2023年福建省福州市闽清天儒中学中考模拟数学试题(含答案)

这是一份2023年福建省福州市闽清天儒中学中考模拟数学试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了 化简的结果是， 不等式组的解集是等内容，欢迎下载使用。
证号：___ 姓名：___
（在此卷上答题无效）
2022－2023学年第二学期闽清天儒中学九年级适应性练习
数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分．
注意事项：
1. 答题前，学生务必在本练习卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致．
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本练习卷上答题无效．
3. 作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
4. 结束时，学生必须将本练习卷和答题卡一并交回．
第I卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. －26的相反数是（ ）
A. B. － C. －26 D. 26
2. 如图所示的正三棱柱，其主视图是（ ）

A. B． C． D．
3. 闽清（古属福州府闽清县）简称“梅”，是福建省福州市下辖县，位于福建省东部，全县总面积为1466000000，辖11镇5乡291个村居，将数据1466000000用科学计数法表示，其结果是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B． C． D．
5. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
6. 在最近三次的数学适应性练习中，小陈、小包、小吴、小李四位同学的平均成绩都是120分（满分150分），四位同学的方差分别是，则小陈、小包、小吴、小李四位同学中成绩最稳定的是（ ）
A. 小陈 B． 小包 C. 小吴 D. 小李
7. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. D.
8. 某乒乓球比赛的每两队之间都进行1场比赛，共要比赛28场，设共有x支球队参加该比赛，则符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.
9. 小柠同学想要测量一颗树的高．如图，她站在与树AB相距4远的C处测得在此处观测树顶A的仰角，若小柠同学的眼睛D距离地面1.6，则这颗树的高AB约为（ ）
（参考数据：）

A. 3.4 B． 3.64 C. 5.16 D. 5.6
10. 如图，在Rt△ABC中，，点D是AC左侧一点，连接AD，BD，CD，若CD＝4，AD＝5，，则BD的长是（ ）

A. B. 9 C. D. 9
第II卷
注意事项：
1. 用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本练习卷上作答，答案无效．
2. 作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 六边形的外角和是___．
12. 在半径是3的圆中，圆心角为的扇形的面积是___．
13. 某校课后服务课程有：足球，篮球，书法，舞蹈．为了解最受学生喜爱的课后服务课程，该校对初一同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据以上信息可知，该校初一学生中最喜爱足球课程的人数是___．
14. 对于反比例函数，当时，；当时，，则k的值可以是___（只需写出一个符合条件的实数）．
15. 下列四个命题：
①对角线互相垂直的四边形是菱形；
②对角线相等的菱形是正方形；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
④有一个角是的四边形是矩形．
其中是真命题的是___（只填序号）．
16. 已知抛物线的顶点为C，不过点C的直线l与该抛物线交于A，B两点，连接AC，BC，若，则原点O到直线l的距离的最大值是___．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分8分）计算：．
18.（本小题满分8分） 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，求证：．

19.（本小题满分8分）先化简，再求值：，其中．
20.（本小题满分8分）某商店销售一件A商品可获利20元，销售一件B商品可获利30元．
（1）已知该商店某天销售A，B两种商品共65件并获利1700元，求这天该商店销售的A，B两种商品的件数各为多少．
（2）经营性质规定：该商店A商品的销售量不能小于总数量的40%．现该商店要销售A，B两种商品共500件，请你设计销售方案，使该商店获利最大，并求出获利的最大值．
21.（本小题满分8分）如图，B，E，C，F四点分别是在数轴上表示实数1，2，3，4的点，点A，D都在数轴的上方，连接AB，AC，DE，DF，若△ABC和△DEF都是等边三角形，求证：△DEF可由△ABC平移得到．

22.（本小题满分10分）甲、乙、丙三位同学共同设计了一个函数：如图，在平面直角坐标系中，三人共同描出A（2，4），B（4，6），C（5，7）三点．甲同学想用以原点O为顶点的抛物线连接点A与点O；乙同学想用线段连接点A与点B；丙同学想使当时，，当时，．其中点O算作甲同学设计的部分，点A算作乙同学设计的部分，点B和点C算作丙同学设计的部分．
（1）甲、乙、丙三位同学在画函数图象及写出该函数的解析式时遇到了困难，请你帮助他们画出这个函数的图象，并将他们没写完的函数解析式补充完整；
（2）甲、乙、丙三位同学又以这个函数设计了一个数学游戏：他们在盒子中放入看上去完全一样的7张纸团，这7张纸团内分别写有整数0~6，三人派一名代表从中抽出1张纸团，将纸团上写的数字作为自变量x，这个自变量x所对应的点落在的位置是谁设计的，谁就获得胜利．请你探究在这个游戏规则下，甲、乙、丙三位同学谁获胜的可能性最大．

23.（本小题满分10分）如图，点P是⊙O外一点，连接OP交⊙O于点I．
（1）过点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AB，求证：点I是△ABP的内心．

24.（本小题满分12分）如图，在Rt△ABC中，，D，E分别是边AB，AC的中点，点F是AD的中点，连接EF．将△AEF绕点A顺时针旋转得到△AGH，点E的对应点是点G，连接CG，DH．
（1）求证：；
（2）连接BG，DG，当的值最大时，求△BCG与△BDG的面积之比．

25.（本小题满分14分）已知抛物线经过不重合的两点（s－3，t），（3－s，t）．
（1）若点P（2，1）在该抛物线上，求的最小值；
（2）已知三点中有且仅有一点在该抛物线上，若该抛物线与y轴只有一个交点，求该抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线l：与y轴交于点F（0，1），与该抛物线交于A，B两点，点C的坐标是（0，－1），连接AC，BC分别交x轴于D，E两点，连接FD，FE，记△ADF，△BEF的面积分别为，，求证：．
2022－2023学年第二学期闽清天儒中学九年级适应性练习
数学试题答案及评分说明评分说明：
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．
2. 对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂）
1. D 2. C 3. B 4. A 5. C
6. C 7. B 8. D 9. B 10. A
第10题简析：过点C作CE⊥CD交BD于点E，取AB的中点O，连接OC，OD．
易得，
所以A，B，C，D四点都在以AB为直径，点O为圆心的圆上，
所以，
故，△CDE是等腰直角三角形，
所以．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡的相应位置作答）
11. 12. 3π 13. 210 14. 答案不唯一，负数即可 15.②③ 16.
第16题简析：设直线l：，A（，），B（，），不妨令
分别过点A，B作x轴的垂线，垂足为M，N．
易得，C（1，0），
故，即，整理得．
将代入并整理，得，
所以，
故，
所以，整理得，
即，解关于的方程，得（舍去）或1，
所以，故直线l：恒过定点（1，1），
所以原点O到直线l的距离的最大值是．
三、解答题（共9小题，满分86分，请在答题卡的相应位置作答）
17.（本小题满分8分）解：原式 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
评分说明：三个式子化简各2分，跳过7分点直接给出答案可得满分；只给出答案得4分．
18.（本小题满分8分）证明：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
在△BOE和△DOF中，


∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
评分说明：在全等的获得过程中，各有1分．
19.（本小题满分8分）解：原式 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
当时，原式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
评分说明：第一个式子的分子分母变形各1分，第二个式子的变形2分，第三个式子的变形1分，约分1分．
20.（本小题满分8分）
解：（1）设销售A商品x件，销售B商品y件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
根据题意，列方程组．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
解这个方程组，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
答：销售A品25件，销售B商品40件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）设销售A商品m件，获利w元，则销售B商品件．
依题意得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，（元）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
∴销售A商品200件，销售B商品300件，该商店获利13000元最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
答：销售A商品200件，销售B商品300件可使该商店获利最大，获利的最大值为13000元．
评分说明：7分点用计算亦可．
21.（本小题满分8分）证明：连接AD．
∵B，E，C，F四点分别是在数轴上表示实数1，2，3，4的点，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
∵△ABC和△DEF都是等边三角形，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∴四边形ABED是平行四边形，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
依题意得B，E，C，F四点在同一条直线上，
∴△DEF可由△ABC平移得到．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

评分说明：正确证明并给出结论即可获得满分．
22.（本小题满分10分）解：（1）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分
（2）丙同学获胜的可能性最大．．．．．．．．．．．．．．6分
理由如下：依题意，共有7种结果，分别为抽出数字0，1，2，3，4，5，6，
并且它们发生的可能性相等．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分
甲同学获胜的情况有2种，分别为抽出数字0，1，
∴P（甲同学获胜）＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
乙同学获胜的情况有2种，分别为抽出数字2，3，
∴P（乙同学获胜）＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
丙同学获胜的情况有3种，分别为抽出数字4，5，6，
∴．P（丙同学获胜）＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∵，
∴丙同学获胜的可能性最大．
评分说明：（1）中函数解析点每空1分，函数用象分，x≥4三部分，每部分各1分，其中部分若明显未过点（1，1）不给分，部分未标空心点不给分，任意部分图象画超出该自变量取值范围则该部分不给分；
（2）中有体现可能性相等给1分，三人获胜概率各1分，结论1分．
23.（本小题满分10分）
解：（1） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
如图所示，PA，PB圆为所求作的⊙O的两条切线，其中切点分别为A，B．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）证法一：连接AI，BI，OA，OB，记AB与OP的交点为D．
由（1）得PA，PB都是⊙O的切线，切点分别为A，B，
∴，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∴．
∵，
∴，
∴，
即PI平分∠APB， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
∴点O，P在线段AB的垂直平分线上，
即OP垂直平分AB．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
即，
∴，
即AI平分∠BAP，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∴点I是△ABP的内心．

证法二：连接AO并延长交⊙O于点C，连接AI，BI，CI，OB，
∴AC是⊙O的直径，
∴，
∴．
由（1）得PA，PB都是⊙O的切线，切点分别为A，B，
∴，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∴，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
∵．，
∴，
∴，，
即PI平分∠APB．．．．．．．．．．8分
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
即BI平分∠ABP，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∴点I是△ABP的内心．

评分说明：（1）中正确画出垂直平分线给2分，标注点A，B各1分，结论1分；
（2）中正确证明点I是△ABP任意两个内角的平分线的交点即可获得满分．
24.（本小题满分12分）
（1）证明：∵点E是AC的中点，点F是AD的中点，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
∵将△AEF绕点A顺时针旋转得到△AGH，点E的对应点是点G，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
∴，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）解：过点A作CG的垂线，垂足为M，

∴．
由垂线段最短可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
当且仅当点M与点G重合时，等号成立．
∵，
∴在△AGH旋转过程中存在点G使得，此时点M，G重合，
∴在Rt△AMC中，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
即sin∠ACG的最大值是．
∴当最大时，．．．．．．8分
此时．
连接CD．
∵点D是边AB的中点，
∴．
在Rt△ABC中，，
∴，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9分
∴，
∴点G在CD的延长线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
设，则，
在Rt△ABC中，．
在Rt△AGC中，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
∴．
过点B作于点N，
∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
即△BCG与△BDG的面积之比是3∶1

评分说明：（2）中学生10分点写为“C，D，G三点共线”并获得正确，不扣分；学生术求出sin∠ACG的最大值，但能正确描述当sin∠ACG的值最大时的图形变化情况（如：有指出此时或时最大等），不扣分；答案为3亦可．
25.（本小题满分14分）
解：（1）将P（2，1）代，
得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
∵抛物线经过不重合的两点（s－3，a），（3－s，a）．
∴该抛物线的对称轴是直线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
即，
∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
∴，即，
∴．
∵，
∴当时，取到最小值－3.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）∵该抛物线与x轴只有一个交点，由（1）得该抛物线的对称轴是y轴，，
∴该抛物线的顶点是原点O，
∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
∴该抛物线的解析式是．
∵（1，－），（－1，－），
∴，两点y轴对称，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∴，两点中任意一点在该抛物线上，则另一点也在该抛物线上．
∵（1，），（1，－），（－1，－）三点中有且仅有一点在该抛物线上，
∴只能是点（1，）在该抛物线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
将（1，）代入，得，
∴该抛物线的解析式是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（3）∵直线l：与y轴交于点F（0，1），
∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
∴直线l的解析式是．
设，不妨令，
分别过点A，B作y轴的垂线，垂足为M，N，

∴，M（0，），N（0，） ，
∵这条抛物线的顶点是原点O，抛物线开口向上，
∴点A，B都在x轴的上方，
∴．
将代入，得，
整理得．
∵，
∴由求根公式可得， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
∴．
证法一：∵C（0，－1），F（0，1），
∴


，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
∴．
又，
∴，
∴．
∵．，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
∴．
∵C（0，－1），F（0，1），
∴，
∴四边形CD FE是平行四边形，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
∴，
∴，，
∴，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
证法二：∴．
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴，即，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
设直线AC的解析式是
∵A（，），C（0，－1），
∴
解得
∴直线AC的解析式是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
将代入，得，
∴
同理可得E．
∵，垂足为点O，
∴

， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
∴．
证法三：设直线AC的解析式是．
∵A（，），C（0，－1），
∴
解得
∴直线AC的解析式是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
将代入，得，
∴．
同理可得E（，0）
∵
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
∴．
∵C（0，－1），F（0，1），
∴，
∴四边形CDFE是平行四边形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
∴，
∴，，
∴，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
评分说明：（1）中2分点写“该抛物线的对称轴是y轴”亦可；该问也可以将点（s－3，t），（3－s，t）代入抛物线解析式求b；
（2）中通过分类讨论得出抛物线解析式亦可；但若通过“该抛物线与x轴只有一个交点：得出“该抛物线上的点只能落在y轴同侧”从而得出“只能是点在该抛物线上”，扣1分；因为这只能保证抛物线过必然符合题意，但无法说明该抛物线过就一定过，所以存在过点，的可能；
（3） 证法一、三中没写出“△AFD~△FBE”或有写出该条件但没有说明，14分点不给分：证法二、三中求AC解析式没过程不扣分．