2023年山东省菏泽市中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年山东省菏泽市中考数学一模试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省菏泽市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)
1．（3分）|﹣|的倒数是（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
2．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a＞﹣2 D．a2＞b2
3．（3分）下列图形，其中轴对称图形的个数为（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（3分）关于x，y的方程组的解中，x与y的和不大于3，则k的取值范围是（　　）
A．k≥2 B．k≤2 C．k≥1 D．k≤1
5．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D．DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论不正确的是（　　）

A．CE＝4 B．BF＝1 C．AE＝5 D．
6．（3分）如图，随机闭合4个开关S1，S2，S3，S4中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是（　　）

A． B． C． D．
7．（3分）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．16
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示．对称轴为，且经过点（﹣1，0），下列结论：①4b﹣3c＝0；②若点，（2，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2；③若y≤c，则0≤x≤2；其中正确的个数为（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算而的结果是 　 　．
10．（3分）如图l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°，则∠2的度数为 　 　．

11．（3分）若a﹣b＝﹣2，2b+c＝3，则2b（b﹣a）﹣c（a﹣b）的值为 　 　．
12．（3分）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，顶点A在x轴的负半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，若直线y＝kx+2与边AB有公共点，则k的取值范围是 　 　．

13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于 　 　．

14．（3分）如图，等边△ABC的边长为4，⊙C的半径为2，P为AB上动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 　 　．

三、解答题（本题共78分）
15．（6分）计算：．
16．（6分）先化简，再求值，其中．
17．（6分）如图，E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，AD＝CE．求证：△ABC≌△DCE．

18．（6分）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，BD＝150米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东45°方向，求步道AE的长．

19．（7分）某校为了了解本校学生“一周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）的情况，在本校随机调查了100名学生某周的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别
劳动时间t（分钟）
频数
组内学生的平均劳动时间（分钟）
A
t＜60
8
50
B
60≤t＜90
a
75
C
90≤t＜120
40
105
D
t≥120
36
150
（1）这100名学生“劳动时间”的中位数在 　 　组；
（2）求a的值及这100名学生的平均“劳动时间”；
（3）若该校有1500名学生，估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，且A点的横坐标为1，过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C（，﹣）是直线BE上一点，且AC＝CD．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．

21．（10分）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元；购进甲商品1件和乙商品2件共需70元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交AC的延长线于点D，交过点C的切线于点 E．
（1）求证：∠DCE＝∠ABC；
（2）若OA＝3，AC＝2，求线段CD的长．

23．（10分）（1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：BD＝CE．
（2）如图2，△ABC和左△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，，连接BD，CE，求的值．


2023年山东省菏泽市中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)
1．（3分）|﹣|的倒数是（　　）
A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【解答】解：∵|﹣|＝，1÷，
∴，
∴|﹣|的倒数是2．
故选：C．
2．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．a＞﹣2 D．a2＞b2
【解答】解：由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，0＜b＜1，
∴a+b＜0，a﹣b＜0，a＜﹣2，a2＞b2，
综上可知，只有选项D正确，
故选：D．
3．（3分）下列图形，其中轴对称图形的个数为（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：图形1有一条水平对称轴，是轴对称图形；
图形2没有对称轴，不是轴对称图形；
图形3有一条竖直方向的对称轴；
故选：C．
4．（3分）关于x，y的方程组的解中，x与y的和不大于3，则k的取值范围是（　　）
A．k≥2 B．k≤2 C．k≥1 D．k≤1
【解答】解：，
①﹣②，x+y＝2k﹣1，
∵x与y的和不大于3，
∴2k﹣1≤3，
解得k≤2，
故选：B．
5．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D．DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论不正确的是（　　）

A．CE＝4 B．BF＝1 C．AE＝5 D．
【解答】解：如图，

∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE，
∵DE＝5，DF＝3，
∴AE＝5，CD＝3，
所以选项C正确，
故C不符合题意；
∴，
∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，
所以选项A正确，故A不符合题意；
在Rt△ACD中，
，
所以D选项正确，
故D不符合题意；
∵DE∥AB，∠DFB＝90°，
∴∠B＝∠CDE，
∴tanB＝tan∠CDE，
∵，
∴，
所以选项B不正确，
故B符合题意．
故选：B．
6．（3分）如图，随机闭合4个开关S1，S2，S3，S4中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡L发光的结果有：S1S3，S1S4，S2S3，S2S4，S3S1，S3S2，S4S1，S4S2，共8种，
∴能使小灯泡L发光的概率为＝．
故选：A．
7．（3分）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．16
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，
∵将矩形ABCD沿直线DE折叠，
∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，
∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，
∴∠BEF＝∠CFD，
∴△BEF∽△CFD，
∴，
∵CD＝3BF，
∴CF＝3BE＝12，
设BF＝x，
则CD＝3x，DF＝BC＝x+12，
∵∠C＝90°，
在Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2，
∴（3x）2+122＝（x+12）2，
解得：x＝3，x＝0（舍），
∴AD＝DF＝3+12＝15，
故选：C．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示．对称轴为，且经过点（﹣1，0），下列结论：①4b﹣3c＝0；②若点，（2，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2；③若y≤c，则0≤x≤2；其中正确的个数为（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：根据图示，可知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，a＞0，c＜0，与x轴的交点为（﹣1，0），且对称轴，
∴b＝﹣3a＜0，，根据二次函数的对称轴可知，二次函数与x轴的另一个交点为（4，0），
∴当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，则，
整理得，4b﹣3c＝0，故结论①正确，符合题意；
∵对称轴为，
∴时的函数值与时的函数值相等，
∵当时，函数值随自变量的增大而增大，
∴x＝2时的函数值小于时的函数值，
∴y1＞y2，故结论②错误，不符合题意；
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点为（0，c），对称轴为，根据二次函数的对称性，
∴x＝0时的函数值与x＝3时的函数值相等，
∴当y≤c时，0≤x≤3，故结论③错误，不符合题意；
综上所述，正确的是结论①，是1个，
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算而的结果是 　　．
【解答】解：
＝
＝．
故答案为：．
10．（3分）如图l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°，则∠2的度数为 　70°　．

【解答】解：如图所示，设AC与l2交于点D，在l1上取点E，

∵AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠C＝∠BAC＝25°，且∠1＝60°，
∴∠EAD＝∠1+∠BAD＝60°+25°＝85°，
∵l1∥l2，
∴∠BDC＝∠EAD＝85°，
在△BCD中，∠2+∠C+∠BDC＝180°，
∴∠2＝180°﹣25°﹣85°＝70°，
故答案为：70°．
11．（3分）若a﹣b＝﹣2，2b+c＝3，则2b（b﹣a）﹣c（a﹣b）的值为 　6　．
【解答】解：∵a﹣b＝﹣2，2b+c＝3，
∴2b（b﹣a）﹣c（a﹣b）
＝﹣（a﹣b）（2b+c）
＝﹣（﹣2）×3
＝6，
故答案为：6．
12．（3分）如图，四边形OABC是边长为1的正方形，顶点A在x轴的负半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，若直线y＝kx+2与边AB有公共点，则k的取值范围是 　1≤k≤2　．

【解答】解：由题意可得：点A（﹣1，0），点B（﹣1，1），
把点A代入解析式可得：﹣k+2＝0，
解得：k＝2，
把点B代入解析式可得：﹣k+2＝1，
解得：k＝1，
所以k的取值范围为：1≤k≤2，
故答案为：1≤k≤2．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于 　3　．

【解答】解：若点B'恰好落在AB边上，如图，过A作AQ⊥A'C于Q，

由∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴，∠B＝60°，
由旋转的性质可知，BC＝B′C，∠A'CB'＝90°，∠B＝∠A'B'C＝60°，
∴△B'BC是等边三角形，
∴∠BCB'＝60°，
∴∠ACB'＝30°，
∴∠A'CA＝60°，
∴AQ＝AC•sin60°＝2＝3，
∴A到A'C的距离为3，
故答案为：3．
14．（3分）如图，等边△ABC的边长为4，⊙C的半径为2，P为AB上动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 　　．

【解答】解：连接CP、CQ，

∵⊙C的切线PQ，切点为Q，
∴PQ⊥CQ，
∴∠PQC＝90°，
∴PQ2＝CP2﹣CQ2＝CP2﹣22＝CP2﹣4，
∴当CP最小时，PQ2最小即PQ取最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴当CP⊥AB时，CP最小，此时CP⊥AB，
∵AB＝BC＝AC＝4，
∴AP＝BP＝2，
∴，
∴此时，
故答案为：．
三、解答题（本题共78分）
15．（6分）计算：．
【解答】解：
＝
＝．
16．（6分）先化简，再求值，其中．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
当时，
原式得＝．
17．（6分）如图，E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，AD＝CE．求证：△ABC≌△DCE．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC
∴∠B＝∠DCE，
又∵AD＝CE，
∴BC＝CE，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）．
18．（6分）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，BD＝150米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东45°方向，求步道AE的长．

【解答】解：如图，过点D作DF⊥AE交AE于点F，
则DF＝AC＝200米，AF＝CD，

根据题意得：∠DEF＝45°，∠ABC＝∠EAB＝30°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴米，EF＝DF＝200米，
∵AC＝200米，
∴米，
∴米，
∴米，
答：步道AE的长米．
19．（7分）某校为了了解本校学生“一周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）的情况，在本校随机调查了100名学生某周的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
组别
劳动时间t（分钟）
频数
组内学生的平均劳动时间（分钟）
A
t＜60
8
50
B
60≤t＜90
a
75
C
90≤t＜120
40
105
D
t≥120
36
150
（1）这100名学生“劳动时间”的中位数在 　C　组；
（2）求a的值及这100名学生的平均“劳动时间”；
（3）若该校有1500名学生，估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．
【解答】解：（1）把100名学生的“劳动时间”从小到大排列，排在中间的两个数均在C组，故这100名学生的“劳动时间”的中位数落在C组，
故答案为：C；
（2）根据题意得8+a+40+36＝100，
∴a＝16，
（分钟），
∴这100名学生的平均“劳动时间”为112分钟；
（3）∵（人），
∴估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的有1140人．
20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，且A点的横坐标为1，过点B作BE∥x轴，AD⊥BE于点D，点C（，﹣）是直线BE上一点，且AC＝CD．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．

【解答】解：（1）∵AD⊥BE于点D，AC＝CD．
∴cos∠ACD＝＝，
∴∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∵A点的横坐标为1，点C（，﹣），
∴CD＝﹣1＝，
∴A（1，﹣），即A（1，2），
∵反比例函数y2＝的图象过A、B两点，
∴m＝1×2＝2，
∴反比例函数的表达式为y2＝，
∵BE∥x轴，
∴B点的纵坐标为﹣，
∴B（﹣4，﹣），
把A、B的坐标代入y1＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的表达式为y1＝x+；

（2）从图象可以看出，不等式kx+b﹣＜0的解集是x＜﹣4或0＜x＜1．
21．（10分）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元；购进甲商品1件和乙商品2件共需70元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，
，得，
答：甲、乙两种商品每件的进价分别是10元、30元；
（2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品（60﹣m）件，设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w元，
则w＝（20﹣10）m+（50﹣30）（60﹣m）＝﹣10m+1200，
∵m≥4（60﹣m），
解得，m≥48，
∴当m＝48时，w取得最大值，最大利润为：﹣10×48+1200＝720元，60﹣m＝12，
答：当购进甲商品48件，乙商品12件时可获得最大利润720元．
22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交AC的延长线于点D，交过点C的切线于点 E．
（1）求证：∠DCE＝∠ABC；
（2）若OA＝3，AC＝2，求线段CD的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OC，

∵CE与⊙O相切，
∴OC⊥CE，
∴∠OEC＝90°．
即∠OCB+∠ECB＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ECB+∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝∠OCB．
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠DCE＝∠ABC．
（2）解：∵OA＝3，
∴AB＝2OA＝6，
∵∠AOD＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOD∽△ACB，
∴，
即，
解得AD＝9，
∴CD＝AD﹣AC＝9﹣2＝7．
23．（10分）（1）如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，求证：BD＝CE．
（2）如图2，△ABC和左△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，，连接BD，CE，求的值．

【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵，
设BC＝4x，则AB＝3x，
∵△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
∴，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∠ACB＝∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∴，∠DAE＝∠BAC，
∴，∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB∽△EAC，
∴，
即的值为．