在四边形中，，，，，的延长线与的延长线交于点E．（1）若，求的长；（2）若，求的长．    23．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标系原点，矩形的边，分别在轴和轴上，其中，.已知反比例函数的图象经过边上的中点，交于点.（1）求的值；（2）猜想的面积与的面积之间的关系，请说明理由.（3）若点在该反比例函数的图象上运动（不与点重合），过点作轴于点，作所在直线于点，记四边形的面积为，求关于的解析式并写出的取值范围.
答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：故答案为：C.【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行解答.2．【答案】B【解析】【解答】tan30°=，则=，故答案为：B．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。3．【答案】C【解析】【解答】解：如图，

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5 ，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据余弦函数的定义，cosA=∠A的邻边∶斜边即可直接得出答案.4．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示，∵，，∴，∵，∴，∴.故答案为：A.【分析】根据特殊锐角三角函数值可得∠A=30° ，再根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，进而再根据特殊锐角三角函数值即可得出答案.5．【答案】D【解析】【解答】解：在中，，， ∴，∴可设，则，∴， ∴，故答案为：D. 【分析】根据余弦函数的定义得，设AC=x，则AB=3x，根据勾股定理表示出BC，进而再根据正切函数的定义即可求出答案.6．【答案】A【解析】【解答】解：，， 又，，解得，故答案为：A．
【分析】由可得，利用特殊角三角函数值可得，继而得解.7．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示，，则， ∴，故答案为：A．
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用正弦的定义可得。8．【答案】B【解析】【解答】解：∵BD=a，∠CDB=32°，AB⊥BD，∴BC=BD•tan32°=a•tan32°，∵点C是AB的中点，∴AB=2BC=2a•tan32°．故答案为：B．
【分析】利用解直角三角形的方法求解即可。9．【答案】B【解析】【解答】解：过D作于点E， ∵D是的中点，，∴，∵，∴，设，则，，，即，解得，即，，∴，故答案为：B．
【分析】过D作于点E，先求出，设，则，，利用勾股定理可得，即，求出a的值，再求出，最后利用正弦的定义可得。10．【答案】B【解析】【解答】解：，， ，，，，
∴∠OAB=30°，
∴OA=2OB=2，由旋转的性质可知，，，是等边三角形，，故答案为：B. 【分析】易得OB=1，AB=，由正切函数的定义及特殊锐角三角函数值可得∠AOB=60°，由旋转的性质得OA=OA'，∠AOB=∠AOA'=60°，故△OAA'是等边三角形，根据含30直角直角三角形的性质及等边三角形的性质可得AA'的长度.11．【答案】30【解析】【解答】解：∵，∴锐角A的度数为30°，故答案为：30.【分析】根据特殊锐角三角函数值即可直接得出答案.12．【答案】【解析】【解答】解：原式.故答案为：.【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式=2×+3×，计算即可.13．【答案】30【解析】【解答】解：∵∴∴．故答案为：．
【分析】利用特殊角的三角形函数值可得，再求出即可。14．【答案】9【解析】【解答】解：如图所示，，，由题意知，，，在中，可得，在中，可得，先求出在中，可得．故答案为：9．
【分析】先求出，可得，再利用解直角三角形的方法求出即可。15．【答案】（1）解：原式；（2）解：原式.【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、0次幂的运算法则可得原式=()2-++6×，然后计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）根据特殊角的三角函数值可得原式= ，据此计算.16．【答案】解：原式=+2×-2+9=+-2+9=9．【解析】【分析】根据绝对值、特殊角三角函数值、二次根式的性质及负整数指数幂先化简，再计算加减即可.17．【答案】解：∵∠B＝90°，∴．∵AB＝10，∴AC＝14，∴．∴BC的长为．【解析】【分析】先根据余弦的定义求出AC的长，再利用勾股定理求出BC的长即可。18．【答案】解：∵，，，∴AB，则cosA，tanA．【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用余弦和正切的定义求解即可。19．【答案】解：如图，连接并延长，交于点E， 由题意可知，∴四边形和四边形是矩形，∴，，在中，，∴．在中，，∴，∴，∴，∴，∴．答：小瑞家到地面的高度为．【解析】【分析】连接并延长，交于点E，先利用解直角三角形的方法求出AE和DE的长，再利用线段的和差求出AB的长即可。20．【答案】解：过D作于于E，∵，∴，∵，∴四边形为矩形，∵，∴在中，，∵米，，∴（米），∵，∴在中，，∵四边形为矩形，∴米，∵，∴（米），∴（米），答：的长和的长分别约为米和米．【解析】【分析】过D作于于E，先利用解直角三角形的方法求出，，再利用线段的和差求出即可。21．【答案】（1）解：过点A作于点D，位于A的北偏东方向，米，，米，答：小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是米；（2）解：中，，米，米，，小欢分钟内能到达公共汽车站．【解析】【分析】（1）过点A作于点D，先求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得 ；
（2）先利用解直角三角形的方法求出AC的长，再比较大小即可。22．【答案】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴．（2）解：∵，，∴，，又∵，∴，∴．【解析】【分析】（1）先求出，可得，再结合，可得，最后利用线段的和差求出BC的长即可；
（2）根据，，求出，再利用线段的和差求出即可。23．【答案】（1）解：四边形是矩形，，，设，，由勾股定理得，，，，，，，是的中点，，，设，把代入得，.（2）解：，由题意可知，，是的中点，，，，在反比例函数图象上，，，.（3）解：当时，如图所示：，，当时，如图所示：，∴，综上所述，，；【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠OCB=90°，利用三角函数的概念可设BC=4x，OB=5x，由勾股定理可得x的值，由中点的概念可得CD的值，表示出点D的坐标，然后代入y=中就可求出k的值；
（2）根据反比例函数系数k的几何意义可得S△OCD=S△OAE==3，根据中点的概念结合三角形的面积公式可得S△OCD=S△OBD=S△BDC，根据全等三角形的性质可得S△OBA=S△OBC=6，然后根据面积间的和差关系进行计算；
（3）当0<x<2时，CQ=x，PQ=-3，然后根据S矩形QCRP=CQ·PQ进行解答；当x>2时，CQ=x，PQ=3-，然后根据S矩形QCRP=CQ·PQ进行解答.